MLK3y_66-70.pdf
(
1737 KB
)
Pobierz
all.dvi
66
PRAWDOPODOBIEŃSTWO
b)
Placek drożdżowy wypełnia blachę o powierzchni 12 dm
2
. Jakie jest prawdopo-
dobieństwo, że w kawałku zajmującym powierzchnię 50 cm
2
znajduje się jedyny
rodzynek w cieście?
c)
Obraz o wymiarach 1,2 m
×
0,8 m przedstawia pewną postać, która na obrazie
tym zajmuje powierzchnię 20 dm
2
. Oblicz prawdopodobieństwo, że mucha, która
zatrzyma się na obrazie, usiądzie na namalowanej postaci.
d)
Naukowcy spodziewają się upadku meteorytu na obszarze 20 km
2
. Znajduje
się tam jezioro o powierzhni 50 ha. Jakie jest prawdopodobieństwo, że meteoryt
wpadnie do jeziora?
Związki między geometrią i rachunkiem
prawdopodobieństwa są czasem bardzo
zaskakujące. Francuz Georges Louis Lec-
lerc de Buffon (1707–1788) zapropono-
wał następujące doświadczenie.
Na kartce rysujemy w równych odstę-
pach proste równoległe i rzucamy w spo-
sób losowy igłę, której długość jest rów-
na odległości między sąsiednimi liniami.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła
leży na jednej z linii (lub jej dotyka)?
W wyniku teoretycznych rozważań moż-
na obliczyć, że prawdopodobieństwo to
wynosi
π
. Wyobraźmy sobie, że rzuca-
my igłą wiele razy. Obliczając stosunek
liczby przypadków, gdy igła upadła na
jedną z linii, do liczby wszystkich rzu-
tów, otrzymalibyśmy przybliżoną war-
tość liczby
π
.
Postępując w ten sposób, można do-
świadczalnie wyznaczyć przybliżoną
wartość liczby
π
.
26.
Na kartce narysowano linie pionowe i pozio-
me tak, że odległości między sąsiednimi liniami są
równe
a
(zob. rysunek). Na kartkę rzucamy monetę
ośrednicy
a
tak, że środek monety leży w jakiejś
kratce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta
zakryje punkt kratowy (wierzchołek któregoś z kwa-
dratów)?
Wskazówka. Zaznacz w jednym z kwadratów zbiór tych
punktów, w których powinien się znaleźć środek monety,
aby moneta przykryła punkt kratowy.
Drzewka
W poprzednim rozdziale omawialiśmy, jak obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń
w prostych doświadczeniach losowych. Pokażemy teraz, jak można postępować,
gdy doświadczenie jest nieco bardziej skomplikowane.
DRZEWKA
67
Rozważmy następującą sytuację: W dwóch pudełkach znajdują się kule. W pierw-
szym jest 6 kul czerwonych, 4 zielone i 5 białych, a w drugim są 3 kule czerwone
i7zielonych.
Doświadczenie polega na tym, że najpierw rzucamy kostką do gry. Następnie, gdy
wypadnie szóstka, losujemy kulę z pierwszego pudełka, a w pozostałych wypad-
kach — z drugiego.
Doświadczenie to można zilustrować za pomocą tzw. drzewka. Poniżej przedsta-
wiamy kolejne etapy rysowania drzewka.
1. Ilustrujemy pierwszy etap doświad-
czenia, czyli rzut kostką. Interesuje nas
zdarzenie: wypadnie szóstka (wówczas
będziemy losować z I pudełka) lub wy-
padnie inna liczba oczek (wówczas bę-
dziemy losować z II pudełka).
2. Przy narysowanych gałązkach za-
pisujemy prawdopodobieństwa odpo-
wiednich zdarzeń (szóstkę otrzymamy
z prawdopodobieństwem
6
, a inny wy-
nik — z prawdopodobieństwem
5
6
).
3. Ilustrujemy drugi etap doświadcze-
nia, czyli losowanie kul z pudełek. Przy
narysowanych gałązkach zapisujemy
odpowiednie liczby (losując z I pudeł-
ka, możemy otrzymać kulę czerwoną
z prawdopodobieństwem
6
15
,zieloną
z prawdopodobieństwem
4
15
itd.).
Otrzymane drzewko może posłużyć do obliczania prawdopodobieństw różnych
zdarzeń związanych z tym doświadczeniem.
68
PRAWDOPODOBIEŃSTWO
A
— Wylosowano kulę białą.
Zdarzeniu
A
odpowiada zaznaczona gałąź
drzewka; szukany wynik otrzymamy, mno-
żąc prawdopodobieństwa zapisane przy tej
gałęzi.
P
(
A
)=
1
6
·
5
15
=
1
18
B
— Wylosowano kulę czerwoną.
Zaznaczamy gałęzie drzewka odpowiadają-
ce zdarzeniu
B
; szukany wynik otrzymamy,
mnożąc prawdopodobieństwa zapisane przy
tych gałęziach i dodając otrzymane iloczyny.
P
(
B
)=
6
·
6
15
+
5
6
·
3
10
=
19
60
C
— Wylosowano kulę z pierwszego pudełka i była ona biała lub czerwona.
Zaznaczamy gałęzie drzewka odpowiadające
zdarzeniu
C
; obliczamy odpowiednie iloczy-
ny i dodajemy je.
P
(
C
)=
1
6
15
+
1
6
·
5
15
=
11
90
Uwaga. Metoda, którą tu przedstawiamy, jest bardzo wygodna i skuteczna w wielu wypad-
kach. Uzasadnienie poprawności tej metody jest jednak skomplikowane i nie będziemy go
tutaj podawać.
Ćwiczenie A.
Korzystając z drzewka ilustrującego opisane wyżej doświadczenie, oblicz
prawdopodobieństwo tego, że:
a) wylosowana kula to kula zielona z drugiego pudełka, b) wylosowana kula jest zielona.
6
·
DRZEWKA
69
Zwróć uwagę, że rysując drzewko, dokonaliśmy pewnych uproszczeń. Na przy-
kład nie rysowaliśmy sześciu gałęzi ilustrujących wszystkie możliwe zdarzenia
elementarne w rzucie kostką, a tylko takie gałęzie, które odpowiadają zdarzeniom
istotnym dla naszych rozważań. Podobnie będziemy postępować, ilustrując inne
doświadczenia losowe.
Na rysunku poniżej zilustrowano doświadczenie polegające na rzucie najpierw mo-
netą, a potem kostką.
Na kolejnych rysunkach przedstawione są dwa różne drzewka ilustrujące to sa-
mo doświadczenie, ale służące do obliczania prawdopodobieństwa dwóch różnych
zdarzeń.
A
1
— Na monecie wypadnie orzeł, a na
kostce szóstka.
Zwróć uwagę, że na każdym drzewku gałęzie wychodzące z jednego punktu ilustru-
ją wszystkie możliwe wyniki w danym etapie. Dlatego suma prawdopodobieństw
zapisanych przy tych gałęziach zawsze musi być równa 1.
Ćwiczenie B.
Oblicz
P
(
A
1
)i
P
(
A
2
) na dwa sposoby — najpierw korzystając z narysowanych
drzewek, a potem — korzystając z równości
P
(
A
)=
n
N
.
Ćwiczenie C.
W dwóch pudełkach są losy loteryjne. W pierwszym pudełku jest 50 losów,
w tym 10 wygrywających. W drugim pudełku jest 80 losów, w tym 20 wygrywających.
Rzucamy kostką do gry. Jeśli wypadnie 1 lub 6 — ciągniemy los z pierwszego pudełka.
W pozostałych wypadkach ciągniemy los z drugiego pudełka. Narysuj drzewko ilustrujące
to doświadczenie i oblicz prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu wygrywającego.
W opisanych powyżej doświadczeniach można było wyodrębnić pewne etapy. Po-
każemy teraz, jak wykorzystać drzewka, gdy mamy do czynienia z nieco innymi
doświadczeniami.
A
2
— Na monecie wypadnie orzeł, a na
kostce liczba niepodzielna przez 3.
70
PRAWDOPODOBIEŃSTWO
Rozważmy na przykład doświadczenie polegające na rzucie trzema monetami. Mo-
żemy przyjąć, że zdarzenia elementarne w tym doświadczeniu są takie same jak
w wypadku wykonania kolejno trzech rzutów (najpierw pierwszą monetą, potem
drugą, a na końcu trzecią). Wobec tego możemy doświadczenie to zilustrować za
pomocą drzewka w następujący sposób:
Ćwiczenie D.
Korzystając z powyższego drzewka, oblicz prawdopodobieństwo, że przy
rzucie trzema monetami:
a) wypadną trzy orły,
b) wypadnie tylko jeden orzeł.
przykład
Losujemy 3 karty z talii 52 kart. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że wyloso-
wane karty to trzy asy, a jakie, że wśród wylosowanych kart są dokładnie dwa asy.
Po pierwszym losowaniu w ta-
lii zostało 51 kart i gdy za
pierwszym razem wylosowano
asa — zostały jeszcze 3 asy,
gdy natomiast nie wylosowa-
no asa — zostały jeszcze 4
asy.
A
— Wylosowano trzy asy.
B
— Wylosowano dokładnie dwa asy.
P
(
A
)=
4
52
·
3
51
·
2
50
=
1
5525
Na drzewku zaznaczono ko-
lorem zielonym gałęzie odpo-
wiadające zdarzeniu
A
,czer-
wonym zaś — odpowiadające
zdarzeniu
B
.
P
(
B
)=
4
52
·
3
51
·
48
50
+
4
52
·
48
51
·
3
50
+
48
52
·
4
51
·
3
50
=
72
5525
Odp. Prawdopodobieństwo, że wylosowano trzy asy, wynosi
1
5525
, a prawdopodo-
72
5525
.
bieństwo, że wylosowano dokładnie dwa asy, jest równe
Plik z chomika:
Danny-L
Inne pliki z tego folderu:
Technologia i organizacja robót.pdf
(10987 KB)
Zalecenia dotyczące montażu i konserwacji sufitów firmy Armstrong Montaz i konserwacja_1.pdf
(283 KB)
34_weber.pdf
(139 KB)
Cement - Kieszonkowy Poradnik Budowlańca.pdf
(1293 KB)
ciekawe malowanie.pdf
(506 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin