Skrypt Tymowskiego.pdf

(680 KB) Pobierz
009
D:\materiały\Analiza matematyczna\Skrypt Tymowskiego\009.doc 2003-lis-23, 22:1
I. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych
R \ . Mo Ň na wybra ę
kilkana Ļ cie własno Ļ ci zbioru R , z których wynikaj Ģ wszystkie inne. Istnieje taka aksjomatyczna
definicja zbioru R . Konstrukcje Cantora i Dedekinda dowodz Ģ , Ň e zbiór liczb rzeczywistych
istnieje.
Podamy sformułowanie zasady indukcji zupełnej, w której to postaci jest natychmiastowym
wnioskiem z definicji zbioru N jako podzbioru zbioru R .
TWIERDZENIE 1. Je Ļ li
0
Ï
N
), całkowitych Z , wymiernych Q i niewymiernych Q
A
Ì
N
jest zbiorem posiadaj Ģ cym własno Ļ ci 1) A
1
Î
, 2)
n
Î
A
¼
n
+
1
Î
A
, to
A
=
N
.
n
( )
2
n
+
1
PRZYKŁAD 1. Udowodnimy, Ň e
1
+
2
+
2
+
n
=
dla ka Ň dego
n
Î
N
. Niech
A
=
Ê
n
Î
N
;
1
+
2
+
2
+
n
=
n
( ) Ú
n
+
1
. Oczywi Ļ cie
A
Ì
N
. Sprawdzamy, Ň e A
1
Î
:
2
1
=
1
×
(
+
1
. Zakładamy, Ň e
n
Î
A
. Sprawdzamy, Ň e
n
+
1
Î
A
:
2
1
+
2
+
2
+
n
+
( )
n
+
1
=
n
( )
n
+
1
+
n
+
1
=
n
( ) ( ) ( )(
n
+
1
+
2
n
+
1
=
n
+
1
n
+
2
)
. Zatem
2
2
2
A
=
N
na mocy zasady indukcji zupełnej.
DEFINICJA 1. Rozszerzonym zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy zbiór
{
R
: R
=
È
-
¥
,
+¥
}
, gdzie
-
¥
,
+¥
Ï
R
z rozszerzon Ģ relacj Ģ porz Ģ dku
<
ze zbioru R na zbiór
R w ten sposób, Ň e
-
¥
<
x
<
+¥
dla ka Ň dego
x
Î
R
, i przedłu Ň onymi działaniami
arytmetycznymi w sposób nast ħ puj Ģ cy:
( ) ( ) ( ) ( )
+
¥
+
+
¥
=
+
¥
-
-
¥
=
x
+
( ) ( )
+
¥
=
+
¥
+
x
=
x
-
( )
-
¥
:
=
+¥
,
( ) ( ) ( ) ( )
¥
+
-
¥
=
-
¥
-
+
¥
=
x
+
( ) ( )
-
¥
=
-
¥
+
x
=
x
-
( )
+
¥
:
=
-¥
,
( ) ( ) ( ) ( )
¥
×
+
¥
=
-
¥
×
-
¥
:
=
+¥
,
( ) ( ) ( ) ( )
¥
×
-
¥
=
-
¥
×
+
¥
:
=
-¥
,
x
×
( ) ( )
+
¥
=
+
¥
×
x
:
=
Ê
+
¥
,
je
Ļ li
x
>
0
,
-
¥
,
je
Ļ li
x
<
0
x
×
( ) ( )
-
¥
=
-
¥
×
x
:
=
Ê
-
¥
,
je
Ļ li
x
>
0
,
+
¥
,
je
Ļ li
x
<
0
x
=
x
:=
0
+
¥
-
¥
x Î (nie okre Ļ lamy dodawania tzw. niesko ı czono Ļ ci ró Ň nych znaków, odejmowanie
niesko ı czono Ļ ci tego samego znaku, mno Ň enia niesko ı czono Ļ ci przez zero, dzielenia
niesko ı czono Ļ ci przez niesko ı czono Ļę i przez zero).
Sposób przedłu Ň enia działa ı arytmetycznych jest podyktowany teori Ģ granic.
W jednym z aksjomatów zbioru R wyst ħ puje poj ħ cie kresu podzbioru zbioru
uporz Ģ dkowanego. Ograniczmy si ħ do definicji kresów w przypadku zbioru uporz Ģ dkowanego R .
DEFINICJA 2. Element
R
s
Î
R
nazywamy kresem górnym zbioru
A
Ì
R
i oznaczamy
symbolem
sup , je Ļ li
A
1)
Î
a
£
s
, tzn. s jest ograniczeniem górnym zbioru A ,
a
A
-- 1 --
Znamy ze szkoły własno Ļ ci zbioru liczb rzeczywistych R i jego podzbiorów: liczb
naturalnych N (
-
+
+
dla ka Ň dego
58545226.012.png
 
D:\materiały\Analiza matematyczna\Skrypt Tymowskiego\009.doc 2003-lis-23, 22:1
2)
" Î
<
s
a
A
a
>
t
, a wi ħ c s jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru A .
Element R
i
Î
nazywamy kresem dolnym zbioru
A
Ì
R
i oznaczamy symbolem
inf , je Ļ li
A
1)
a
Î
A
a
³
i
, tzn. i jest ograniczeniem dolnym zbioru A ,
2)
" Î
j
>
i
a
A
a
<
j
, a wi ħ c i jest najwi ħ kszym ograniczeniem dolnym zbioru A .
Ka Ň dy niepusty i ograniczony z góry (z dołu) zbiór
A Ì
R
posiada kres górny (dolny). Jest
to aksjomat.
Analogicznie definiujemy kresy zbioru
A
Ì
R
. W tym przypadku ka Ň dy niepusty zbiór
A Ì
R
posiada oba kresy. Je Ļ li zbiór
A Ì
R
nie jest ograniczony z góry ( z dołu) w zbiorze R , to
sup
A
=
+¥
(
inf
A
=
-¥
) w zbiorze R .
PRZYKŁAD 2. Niech
A
:
=
Ê
1
;
n
Î
N
Ú
È
N
. Wówczas
inf
A
=
0
, a
sup nie istnieje
A
n
(w zbiorze R , gdy Ň
sup
A
=
+¥
w zbiorze R ).
II. Podstawowa terminologia zwi Ģ zana z funkcjami
: oznacza, Ň e f jest funkcj Ģ
ze zbioru X w zbiór Y . Synonimami dla „funkcji” s Ģ „przyporz Ģ dkowanie, odwzorowanie,
przekształcenie” oraz inne terminy tradycyjnie u Ň ywane w danej dziedzinie matematyki.
Zbiór
Pozostajemy przy szkolnej definicji funkcji. Symbol
f
X
®
Y
f
( )
A
:
=
{
y
Î
Y
;
$
y
=
f
( )
x
}
=
{
f
( )
x
;
x
Î
A
}
nazywamy obrazem zbioru
A Ì
X
,
x
Î
X
a zbiór
f
-
1
( )
B
:
=
{
x
Î
X
;
f
( )
x
Î
B
–przeciwobrazem zbioru
B Ì
Y
, przy odwzorowaniu
f
:
X
.
DEFINICJA 3. Funkcj ħ
®
Y
f
:
X
®
nazywamy ró Ň nowarto Ļ ciow Ģ , je Ļ li
( ) ( )
x
, 2
" Î
x
X
f
x
1
=
f
x
2
¼
x
1
=
x
2
.
1
DEFINICJA 4. Je Ļ li
f
:
X
®
Y
jest funkcj Ģ ró Ň nowarto Ļ ciow Ģ , to funkcj ħ
f
- :
1
f
( )
X
®
X
dan Ģ wzorem
f
-
1
( )
y
:
=
x
, gdzie
f
( )
x
=
y
, nazywamy odwrotn Ģ do funkcji
f .
Poprawno Ļę definicji. Je Ļ li
y Î
f
( )
X
, to istnieje dokładnie jeden taki
x Î
X
, Ň e
f
( )
x
.
PRZYKŁAD 3. Funkcja
=
y
f
:
0
+¥
)
®
R
dana wzorem
f
( )
x
:
= x
2
+
1
jest
ró Ň nowarto Ļ ciowa: je Ļ li
x
1 x
, 2
Î
0
+¥
)
i
x
2
+
1
=
x
2
+
1
, to
x
1 x
=
. Poniewa Ň
1
2
2
f
(
0
+¥
)
)
=
1
+¥
)
, wi ħ c
f
-
1
:
1
+¥
)
®
0
+¥
)
. Niech
y
Î
1
+¥
)
. Rozwi Ģ zujemy
równanie
f
( )
x
=
y
wzgl ħ dem niewiadomej
x
Î
0
+¥
)
:
x
2
+ 1
=
y
,
x
2
=
y
-
1
,
x
=
y
-
1
.
Zatem
f
-
1
( )
y
=
y
-
1
. Oznaczaj Ģ c argument funkcji
f liter Ģ x otrzymujemy wzór
1
f
-
1
( )
x
na funkcj Ģ odwrotn Ģ do funkcji f .
DEFINICJA 5. Niech
=
x
-
1
f
:
D
f
®
Y
,
g g
:
®
Z
i
D
g
A
f
:
=
{
x
Î
D
f
;
f
( )
x
Î
D
g
}
¹
Æ
.
Wówczas zło Ň eniem lub superpozycj Ģ
g A
f
funkcji f i g nazywamy funkcj ħ
g
A
f
:
D
g
A
f
®
Z
dan Ģ wzorem
-- 2 --
t
Y
58545226.013.png 58545226.014.png
D:\materiały\Analiza matematyczna\Skrypt Tymowskiego\009.doc 2003-lis-23, 22:1
A ,
przy czym funkcj ħ f nazywamy wewn ħ trzn Ģ , a g –zewn ħ trzn Ģ , zło Ň enia
(
g
f
)( )
x
:
=
g
( ( )
f
x
g A
f
.
PRZYKŁAD 4. 1) Naturaln Ģ dziedzin Ģ funkcji f danej wzorem
f
( )
x
:
=
ln
x
jest przedział
(
0
+¥
)
, a funkcji g danej wzorem
g
( )
x
:
=
x
–przedział
0
+¥
)
. Zatem zło Ň eniem
g A
f
tych
funkcji o naturalnych dziedzinach jest funkcja dana wzorem
(
g
A
f
)( )
x
:
=
g
( ( ) ( )
f
x
=
g
ln
x
=
ln
x
o dziedzinie
D f
g A
:
=
{
x
Î
(
0
+¥
)
;
ln
x
Î
0
+¥
)
}
=
1
+¥
)
. 2) Nie jest okre Ļ lone zło Ň enie
g A
f
funkcji
f
:
R
®
R
,
f
( )
x
:=
5
,
g
:
R
\
{ }
5
®
R
,
g
( )
x
:
= x
1
. Zło Ň enie
f A
g
jest funkcj Ģ
-
5
f
A
g
:
R
\
{ }
5
®
R
,
(
f A
g
)( )
x
:
=
5
.
TWIERDZENIE 2. Funkcje
f
:
X
®
Y
,
g
:
Y
®
X
s Ģ ró Ň nowarto Ļ ciowe i wzajemnie do
siebie odwrotne, wtedy i tylko wtedy, gdy
g
A
f
=
i
X
i
f
A
g
=
i
(
i , –funkcje
X i
Y
identyczno Ļ ciowe o wskazanych dziedzinach).
DOWÓD. ( ¼ )Implikacja oczywista. ( Ü ) Sprawdzimy ró Ň nowarto Ļ ciowo Ļę funkcji f .
Niech
x
1 ,
x
2
Î
X
i
f
( ) ( )
x
1
=
f
x
2
. Wówczas
g
(
f
( )
x
1
)
=
g
(
f
( )
x
2
)
, czyli
x
1 x
=
2
.
Sprawdzimy, Ň e
f
-1
=
g
. Niech
y Î
Y
. Je Ļ li
f
-1
( )
y
=
x
, to
f
( )
x
=
y
,
g
( ( ) ( )
f
x
=
g
y
, czyli
x =
g
( )
y
, a wi ħ c
f
-1
( ) ( )
y
=
g
y
. Na mocy symetrii zało Ň e ı równie Ň funkcja g jest
ró Ň nowarto Ļ ciowa i
g
-1
=
f
.
PRZYKŁAD 5. Niech
X
:
=
Æ
-
p
,
p
Ö
,
f
( ) (
t
:=
cos
t
,
sin
t
)
dla ka Ň dego X
t Î
,
2
2
Y
:
=
{
( )
x
,
y
Î
R
2
;
x
2
+
y
2
=
1
Ù
x
>
0
}
,
g
( )
x
,
y
:
=
arctan
y
dla ka Ň dego
( )
x
,
y
Î
Y
.
x
Poniewa Ň
f
:
X
®
Y
,
g
:
Y
®
X
,
(
g
A
f
)( )
t
=
g
( ( ) (
f
t
=
g
cos
t
,
sin
t
)
=
arctan
sin
t
=
arctan
( )
tan
t
=
t
dla ka Ň dego X
t
Î
,
cos
t
(
f
A
g
)( )
x
,
y
=
f
(
g
( )
x
,
y
)
=
f
Æ
arctan
y
Ö
=
Æ
cos
Æ
arctan
y
Ö
,
sin
Æ
arctan
y
Ö
Ö
=
( )
x
,
y
dla
x
x
x
ka Ň dego
( )
x
,
y
Î
Y
, wi ħ c funkcje g
f , s Ģ wzajemnie do siebie odwrotne.
-- 3 --
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
58545226.001.png 58545226.002.png 58545226.003.png 58545226.004.png 58545226.005.png 58545226.006.png 58545226.007.png
 
D:\materiały\Analiza matematyczna\Skrypt Tymowskiego\009.doc 2003-lis-23, 22:1
TWIERDZENIE 3. Zło Ň enie
g
A
f
:
D
g
A
f
®
Z
funkcji ró Ň nowarto Ļ ciowych
f
:
D
®
Y
,
g g
:
®
Z
jest funkcj Ģ ró Ň nowarto Ļ ciow Ģ , przy czym
(
g
A
f
)
-
1
=
f
-
1
A
g
-
1
.
f
DOWÓD. Sprawdzamy ró Ň nowarto Ļ ciowo Ļę funkcji
g A
f
. Niech
x
1 ,
x
2
Î
D
g
A
f
i
g
(
f
( )
x
1
)
=
g
(
f
( )
x
2
)
. Wówczas
f
( ) ( )
x
1
=
f
x
2
na mocy ró Ň nowarto Ļ ciowo Ļ ci funkcji g , wi ħ c
x
1 x
=
na mocy ró Ň nowarto Ļ ciowo Ļ ci funkcji f . Funkcje
(
g A
f
)
-
1
,
f
- g
1
A
-
1
maj Ģ równe
2
dziedziny:
D
( )
g
A
f
-
1
=
(
g
A
f
) ( )
D
g
A
f
=
{
g
( ( )
f
x
;
x
Î
D
f
Ù
f
( )
x
Î
D
g
}
=
{
g
( )
y
;
y
Î
f
( )
D
f
Ù
y
Î
D
g
}
=
{
( )
( )
}
{
}
=
z
Î
g
D
;
g
-
1
( )
z
Î
f
D
=
z
Î
D
;
g
-
1
( )
z
Î
D
=
D
.
g
f
g
-
1
f
-
1
f
-
1
A
g
-
1
Je Ļ li
(
f
-
1
A
g
-
1
) ( )
z
=
x
, to
f
-
1
(
g
-
1
( )
z
)
=
x
,
g
-1
( ) ( )
z
=
f
x
,
z =
g
( ( )
f
x
,
z
=
(
g
A
f
)( )
x
,
(
g
A
f
A .
Uwaga. Dowód korzystaj Ģ cy z twierdzenia 2. jest trudniejszy.
DEFINICJA 6. Funkcj ħ
) ( )
-1
z
=
x
. Zatem
(
g
f
)
-
1
=
f
-
1
A
g
-
1
f
:
X
®
Y
nazywamy:
1) surjekcj Ģ , je Ļ li
f
( )
X
=
Y
(piszemy wówczas
f
:
X
¾
¾®
na
Y
),
2) injekcj Ģ , je Ļ li jest ró Ň nowarto Ļ ciowa,
3) bijekcj Ģ , je Ļ li jest surjekcj Ģ i injekcj Ģ .
DEFINICJA 7. Obci ħ ciem, zaw ħŇ eniem lub restrykcj Ģ funkcji
f
:
X
®
Y
do zbioru
A
Ì
X
: .
Na funkcjach rzeczywistych mo Ň emy dokonywa ę działa ı arytmetycznych.
DEFINICJA 8. Sum Ģ ró Ň nic Ģ , iloczynem i ilorazem funkcji
nazywamy funkcj ħ
f
A
:
A
®
Y
dan Ģ wzorem
f
A
( ) ( )
x
=
f
x
f
:
D
f
®
R
,
g g ®
:
R
nazywamy funkcj ħ o dziedzinach
D
f
+
g
=
D
f
-
g
=
D
f
×
g
:
=
D
f
Ç
D
g
,
D
f
:
=
D
f
Ç
{
x
Î
D
g
;
g
( )
x
¹
0
}
okre Ļ lone wzorami
(
f
+
g
)( ) ( ) ( )
x
:
=
f
x
+
g
x
,
(
f
-
g
)( ) ( ) ( )
x
:
=
f
x
-
g
x
,
( )( ) ( ) ( )
f
×
g
x
:
=
f
x
×
g
x
,
f
( )
x
:
=
f
( )
( )
x
.
g
g
x
PRZYKŁAD 6. Dla
f
:
=
sin
,
g
:
=
cos
funkcja
f
×
g
na naturalnej dziedzinie
g
f
R
\
Ê
k
p
;
k
Î
Z
Ú
jest równa funkcji stałej
1
.
Ê
p Z
Ú
2
R
\
k
;
k
2
, zostały wyró Ň nione funkcje parzyste,
nieparzyste, okresowe, monotoniczne (niemalej Ģ ce, rosn Ģ ce, nierosn Ģ ce lub malej Ģ ce) i ograniczone
(tzn. takie, Ň e zbiór
W szkole spo Ļ ród funkcji
f
:
D
®
R
,
D
Ì
R
f
( )
D
jest ograniczony z góry i z dołu). Zakładamy znajomo Ļę odpowiednich
definicji.
-- 4 --
58545226.008.png 58545226.009.png
D:\_AND\001\PR_NAUK\2003\97_TYMOWSKI\010.DOC 2003-sie-03, 10:35
III. CIġGI
DEFINICJA 9. Funkcje
a
:
N
®
X
nazywamy ci Ģ giem w zbiorze X . Tradycyjnie warto Ļę
a ci Ģ gu a na argumencie n oznaczamy symbolem a , a sam ci Ģ g a symbolem
( )
( )
n a .
UWAGA. Nale Ň y rozró Ň nia ę wyrazy ci Ģ gu (pary
( )
n , od jego warto Ļ ci. Ka Ň dy ci Ģ g ma
a
n
niesko ı czenie wiele wyrazów, a np. ci Ģ g
( ( )
-
1
n
ma tylko dwie warto Ļ ci 1
-
i 1 .
Od tej pory mówimy tylko o ci Ģ gach w zbiorze R .
DEFINICJA 10. Granic ħ ci Ģ gu
( )
n a oznaczamy symbolem
lim i w zale Ň no Ļ ci od
a
n
n
®
+¥
przypadku, czy jest liczb Ģ
g
Î
R
,
+
¥
, czy
-
¥
, definiujemy odpowiednim warunkiem:
1)
lim
a
=
g
Û
Æ
"
$
"
a
-
g
<
e
Ö
,
n
n
n
®
+¥
e
>
0
n
Î
N
n
>
n
0
0
2)
lim
a
=
+¥
Û
Æ
"
$
"
a
>
e
Ö
,
n
n
n
®
+¥
e
>
0
n
Î
N
n
>
n
0
0
3)
lim
a
=
-¥
Û
Æ
"
$
"
a
<
-
e
Ö
,
n
n
n
®
+¥
e
>
0
n
Î
N
n
>
n
0
0
PRZYKŁAD 7. Sprawdzimy, Ň e
lim
( )
n
-
n
2
=
-¥
. Rozwi Ģ zujemy nierówno Ļę
n
-
n
2
<
-
e
n
®
+¥
z danym parametrem
e
>
0
wzgl ħ dem niewiadomej
n
Î
R
:
n
2
-
n
-
e
>
0
,
D
=
1
+
4
e
,
n
=
1
-
1
+
4
e
,
n
=
1
+
1
+
4
e
,
n
Î
(
-
¥
,
n
) (
È
n
,
+¥
)
. Zatem dla danego
e
>
0
za
n
Î
N
1
2
2
2
1
2
0
wystarczy przyj Ģę dowoln Ģ liczb ħ naturaln Ģ z przedziału
[
n
,
+¥
)
, gdy Ň ka Ň da liczba
n
Î
N
wi ħ ksza od n nale Ň y do przedziału
(
n
,
+¥
)
, a wi ħ c spełnia nierówno Ļę
n
-
n
2
<
-
e
.
Wprowadzamy oznaczenia:
U
e
( ) (
x
:
=
x
-
e
,
x
+
e
)
,
x
Î
R
,
U
e
( ) ( ]
+
¥
:
=
e
,
+¥
,
U
e
( ) [
-
¥
:
=
-
¥
,
-
e
)
dla ka Ň dego
e
>
0
. Przedział
U e
( )
x
b ħ dziemy nazywa ę
e
–otoczeniem punktu
x
Î
R
. Zauwa Ň my, Ň e trzy przypadki definicji 10. mo Ň na zapisa ę ł Ģ cznie:
( )
lim
a
=
g
Û
Æ
"
$
"
a
Î
U
g
Ö
n
n
e
n
®
+¥
e
>
0
n
Î
N
n
>
n
0
0
Dla ka Ň dego
g Î
R
. Zauwa Ň my, Ň e ci Ģ g mo Ň e posiada ę co najwy Ň ej jedn Ģ granic ħ . Rzeczywi Ļ cie,
gdyby
g
1 ,
g
2
Î
R
,
g
1 g
¹
2
, były granicami ci Ģ gu
( )
n a , to istniałyby ich rozł Ģ czne otoczenia
U e i prawie wszystkie wyrazy ci Ģ gu (tzn. wszystkie oprócz sko ı czonej ilo Ļ ci)
musiałyby mie ę warto Ļ ci nale ŇĢ ce do obu otocze ı , co jest niemo Ň liwe, gdy Ň
1
( )
g
1
,
2
( )
g
2
U
e
( )
g
1
Ç
U
e
( )
g
2
=
Æ
.
1
2
DEFINICJA 11. Ci Ģ gi posiadaj Ģ ce sko ı czone granice nazywamy zbie Ň nymi, pozostałe —
rozbie Ň nymi.
Podstawowe twierdzenia teorii podamy bez dowodów.
TWIERDZENIE 4. Ka Ň dy ci Ģ g zbie Ň ny jest ograniczony.
TWIERDZENIE 5. Ka Ň dy ci Ģ g monotoniczny posiada granic ħ . Ka Ň dy ci Ģ g monotoniczny
i ograniczony jest zbie Ň ny.
TWIERDZENIE 6. Dla ci Ģ gów
( )
n a ,
( )
b posiadaj Ģ cych granic ħ zachodz Ģ wzory.
lim
(
a
n
+
b
n
)
=
lim
a
n
+
lim
b
n
,
n
®
+¥
n
®
+¥
n
®
+¥
lim
(
a
n
-
b
n
)
=
lim
a
n
-
lim
b
n
,
n
®
+¥
n
®
+¥
n
®
+¥
lim
(
a
n
×
b
n
)
=
lim
a
n
×
lim
b
n
,
n
®
+¥
n
®
+¥
n
®
+¥
-- 1 --
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
U e
58545226.010.png 58545226.011.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin