09. oprac_niezaleznosc_liniowa.pdf

(317 KB) Pobierz
POLITECHNIKA POZNA NSKA
Niezalezno s c liniowa, bazy i wymiar
Autorzy:
Krystian Grzymski
Weronika Witkowiak
19 grudnia 2012
949288397.018.png 949288397.019.png
 
N IEZALE ZNO S C LINIOWA
W EKTORY v 1 ,v 2 ,...,v n S A LINIOWO NIEZALE ZNE WTEDY I TYLKO WTEDY GDY :
• W YZNACZNIK MACIERZY SKŁADAJ ACEJ SI E Z TYCH WEKTORÓW JEST RÓ ZNY OD
ZERA .
• D LA KA ZDEGO UKŁADU c 1 ,c 2 ,...,c n ZACHODZI RÓWNO S C :
c 1 v 1 + c 2 v 2 + .. + c n v n =0 I WTEDY KA ZDE c i ( i =1 , 2 ,...,n ) JEST RÓWNE 0
Czy wektory [1, 2], [3, 5] s a niezalezne?
"
#"
#
13
25
c 1
c 2
=0
Obliczamy wyznacznik macierzy:
detA =1 5 − 2 3=5 − 6= − 1
detA 6 =0
Podstawiamy do wzoru c 1 v 1 + c 2 v 2 + .. + c n v n =0:
[1 , 2] c 1 +[3 , 5] c 2 =0
(
c 1 +3 c 2 =0
2 c 1 +5 c 2 =0
Rozwi azujemy układ równa n eliminacj a Gaussa:
(
c 1 +3 c 2 =0
− c 2 =0
Z tego wynika, ze c 2 =0, wi ec i c 1 =0.
Rozwi azanie:
c =[0 , 0]
Wektory s a niezalezne liniowo.
1
949288397.020.png 949288397.001.png 949288397.002.png
 
Z ALE ZNO S C LINIOWA
J E ZELI WEKTORY NIE S A NIEZALE ZNE LINIOWO TO S A ONE WEKTORAMI ZALE ZNYMI
LINIOWO .
Przykład na przestrzeni R
2
v v
2
1
Jest to wektor podwójny2 V 1 − V 2 =0, wi ec wektory s a zalezne.
=0 v
v
1
2
Gdy jeden z wektorów wynosi 0 to s a one zalezne
0 • V 1 +6 • V 2 =0
2
949288397.003.png 949288397.004.png 949288397.005.png 949288397.006.png 949288397.007.png 949288397.008.png 949288397.009.png 949288397.010.png 949288397.011.png 949288397.012.png 949288397.013.png 949288397.014.png
P RZESTRZE N LINIOWA ROZPI ETA NA WEKTORACH
( SPAN )
P RZESTRZE N LINIOWA ROZPI ETA NA WEKTORACH TO PODPRZESTRZE N , KTÓRA
SKŁADA SI E ZE ZBIORU WSZYSTKICH KOMBINACJI WEKTORÓW DANEJ PRZESTRZENI .
S PAN OZNACZA SI E JAKO : span { v 1 ,v 2 ,...,v n }
Czy mozna sprawdzic, czy dana macierz rozpina przestrze n? Mozna.
Przykład:
Macierze rozpinaj ace przestrze n to:
"
#
"
#
131
253
451
332
A 1 =
A 2 =
Macierze, które mog a nalezec do tej przestrzeni to:
"
#
"
#
121
213
771
411
B 1 =
B 2 =
Jak sprawdzic czy B 1 lub B 2 nalez a do przestrzeni rozpinanej?
Układamy równianie dla B 1 i B 2
"
#
"
#
"
#
121
213
131
253
451
332
= a
+ b
zatem
"
#
"
#
121
213
a +4 b 3 a +5 ba + b
2 a +3 b 5 a +3 b 3 a +2 b
=
st ad
8
> > > > > > > > <
1= a +4 b
2=3 a +5 b
1= a + b
2=2 a +3 b
1=5 a +3 b
3=3 a +2 b
> > > > > > > > :
Z tego układu bierzemy równanie pierwsze i trzecie.
(
1= a +4 b
1= a + b
(
1 − a =4 b
1 − a = b
Jak widac, dla macierzy B 1 układ równa n jest sprzeczny, wi ec nie moze ona nalezec
do przestrzeni.
3
949288397.015.png 949288397.016.png 949288397.017.png
 
Sprawdzmy to samo dla macierzy B 2
"
#
"
#
"
#
771
411
131
253
451
332
= a
+ b
zatem
"
#
"
#
771
411
a +4 b 3 a +5 ba + b
2 a +3 b 5 a +3 b 3 a +2 b
=
st ad
8
> > > > > > > > <
7= a +4 b
7=3 a +5 b
1= a + b
4=2 a +3 b
1=5 a +3 b
1=3 a +2 b
> > > > > > > > :
Bierzemy znów pierwsze i trzecie równanie.
(
7= a +4 b
1= a + b
(
7 − 4 b = a
1 − b = a
7 − 4 b =1 − b
− 3 b = − 6
b =2
a =1 − b
a = − 1
Jego rozwi azaniem s a: a = − 1i b =2, dlatego B 2 nalezy do rozpinanej przestrzeni.
4
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin