ciagi_liczbowe test.pdf

(155 KB) Pobierz
PrimoPDF, Job 7
CIġGI LICZBOWE
Poziom podstawowy
Zadanie 1 (4 pkt.)
Dany jest ciĢg o wyrazie oglnym
a n ,
2
=
n
+
10
n
¬
N
. Czy istnieje wyraz tego ciĢgu, ktry
n
+
+
3 ? Wyznacz n
jest rwny 2
a
n a
+2 .
-
Zadanie 2 (6 pkt.)
Marek chce przekopaę swj przydomowy ogrdek. Pierwszego dnia przekopaþ 27 m 2 . Aby
przyspieszyę prace, postanowiþ kaŇdego nastħpnego dnia przekopywaę o 4 m 2 wiħcej niŇ
poprzedniego. W ciĢgu ilu dni zakoıczy pracħ, jeĻli powierzchnia ogrdka wynosi 7, 83 a ?
Zadanie 3 (6 pkt.)
RozwiĢŇemy rwnanie: 4 + 8 + 12 + È + x 2 = 8320.
MoŇemy to robię w nastħpujĢcy sposb.
ZauwaŇmy najpierw, Ňe lewa strona jest sumĢ pewnej liczby wyrazw ciĢgu arytmetycznego.
Oznaczmy:
t = x 2 ,
n Î liczba skþadnikw sumy po lewej stronie rwnania.
Wwczas, korzystajĢc ze wzorw dla ciĢgu arytmetycznego, mamy:
t
=
4
+
(
n
-
1
µ
4
4
8320 .
+
t µ
n
2
Ë
t
=
4
+
4
(
n
-
1
otrzymujemy: Ê
t
=
256
RozwiĢzujĢc ukþad rwnaı:
4
+
t
. Zatem x 2 = 256, skĢd
Ì
µ
n
=
8320
n
=
64
2
x = 16 lub x = - 16 .
WykorzystujĢc powyŇsze rozumowanie, rozwiĢŇ rwnanie:
86 + 82 + 78 + 74 + È + (x 2 + 3x Î 2) = 968.
Zadanie 4 (2 pkt.)
Dane sĢ liczby:
a
=
3
-
1
b
=
2
(
2
-
3
),
c
=
2
(
3
-
5
. Czy liczby a, b, c mogĢ byę trzema
pierwszymi wyrazami ciĢgu geometrycznego?
Zadanie 5 (4 pkt.)
Marek wpþaciþ do banku 2000 zþ na lokatħ terminowĢ. Roczna stopa procentowa w tym
banku wynosi 3, 6%, a bank kapitalizuje odsetki co kwartaþ. Czy po 4 latach od momentu
wpþacenia suma, jakĢ wypþaci bank Markowi bħdzie wiħksza od wpþaconej o 15, 4%?
OdpowiedŅ uzasadnij. Nie uwzglħdniaj podatku od odsetek bankowych.
Zadanie 6 (6 pkt.)
n
a n , ktre sĢ wyrazami
2
+
10
Wyznaczymy te wyrazy ciĢgu o wyrazie oglnym
=
n
2
-
3
caþkowitymi.
=
Ê
118538855.045.png 118538855.046.png 118538855.047.png 118538855.048.png 118538855.001.png 118538855.002.png 118538855.003.png 118538855.004.png 118538855.005.png 118538855.006.png 118538855.007.png 118538855.008.png 118538855.009.png
MoŇemy to zrobię w nastħpujĢcy sposb.
n
2
+
10
n
2
-
3
+
13
13
ZauwaŇmy najpierw, Ňe
=
=
1
+
. Aby ostatnie wyraŇenie byþo
n
2
-
3
n
2
-
3
n
2
-
3
liczbĢ caþkowitĢ, mianownik uþamka musi byę rwny jednej z liczb: 1, -1, 13, -13. Mamy
zatem
n 2 Î 3 = 1 lub n 2 Î 3 = -1 lub n 2 Î 3 = 13 lub n 2 Î 3 = -13. OczywiĻcie interesujĢ nas tylko te
rozwiĢzania tych rwnaı, ktre naleŇĢ do zbioru liczb naturalnych. SĢ nimi: n = 2 oraz n = 4.
Tak wiħc tylko wyrazy a 2 i a 4 sĢ liczbami caþkowitymi.
WykorzystujĢc powyŇsze rozumowanie, wyznacz te wyrazy ciĢgu o wyrazie oglnym
2 2
n
2
-
11
a n , ktre sĢ liczbami caþkowitymi.
=
n
-
2
Zadanie 7 (5 pkt.)
W pewnym ciĢgu arytmetycznym (a n ) mamy: a 1 + a 5 = 16 oraz a 3 + a 9 = 46. Czy liczba
a
1 ... a
+
a
2
+
a
3
+
+
133
jest podzielna przez 41 ?
Zadanie 8 (4 pkt.)
Dany jest ciĢg
a n
= .
7
-
2
n
5
a) ZnajdŅ setny wyraz tego ciĢgu.
b) Ktrym wyrazem tego ciĢgu jest 5
2 ?
3
c) Ile wyrazw dodatnich ma ten ciĢg?
Zadanie 9 (5 pkt.)
Dany jest ciĢg ( )
a okreĻlony wzorem
n
a n
=
2 2
n
+
2
n
-
3
.
a) Zbadaj monotonicznoĻę tego ciĢgu.
b) Miħdzy ktrymi kolejnymi wyrazami tego ciĢgu rŇnica jest rwna 48?
Zadanie 10 (4 pkt.)
ZnajdŅ liczbħ x, dla ktrej liczby x, x+3, 16 sĢ kolejnymi wyrazami ciĢgu geometrycznego.
Zadanie 11 (3 pkt.)
Liczby ,
2 3
x +
9
x
x +
2
x
,
4
- x sĢ kolejnymi wyrazami ciĢgu arytmetycznego. Oblicz x.
3 -
Zadanie 12 (3 pkt.)
Dane sĢ dwa ciĢgi ( )
a i ( )
b . CiĢg ( )
a okreĻlony jest wzorem oglnym Õ
Ö
n
a n ,
Å
Æ
+
3
Ô
n
n
n
n
+
1
natomiast
b n
=
2 2
n
-
n
.
Oblicz 2
a µ .
4 b
Zadanie 13 (3 pkt.)
Liczby 102, 105, 108, 111,..., sĢ kolejnymi poczĢtkowymi wyrazami pewnego ciĢgu
arytmetycznego ( )
n
Ä
=
a . Zapisz wzr oglny na n-ty wyraz tego ciĢgu. Oblicz sumħ szesnastu
poczĢtkowych, kolejnych wyrazw tego ciĢgu.
118538855.010.png 118538855.011.png 118538855.012.png 118538855.013.png 118538855.014.png 118538855.015.png 118538855.016.png 118538855.017.png 118538855.018.png
Zadanie 14 (5 pkt.)
Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, podzielne przez 6 sĢ kolejnymi wyrazami pewnego
ciĢgu rosnĢcego.
a) Zapisz wzr oglny na n-ty wyraz tego ciĢgu.
b) Oblicz, ile wyrazw ma ten ciĢg.
c) Oblicz sumħ piħtnastu poczĢtkowych kolejnych wyrazw tego ciĢgu.
x
moŇna wykorzystaę wiadomoĻci dotyczĢce ciĢgu geometrycznego.
ZauwaŇmy najpierw, Ňe lewa strona rwnania jest sumĢ szeĻciu poczĢtkowych kolejnych
wyrazw ciĢgu geometrycznego, w ktrym 1
1
+
2
+
4
x
2
+
8
x
3
+
16
x
4
+
32
x
5
=
0
a i x
1 =
q 2
=
. Stwierdzamy ponadto, Ňe liczba
1 nie speþnia tego rwnania. StosujĢc wzr na sumħ wyrazw ciĢgu geometrycznego
1
-
( )
2
x
6
przeksztaþcamy rwnanie wyjĻciowe do postaci
=
0
, stĢd otrzymujemy rwnanie
1
-
2
x
1
1
2 6 =
x ktrego rozwiĢzaniami sĢ liczby
1
x oraz
1 =
x . PoniewaŇ wiemy, Ňe liczba
=
-
2
2
2
1 nie jest rozwiĢzaniem danego rwnania, stwierdzamy ostatecznie, Ňe rozwiĢzaniem
2
1 .
rwnania wyjĻciowego jest liczba 2
StosujĢc analogiczny sposb rozumowania, rozwiĢŇ rwnanie:
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
x
4
+
x
5
+
x
6
+
x
7
=
0
.
Zadanie 16 (4 pkt.)
Bank przyznaþ Mieczysþawowi Mieciowi 20000 zþ kredytu oprocentowanego na 9%
w stosunku rocznym. Kredyt ma byę spþacany przez 4 lata w rwnych miesiħcznych ratach.
Oblicz wysokoĻę comiesiħcznej raty.
Poziom rozszerzony
Zadanie 1 (5 pkt.)
Dany jest ciĢg, okreĻlony nastħpujĢco: Ê
a
1
=
9
dla n > 1.
a
=
a
- ,
+
8
n
n
n
1
ZnajdŅ i udowodnij wzr na wyraz oglny tego ciĢgu.
MoŇna to zrobię nastħpujĢco. Najpierw wypiszmy kilka pierwszych wyrazw tego ciĢgu:
a 1 = 3 2 , a 2 = 5 2 , a 3 = 7 2 . Przypuszczamy wiħc, Ňe dla kaŇdego +
n zachodzi
¬N
a n .
=
(
2
n
+
1
2
Udowodnimy to metodĢ indukcji matematycznej.
1ø. Na mocy okreĻlenia ciĢgu a 1 = 9 = (2 ß 1 + 1) 2 . wiħc wzr nasz jest prawdziwy dla n = 1.
2ø. WykaŇemy, Ňe dla dowolnego N
k ¬
i k ² 1 z faktu, Ňe
a k wynika, Ňe
(
2
k
+
1
2
a k
1 3
=
(
2
+
2
.
Zadanie 15 (4 pkt.)
Aby rozwiĢzaę rwnanie
2
( )
=
+ k
118538855.019.png 118538855.020.png 118538855.021.png 118538855.022.png 118538855.023.png
 
T (z okreĻlenia ciĢgu).
Dalej, na mocy zaþoŇenia indukcyjnego, mamy wiħc:
L
=
a
k
+ k
1
=
a
k
+
8
+
1
( . Na mocy
zasady indukcji matematycznej wnioskujemy, Ňe dla dowolnego 1
=
2
k
+
1
2
+
8
k
+
1
=
4
k
2
+
4
k
+
1
+
8
k
+
8
=
4
k
2
+
12
k
+
9
=
(
2
k
+
3
2
=
P
T
T
Nn zachodzi
¬
,
a n , co koıczy dowd.
WykorzystujĢc powyŇsze rozumowanie znajdŅ i udowodnij wzr na wyraz oglny ciĢgu,
okreĻlonego nastħpujĢco: Ê
=
(
2
n
+
1
2
a
1
=
25
dla n > 1.
a
=
a
- 8
+
8
n
+
n
n
1
Zadanie 2 (4 pkt.)
Oblicz granice:
a)
lim
(
n
2
+
2
n
+
3
-
n
2
+
3
n
+
2
)
,
n
3
lim -
n
+
1
-
5
µ
4
n
+
2
b)
.
n
+
2
2
n
+
1
+
3
n
2
Zadanie 3 (6 pkt.)
Wyznacz zbir rozwiĢzaı nierwnoĻci
x
Ä
x
Ô
2
Ä
x
Ô
3
+
Æ
Ö
+
Æ
Ö
+
...
<
1
.
1
-
x
1
-
x
1
-
x
Zadanie 4 (5 pkt.)
Udowodnij, Ňe jeŇeli miary trzech kolejnych kĢtw czworokĢta wpisanego w okrĢg tworzĢ
ciĢg arytmetyczny, to co najmniej dwa kĢty tego czworokĢta sĢ proste.
Zadanie 5 (6 pkt.)
Wyznacz wartoĻci a i b tak, aby ciĢg -2, a 2 , b 3 , -20 miaþ te wþasnoĻę, Ňe trzy jego pierwsze
wyrazy stanowiĢ trzy kolejne wyrazy pewnego ciĢgu geometrycznego, zaĻ trzy ostatnie Î trzy
kolejne wyrazy pewnego ciĢgu arytmetycznego.
Zadanie 6 (8 pkt.)
W pewnym ciĢgu geometrycznym rŇnica kwadratw pierwszego i drugiego wyrazu wynosi
12, zaĻ rŇnica kwadratw pierwszego i trzeciego wyrazu 15. ZnajdŅ piĢty wyraz tego ciĢgu.
sin +
sĢ trzema kolejnymi poczĢtkowymi wyrazami ciĢgu arytmetycznego, w ktrym suma czterech
pierwszych wyrazw jest rwna 6.
¬x , dla ktrych liczby ,
0
sin 2 x
sin
2
x+
cos
2
x
,
2
x
2
cos
2
x
Zadanie 8 (6 pkt.)
Wyznacz wszystkie wartoĻci x, dla ktrych liczby: 9,
3 +
2
, 9 sĢ trzema kolejnymi
9
wyrazami ciĢgu geometrycznego.
Dowd (indukcyjny): ZauwaŇmy, Ňe
L
n
Zadanie 7 (7 pkt.)
Wyznacz wszystkie p
x
118538855.024.png 118538855.025.png 118538855.026.png 118538855.027.png 118538855.028.png 118538855.029.png 118538855.030.png 118538855.031.png 118538855.032.png 118538855.033.png 118538855.034.png 118538855.035.png
Zadanie 9 (4 pkt.)
WykaŇ, Ňe jeŇeli ( )
a jest ciĢgiem geometrycznym o wyrazach dodatnich, to ciĢg ( )
n
b
n
o wyrazie oglnym n
b 5
n a
=
log
jest ciĢgiem arytmetycznym.
Zadanie 10 (5 pkt.)
Wyznacz wszystkie wartoĻci x, dla ktrych pierwszy, drugi i czwarty wyraz nieskoıczonego
ciĢgu geometrycznego ( )
x sĢ trzema kolejnymi wyrazami ciĢgu arytmetycznego.
,
,...
Zadanie 11 (6 pkt.)
Udowodnij stosujĢc zasadħ indukcji matematycznej Ňe, dla kaŇdego caþkowitego, dodatniego
n zachodzi rwnoĻę:
2
+
5
+
8
+
...
+
( )
n
-
1
=
3
n
2
+
1
n
.
2
2
Zadanie 12 (5 pkt.)
Suma n poczĢtkowych, kolejnych wyrazw ciĢgu ( )
n
a , jest obliczona wedþug wzoru
S n 3
n
2 +
n
n . WykaŇ, Ňe ciĢg ( )
¬N
+
a jest ciĢgiem arytmetycznym.
n
Zadanie 13 (11 pkt.)
RozwiĢŇ nierwnoĻę
1
+
1
+
1
+
...
Ï
2
x
-
0
( ) ,
9
gdzie lewa strona tej nierwnoĻci jest
2
x
4
x
8
x
sumĢ nieskoıczonego ciĢgu geometrycznego.
Zadanie 14 (5 pkt.)
Zbadaj monotonicznoĻę ciĢgu o wyrazie oglnym:
n
2
-
7
n
+
10
a n
=
n
2
+
3
n
+
3
-
n
+
2
3
( )
=
118538855.036.png 118538855.037.png 118538855.038.png 118538855.039.png 118538855.040.png 118538855.041.png 118538855.042.png 118538855.043.png 118538855.044.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin