zajecia_2(1).pdf

(62 KB) Pobierz
(Microsoft Word - Zadania do zaj\352\346 nr 2.doc)
Przydatne fakty:
I. Zapis modelu:
y
i
= +
b b
1
2 2
x
i
+
b
3 3 ...
x
i
+ +
b
k ki
x
+ dla 1, 2,...,
e
i
i
=
n
Ç × Ç
y
?
?
@ @ @ @ ? @ @ @
@ @ @ @ ? @ @ @
?
1
1
1
x
21
x
31
x
k
1
× Ç × Ç ×
b
1
e
1
È Ø È
Ø È Ø È Ø
È Ø È
y
2
x
22
x
32
x
k
2
Ø È Ø È Ø
b
2
e
2
y
=
È Ø È
,
X
=
Ø È Ø È Ø
b
=
,
e
=
È Ø È
Ø È Ø È Ø
È Ø È
Ø È Ø È Ø
È Ø È
Ø È Ø È Ø
É Ù É
y
n
1
x
2
n
x
3
n
x
kn
Ù É Ù É Ù
b
k
e
n
Zapis macierzowy modelu:
y X b e
=
+
Ç
à Ã
n
n
×
Ç
Ã
Ã
Ã
n
×
È
n
x
?
x
Ø
y
2
i
ki
È
i
=
i
Ø
È
i
=
1
i
=
1
Ø
È
n
Ø
x y
È
n
n
n
Ø
2
i i
à à Ã
È
Ø
x
x
2
?
x x
i
n
=
1
È
Ø
2
i
2
i
2
i ki
È
Ø
X X
'
= È
,
X y
'
= È
Macierz X’X jest symetryczna, a gdy w modelu jest stała, to :
x y
Ø
k k
×
i
=
1
i
=
1
=
1
3
i i
Ø
i
=
1
È
@ @ @ @
Ø
È
Ø
@
È
Ø
È
Ø
n
n
n
È
à Ã
Ã
Ø
x
x x
?
x
2
È
Ã
n
x y
Ø
È
ki
2
i ki
ki
Ø
É
Ù
É
Ù
i
=
1
ki i
i
=
1
i
=
1
i
=
1
Macierz (X’X) -1 równie Ň jest symetryczna.
II. Estymator MNK, warto Ļ ci teoretyczne i empiryczne, reszty
Ç ×
È Ø
È Ø
b
b
Ç ×
È Ø
È Ø
È Ø
y
y
1
1
2
b
=
2
=
(
X X X y
¢
)
−
1
¢
y
= È Ø
È Ø
È Ø
@
@
- warto Ļ ci empiryczne (zaobserwowane) zmiennej zale Ň nej
È Ø
È Ø
É Ù
@
b
k
É Ù
y
n
Ç ×
È Ø
È Ø
È Ø
ˆ
ˆ
1
Ç ×
È Ø
È Ø
È Ø
e
e
1
2
2
y
= È Ø
È Ø
È Ø
@
@
- warto Ļ ci teoretyczne (wynikaj Ģ ce z modelu)
e
= È Ø
È Ø
È Ø
@
@
- reszty
É Ù
ˆ n
É Ù
e
n
Zachodz Ģ nast ħ puj Ģ ce zale Ň no Ļ ci:
y b b x b x
ˆ
i
= +
1
2 2
i
+
3 3
i
+ +
...
b x
k ki
= +
reszty:
y y e
i
ˆ
i
i
= −
dla 1, 2,...,
e y y
i
i
ˆ
i
i
=
n
Ç
?
?
@ @ @ @ @ @
?
1
1
×Ç × Ç ×
e
1
0
0
È
ØÈ Ø È Ø
n
x
x
x
e
Ã
È
ØÈ Ø È Ø
e
=
0,
X e
¢
=
21
22
2
n
2
=
i
È
ØÈ Ø È Ø
i
=
1
È
ØÈ Ø È Ø
É Ù
É
x
x
x
ÙÉ Ù
e
0
k
1
k
2
kn
n
III. Własno Ļ ci MNK
Ã
n
1. ¢
X = 0
e
, 2. ¢ =
l
e
e i
=
0
, 3.
y y
= , 4. y b b x
ˆ
= +
1
2 2 ?
+
b x
K K
, 5. ¢ = ¢ ¢ =
y e b X e 0
i
=
1
1
,
1
i
y
y
y
1
25966596.007.png
IV. Współczynnik determinacji R 2 , skorygowany
R
2
Ã
n
TSS
=
(
y y
−
)
2
- całkowita zmienno Ļę zmiennej obja Ļ nianej
i
i
=
1
Ã
n
ESS
=
(
y y
−
)
2
- wyja Ļ niona suma kwadratów (zmienno Ļę y wyja Ļ niona modelem)
i
i
=
1
= Ã
n
RSS
e
2
- resztowa suma kwadratów (zmienno Ļę y nie wyja Ļ niona modelem)
i
i
=
1
TSS ESS RSS R
=
+
,
2
=
ESS
= −
1
RSS
R
2
= −
1
RSS n k
/(
−
)
= − −
R
2
)
n
−
1
TSS
TSS
TSS n
/( 1)
−
n k
−
V. Estymator wariancji zaburzenia losowego
Ã
n
e
2
i
ˆ
2
s
=
i
=
−
1
n K
Zadania do zaj ħę nr 2.
1.
Na podstawie danych:
y
x
2
4
1
4
4
2
7
4
1
1
y – wydatki konsumpcyjne (PLN)
x – dochód (PLN)
Ù
= + za pomoc Ģ MNK
b. Zapisz oszacowany model oraz go zinterpretuj. Czy wynik ma sens ekonomiczny?
c. Oblicz warto Ļ ci teoretyczne, reszty oraz
y b b x
i
1
2
i
R modelu. Zinterpretuj
2
R .
d. Sprawd Ņ własno Ļ ci MNK.
Ù
2.
Metod Ģ najmniejszych kwadratów oszacowano nast ħ puj Ģ cy model:
y
= − +
2, 5 13, 5
x
i
i
Oblicz x oraz y je Ļ li wiadomo, Ň e:
X X
'
= È
Ç
12
36 120
×
É
−
Ù
3.
Na podstawie danych:
y
x2
x3
0
1
3
1
0
3
1
0
2
0
-1
1
2
-2
1
3
-3
0
Gdzie:
y – ilo Ļę wypijanych dziennie fili Ň anek herbaty (szt.)
x2 – temperatura powietrza (w o C )
2
ˆ
1 (1
Gdzie:
a. Oszacuj model wydatków:
2
Ø
25966596.008.png 25966596.009.png 25966596.010.png 25966596.001.png 25966596.002.png
x3 – ilo Ļę godzin sp ħ dzanych przed telewizorem (godz.)
= + + za pomoc Ģ MNK..
b. Zapisa ę oszacowany model i go zinterpretowa ę .
c. Obliczy ę oraz zinterpretowa ę
y b b x b x
i
1
2 2
i
3 3
i
R .
d. Sprawdzi ę własno Ļ ci MNK.
4.
Ten sam model ekonometryczny szacowano ró Ň nymi metodami, mi ħ dzy innymi metod Ģ najmniejszych
kwadratów. Dla ka Ň dej metody obliczono wektor reszt. Który z nich jest wektorem reszt dla MNK?
e = −
'
1
[
2 3 4 2 0 2
−
− , [
]
e = −
'
2
1 2 3 2 0 2
−
− , [
]
3 3 3 0 0 4 2
− −
]
5.
Dla 10 obserwacji oszacowano 2 modele. Oto wyniki oszacowa ı :
a.
y
= −
3 2, 5
x
+
3
x
oraz
R =
2
0, 92
i
2
i
3
i
b.
y
= −
1 1, 5
x
oraz
R =
2
0, 9
i
i
Który z tych modeli jest lepiej dopasowany do danych empirycznych?
6.
Po oszacowaniu MNK modelu, w którym regresant przyjmował nast ħ puj Ģ ce warto Ļ ci: 2; 1; 4; 7; 1 obliczono
wektor reszt modelu:
e
'
= −
Ç
1, 5 2, 5
−
3, 5 1
−
Ù
Oblicz
R tego modelu, zakładaj Ģ c, Ň e wyst ħ powała w nim stała.
2
7.
Metod Ģ najmniejszych kwadratów szacowano model:
y b b x b x b x
i
= +
1
2 2
i
+
3 3
i
+
4 4
i
i otrzymano:
Ç
1
×
-1
5
1
È
Ø
(
X X
'
)
−
1
= È
Ø
2
-1
3
0
È
Ø
È
Ø
É
-2
3
Ù
à ,
20
à ,
20
= Ã
20
Dodatkowo wiadomo, Ň e: n=20,
y = ,
2
x y
11
x y
65
x y
7
2
i i
3
i i
4
i i
i
=
1
i
=
1
i
=
1
Oszacuj parametry modelu, zapisz model oraz go zinterpretuj.
Ù
8.
= +
Po obliczeniu ocen parametrów za pomoc Ģ MNK oraz po wyznaczeniu warto Ļ ci teoretycznych okazało si ħ , Ň e
wektor reszt wygl Ģ da w nast ħ puj Ģ cy sposób:
y b b x
i
1
2
i
e = −
'
[
1 2 3 2 1 3
−
−
]
Wiedz Ģ c, Ň e macierz obserwacji zmiennych obja Ļ niaj Ģ cych wygl Ģ dała tak:
Ç ×
È Ø
È Ø
È Ø
È Ø
2
X
= È Ø
È Ø
È Ø
È Ø
È É Ù
3
1
0
0, 5
Oblicz x .
3
a. Oszacowa ę model:
e =
'
Ù
Ù
×
É
È
Ø
Szacowano nast ħ puj Ģ cy model:
25966596.003.png 25966596.004.png
9.
x ¢ = − Ponadto wiadomo, i Ň wektor reszt
został otrzymany z estymacji modelu metod Ģ najmniejszych kwadratów. Prosz ħ wyznaczy ę nieznane
elementy wektora reszt.
e
¢ =
1 0
e
3
−
1
e
]
, [
1 0 1 1 0 .
]
10. Równanie regresji oszacowane Metod Ģ Najmniejszych Kwadratów na próbie licz Ģ cej 21 obserwacji ma
nast ħ puj Ģ c Ģ posta ę :
ˆ 2 1.5
= +
x
+
3
x
−
4
x
. Ponadto wiadomo, Ň e:
à Ã
21
e
2
=
17, (
21
y y
−
) 100.
=
i
1
i
2
i
3
i
i
i
=
=
a) Prosz ħ policzy ę współczynnik determinacji (R 2 ) i dokona ę interpretacji jego warto Ļ ci.
b) Prosz ħ policzy ę skorygowany współczynnik determinacji (
R ).
4
Mamy nast ħ puj Ģ ce dane: [
5
y
2
i
1
i
1
2
25966596.005.png 25966596.006.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin