zbiory liczb- teoria.doc

1. Zbiory

a) Dwa zbiory A i B są równe, gdy każdy element ze zbioru A jest elementem zbioru B i na odwrót.

b) Zbiór A zawiera się w zbiorze B, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i piszemy AB

c) Ze względu na liczbę elementów zbiory dzielimy na:

-          zbiory skończone- np. zbiór uczniów w klasie, zbiór dzielników liczby 12

-          zbiory nieskończone- np. zbiór liczb niewymiernych

-          zbiory puste- zbiór, do którego nie należy żaden element, np. zbiór parzystych dzielników liczby 13

2. Przedziały liczbowe

a)      przedział domknięty <a;b> o początku a i końcu b, gdzie a<b nazywamy zbiór liczb rzeczywistych x spełniających warunek axb. Zbiór liczb spełniających ten warunek możemy też zapisać:

-          <a;b>={x: xR i axb}

-          x <a;b>

-         

xa i xb

-           

b)      przedział otwarty (a;b) o początku a i końcu b, gdzie a<b nazywamy zbiór liczb rzeczywistych spełniających warunek a<x<b. Zbiór liczb spełniających ten warunek możemy zapisać:

-          (a;b)= {x: xR i a<x<b}

-          x>a i x<b

-         

c)      przedziałem prawostronnie domkniętym (a;b> o początku a i końcu b, gdzie a<b nazywamy zbiór liczb rzeczywistych x spełniających warunek a<xb

d)      przedziałem lewostronnie domkniętym <a;b> o początku a i końcu b, gdzie a<b nazywamy zbiór liczb rzeczywistych x spełniających warunek ax<b

3. Zbiór liczb rzeczywistych (R) i jego podzbiory

a) zbiór liczb naturalnych (N)

N={0, 1, 2, 3, ..., n-1, n, n+1, ....}

0- najmniejsza liczba naturalna

(n-1)- liczba poprzedzająca liczbę n

n- pewna liczba naturalna

(n+1)- następna liczba po n

brak liczby największej

b) zbiór liczb całkowitych (C)

-          zbiór liczb całkowitych parzystych

{..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ..., 2n-2, 2n, 2n+2, ...}

-          zbiór liczb całkowitych nieparzystych

{..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ..., 2n-1, 2n+1, 2n+3, ...}

c) zbiór liczb wymiernych (W)

-         

do zbioru liczb wymiernych należy każda liczba, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego    , gdzie p, q R i q 0

-          liczbami wymiernymi są: liczby całkowite, ułamki zwykłe i dziesiętne, ułamki dziesiętne nieskończone okresowe

-          każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe

-          ułamki zwykłe nieskracalne, których mianowniki w rozkładzie na czynniki pierwsze mają tylko liczby 2 i 5, mają rozwinięcia dziesiętne skończone

-          jeśli w rozkładzie mianownika ułamka zwykłego na czynniki pierwsze oprócz liczb 2 i 5 występują inne liczby pierwsze, to taki ułamek ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone ale okresowe

-          ilość cyfr w okresie ułamka musi być mniejsza od liczby występującej w mianowniku ułamka zwykłego

d) zbiór liczb niewymiernych (NW)

-          do zbioru liczb niewymiernych należy każda liczba, której nie można przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych

-          suma liczb wymiernych może być liczbą niewymierną lub liczbą wymierną

-          w wyniku mnożenia lub dzielenia liczb niewymiernych możemy otrzymać zarówno liczbę niewymierną jak i liczbę wymierną

e) działania w zbiorze liczb rzeczywistych

-          działanie jest wykonalne w pewnym zbiorze, jeżeli dla dowolnych elementów z tego zbioru wynik wykonanego działania również należy do tego zbioru.

*- z wyjątkiem dzielenia przez 0

4. Potęgowanie

a)      potęga o wykładniku naturalnym i całkowitym

-          wyrażenie an nazywamy potęgą o podstawie a i wykładniku n

b)      potęga o wykładniku wymiernym

-          potęgę o wykładniku będącym odwrotnością liczby naturalnej określamy wzorem:

; gdzie nN+\ {1} oraz a0

-          potęgę o dowolnym wykładniku ułamkowym określamy wzorem:

; gdzie a>0 i mC i nN+\ {1}