Rachunek niepewnosci pomiarowych.pdf

Rachunekniepewno±cipomiarowych *

(Materiały dydaktyczne do laboratorium ﬁzyki)

Politechnika Koszali«ska pa¹dziernik 2010

Spistre±ci

1. Poj¦cia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Bł¦dy pomiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1. Bł¦dy systematyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Bł¦dy przypadkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3. Bł¡d gruby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3. Opracowywanie wyników pomiarów obarczonych bł¦dem systematycznym . . . . . . . . . . 4

3.1. Pomiary bezpo±rednie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2. Pomiary po±rednie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4. Opracowywanie wyników pomiarów obarczonych bł¦dem przypadkowym . . . . . . . . . . . 6

4.1. Pomiary bezpo±rednie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.2. Pomiary po±rednie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5. wiczenia z rachunku niepewno±ci pomiarowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.1. Rozkłady statystyczne, odchylenie standardowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.2. Przenoszenie niepewno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.3. Regresja liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Niniejsze opracowanie nie obejmuje nowej metodyki opracowywania niepewno±ci pomiarowych.

B¦dzie ona wprowadzona w pó¹niejszym okresie i zamieszczona w materiałach internetowych. Zostanie

te» uwzgl¦dniona w niektórych ¢wiczeniach realizowanych w drugiej cz¦±ci zaj¦¢ na pracowni.

Opracowywanie wyników pomiarów z uwzgl¦dnieniem nowej metodyki jest du»o bardziej zło»one.

Ze wzgl¦dów dydaktycznych wydaje si¦ wskazane by pocz¡tkowe ¢wiczenia cechowały si¦ mo»liwie

du»¡ prostot¡. wiczenia wykonywane w pracowni maj¡ charakter dydaktyczny, słu»¡ poznaniu i opa-

nowaniu szeregu nowych umiej¦tno±ci. Zło»ono±¢ wykonywanej przez studentów pracy winna by¢ stop-

niowana. Te wzgl¦dy uzasadniaj¡ pozostawienie starej metodyki rachunku niepewno±ci pomiarowych

jako metody prostszej i wystarczaj¡cej dydaktycznie w pierwszej cz¦±ci zaj¦¢.

1.Poj¦ciapodstawowe

Wielo±¢ ﬁzyczna – ka»da mierzalna własno±¢ ciała lub zjawiska np. masa, pr¦dko±¢, temperatura,

czas. Oznacza to, »e mo»emy te własno±ci okre±li¢ liczbowo jako wielokrotno±¢ pewnej przyj¦tej

jednostki danej wielko±ci.

Prawa przyrody – (tu: prawa ﬁzyczne) mi¦dzy niektórymi wielko±ciami ﬁzycznymi wyst¦puj¡ za-

le»no±ci, które mo»na przedstawi¢ przy pomocy matematyki. Te najbardziej ogólne s¡ prawami

ﬁzycznymi (np. prawo zachowania p¦du, energii itd.), inne stanowi¡ zwi¡zki deﬁnicyjne (np.

* OpracowanieJanMazur,w.05.11.2010.

prawo Ohma mówi o liniowej zale»no±ci mi¦dzy nat¦»eniem pr¡du a spadkiem napi¦cia, jedno-

cze±nie pozwala zdeﬁniowa¢ now¡ wielko±¢ ﬁzyczn¡ – opór elektryczny , która charakteryzuje

o±rodek przewodz¡cy pr¡d elektryczny).

Podstawowe wielko±ci ﬁzyczne – spo±ród wszystkich wielko±ci ﬁzycznych mo»na wydzieli¢ pewn¡

niewielk¡ ilo±¢ wielko±ci podstawowych (na ró»ne sposoby) wystarczaj¡cych do okre±lenia przy

pomocy równa« matematycznych wszystkich pozostałych wielko±ci. Taki zestaw wielko±ci stanowi

układ jednostek . Przykładem jest obowi¡zuj¡cy układ jednostek SI, który zast¡pił kilka jedno-

cze±nie stosowanych dawniej systemów jednostek ﬁzycznych.

Pomiar – okre±lenie liczbowej warto±ci danej wielko±ci ﬁzycznej i przedstawienie jej w postaci liczby

i jednostki miary danej wielko±ci. Wykonuj¡c pomiary posługujemy si¦ przyrz¡dami pomiarowymi.

Rozró»niamy dwa rodzaje pomiarów – pomiary bezpo±rednie i pomiary po±rednie .

Pomiary bezpo±rednie – s¡ to najprostsze pomiary w tym sensie, »e do pomiaru danej wielko±ci

mamy przyrz¡d pomiarowy. Pomiar polega na przygotowaniu przyrz¡du (mo»e to by¢ bardzo pro-

ste, np. w przypadku zwykłej linijki, lub do±¢ zło»one w przypadku zaawansowanego przyrz¡du

wymagaj¡cego np. wzorcowania, zerowania, stabilizacji temperatury itd.), uruchomienia pomiaru

i odczytania wyniku.

Pomiary po±rednie – musimy wykona¢ jednoczesny pomiar kilku wielko±ci (ka»d¡ oddzielnym przy-

rz¡dem) i nast¦pnie obliczy¢ warto±¢ danej wielko±ci ﬁzycznej z odpowiedniego wzoru, np. pomiar

oporu elektrycznego przy pomocy amperomierza i woltomierza korzystaj¡c z prawa Ohma.

Niepewno±¢ pomiaru (albo inaczej dokładno±¢ pomiaru ) – pomiary mog¡ by¢ wykonywane jedy-

nie ze sko«czon¡ dokładno±ci¡ gdy» przyrz¡dy pomiarowe nie s¡ doskonałe, podobnie nasze zmysły

je±li bior¡ udział w pomiarze.

W przypadku pomiarów z jakimi mamy do czynienia w »yciu codziennym (np. odczyt wskaza«

pr¦dko±ciomierza w samochodzie, wagi sklepowej, zegara itd.) problem dokładno±ci pomiaru w za-

sadzie nie wyst¦puje (gdy» one s¡ na tyle dokładne by±my nie musieli si¦ tym przejmowa¢).

Jednak»e w ﬁzyce, która bada rzeczywisto±¢ poprzez eksperyment (czyli pomiary) i jego anali-

z¦ i uogólnienie, wa»ne jest okre±lenie jaka jest precyzja pomiaru, czyli jego dokładno±¢. Jest to

istotne i w innych naukach przyrodniczych oraz w technice. Miar¡ tej precyzji jest wielko±¢, któr¡

nazywamy niepewno±ci¡ pomiaru (dawniej bł¡d pomiaru ).

By zdeﬁniowa¢ niepewno±¢ pomiaru musimy wprowadzi¢ dwa poj¦cia:

wynik pomiaru x – czyli odczyt z przyrz¡du pomiarowego oraz

warto±¢ rzeczywist¡ x 0 wielko±ci mierzonej czyli co? Warto±ci rzeczywistej nie znamy i nie

mo»emy jej zna¢, nie wiadomo jak mogliby±my j¡ uzyska¢ skoro przyrz¡dy pomiarowe maj¡ ograni-

czon¡ dokładno±¢. Mo»emy jednak przyj¡¢ przybli»enie warto±ci rzeczywistej jako wynik pomiaru

przyrz¡dem du»o dokładniejszym, którym jednak nie dysponujemy, zatem warto±ci rzeczywistej

nadal nie mamy.

Rzeczywisty bł¡d bezwzgl¦dny deﬁniujemy jako ró»nic¦ mi¦dzy tymi dwiema wielko±ciami:

x = x − x 0 ,

dlaczego okre±lenie bezwzgl¦dny? Bo jest w tej samej jednostce co mierzona wielko±¢ (patrz te»

dalej niepewno±¢ wzgl¦dna lub bł¡d wzgl¦dny ).

Rzeczywisty bł¡d wzgl¦dny deﬁniujemy jako stosunek bł¦du bezwzgl¦dnego i warto±ci rzeczywi-

stej:

x = x

x .

Rzeczywisty bł¡d wzgl¦dny procentowy uzyskujemy mno»¡c bł¡d

wzgl¦dny przez 100%.

Rachunek niepewno±ci pomiarowych – rzeczywistego bł¦du bezwzgl¦dnego nie jeste±my w stanie

wyznaczy¢ gdy» nie znamy warto±ci rzeczywistej. Mo»emy jednak okre±li¢ jego przybli»on¡ war-

to±¢ x , któr¡ nazywamy niepewno±ci¡ pomiaru lub bł¦dem pomiaru . Pozwala ona okre±li¢

przedział ( x − x, x + x ), w jakim z okre±lonym prawdopodobie«stwem powinna zawiera¢ si¦

warto±¢ rzeczywista. Tym jak tego dokona¢ zajmuje si¦ teoria niepewno±ci pomiaru zwana te»

rachunkiem niepewno±ci pomiaru (dawniej rachunkiem bł¦dów ).

Zapis wyniku pomiaru – maj¡c wynik pomiaru x wielko±ci ﬁzycznej X i wyznaczon¡ niepewno±¢

pomiaru x warto±¢ liczbow¡ wyniku zapisujemy w postaci

X = ( x ± x ) jednostka,

gdzie x musi by¢ zaokr¡glone do 2 lub 1 cyfry znacz¡cej w gór¦, a x zaokr¡glone według zwykłych

zasad do miejsca dziesi¦tnego, na którym znajduje si¦ ostatnia cyfra niepewno±ci pomiarowej x .

2.Bł¦dypomiarowe

W praktyce pomiarowej wyró»niamy 3 rodzaje bł¦dów pomiarowych:

1. bł¦dy systematyczne,

2. bł¦dy przypadkowe,

3. bł¦dy grube.

2.1. Bł¦dy systematyczne

Wpływaj¡ zawsze w ten sam sposób na wyniki pomiarów wykonywanych t¡ sam¡ metod¡ i tymi

samymi przyrz¡dami. Zmiana warunków, w których wykonywane s¡ pomiary powoduje okre±lon¡

zmian¦ warto±ci bł¦du. Bł¡d systematyczny mo»e zale»e¢ od wielu czynników:

1. przyrz¡d pomiarowy, jego ograniczona dokładno±¢ (np. linijka 1 mm, najwy»ej 0,5 mm), zu»ycie

si¦ przyrz¡du;

2. metoda pomiaru oparta na przybli»onych wzorach, np. wyznaczanie przy±pieszenia ziemskiego na

podstawie okresu waha« wahadła matematycznego. Znany ze szkoły wzór jest wzorem przybli»o-

nym stosunkowo dokładnym dla małych wychyle« (poni»ej 5 );

3. eksperymentator popełniaj¡c jaki± stały regularny bł¡d, np. bł¡d paralaksy (jest to bł¡d przy

odczycie wskaza« miernika wskazówkowego popełniany wtedy gdy nie patrzymy na wskazówk¦

prostopadle do skali miernika lecz pod pewnym k¡tem, poniewa» wskazówka jest nieco nad skal¡

miernika widzimy j¡ w innym poło»eniu wzgl¦dem skali).

2.2. Bł¦dy przypadkowe

Je±li powtarzaj¡c dany pomiar wielokrotnie (przestrzegaj¡c by warunki były takie same dla wszyst-

kich pomiarów) uzyskamy zró»nicowane wyniki to znaczy, »e s¡ one obarczone bł¦dami przypadkowymi.

Warunkiem wyst¡pienia bł¦dów przypadkowych jest odpowiednio mała warto±¢ bł¦du systematyczne-

go. Głównymi przyczynami wyst¦powania bł¦dów przypadkowych s¡:

1. statystyczny charakter mierzonej wielko±ci, je±li mierzymy ±rednic¦ drutu to w ró»nych miejscach

jest ona inna. Mierz¡c j¡ odpowiednio dokładnym przyrz¡dem otrzymamy zró»nicowane warto±ci;

2. wła±ciwo±ci przyrz¡du pomiarowego – zmienny wpływ tarcia, oporu powietrza, zmian parametrów

materiałowych, warunków atmosferycznych itd;

3. wykonuj¡cy pomiary je±li jest elementem układu pomiarowego, np. przy pomiarze czasu stoperem

odgrywa rol¦ czas reakcji eksperymentatora i jej zmienno±¢ w czasie.

Nie mo»na wyeliminowa¢ bł¦dów przypadkowych. Poniewa» jednak podlegaj¡ one okre±lonym prawi-

dłowo±ciom statystycznym mo»na przy pomocy metod statystycznych oszacowa¢ ich warto±¢.

2.3. Bł¡d gruby

Jest to bł¡d spowodowany bł¦dem eksperymentatora powoduj¡cy, »e otrzymany wynik ró»ni si¦ w

sposób widoczny od innych. Mo»e by¢ spowodowany bł¦dnym odczytaniem wyniku, bł¦dem w obli-

czeniach, bł¦dnym wykonaniem pomiaru. Wyniki obarczone bł¦dem grubym odrzucamy.

3.Opracowywaniewynikówpomiarówobarczonychbł¦demsystematycznym

Rozpatrujemy przypadek kiedy bł¡d systematyczny jest wi¦kszy od bł¦du przypadkowego. W prak-

tyce oznacza to, »e powtarzaj¡c pomiar otrzymujemy za ka»dym razem ten sam rezultat. Zatem planu-

j¡c pomiary przyjmujemy, »e b¦dziemy wykonywali pomiary jednokrotne. Oczywi±cie mog¡ wyst¡pi¢

sytuacje kiedy pomiar powtórzymy, np. w celach kontrolnych.

Pojawiaj¡ si¦ tu dwie kwestie. Pierwsza – jak okre±li¢ niepewno±¢ pomiaru danym przyrz¡dem

pomiarowym, czyli zagadnienie pomiaru bezpo±redniego. Druga – jak okre±li¢ niepewno±¢ pomiaru

wielko±ci wyznaczanej ze wzoru, do którego podstawiamy kilka wielko±ci zmierzonych bezpo±rednio,

czyli zagadnienie pomiarów po±rednich.

3.1. Pomiary bezpo±rednie

Przyrz¡dy pomiarowe mo»emy podzieli¢ na dwie klasy:

1. mierniki wskazówkowe – posiadaj¡ one wyskalowan¡ podziałk¦ i wskazówk¦, której poło»enie nale»y

odczyta¢, przykłady - zegarek analogowy, szybko±ciomierz w samochodzie, wskazówkowe mierniki

elektryczne.

Innym przykładem jest zwykła linijka milimetrowa. Nie posiada ona oczywi±cie wskazówki, ale

je»eli mierzymy długo±¢ jakiego± przedmiotu to rol¦ wskazówki pełni kraw¦d¹ tego przedmiotu

i poło»enie tej kraw¦dzi odczytujemy.

Najmniejsza działka na linijce milimetrowej to 1 mm i dokładno±¢ odczytu poło»enia mo»emy

odnosi¢ do tej warto±ci, je±li potraﬁmy wzrokowo podzieli¢ j¡ na pół to mo»emy przyj¡¢, »e nie-

pewno±¢ pomiaru wynosi x = ± 0 , 5 mm. Je±li linijka jest długa i niezbyt precyzyjnie wykonana

przyjmiemy 1 mm.

Je±li by±my mieli do czynienia z ta±m¡ miernicz¡, np. o długo±ci 5 m i mierzyliby±my długo±¢ sali

maj¡cej około 4 m, to mimo »e ma ona ona podziałk¦ co 1 mm, takiej niepewno±ci nie mogliby±my

przyj¡¢ (ta±ma si¦ rozci¡ga, nie wiemy jak, nie wiemy te» z jak¡ precyzj¡ nadrukowano podziałk¦).

Winni±my zatem niepewno±¢ pomiaru odpowiednio oszacowa¢ uwzgl¦dniaj¡c wszystkie znane nam

czynniki zwi¦kszaj¡ce niedokładno±¢. Czyli okre±li¢ maksymaln¡ mo»liw¡ warto±¢ niepewno±ci (bł¦-

du) pomiaru, czyli tzw. bł¡d maksymalny ;

2. mierniki cyfrowe – przedstawiaj¡ na wy±wietlaczu wynik pomiaru w postaci kilkucyfrowej liczby.

Liczba tych cyfr okre±la minimaln¡ warto±¢ niepewno±ci pomiarowej – jest to jednostka na ostat-

niej pozycji dziesi¦tnej, wynika to z wła±ciwo±ci zapisu liczbowego w postaci liczby dziesi¦tnej.

Faktycznie popełniany bł¡d pomiaru mo»e by¢ wi¦kszy (zwykle tak jest). Producent podaje wzór

do wyznaczenia tego bł¦du. Zwykle jest on okre±lony przez pewien procent odczytu i pewn¡ ilo±¢

jednostek na ostatniej pozycji dziesi¦tnej, uwzgl¦dnia wszystkie mo»liwe ¹ródła bł¦du. Zatem jest

te» bł¦dem maksymalnym .

Zatem w przypadku pomiarów bezpo±rednich wyznaczamy tzw. bł¡d maksymalny . Zasady post¦-

powania s¡ nast¦puj¡ce:

1. proste przyrz¡dy wskazówkowe – przyjmujemy bł¡d maksymalny równy połowie najmniejszej

działki, chyba »e s¡ powody by odpowiednio zwi¦kszy¢ t¦ warto±¢. Musimy sami to oceni¢;

2. wskazówkowe mierniki elektryczne – mo»emy stosowa¢ sposób powy»ej, jednak»e te bardziej pre-

cyzyjne maj¡ okre±lon¡ tzw. klas¦ miernika , która pozwala nam wyznaczy¢ bł¡d maksymalny

pomiaru. Jest ona zdeﬁniowana wzorem:

klasa miernika =

zakres pomiaru · 100,

gdzie x jest bł¦dem maksymalnym. Zatem wykonuj¡c pomiary elektrycznymi miernikami wska-

zówkowymi nale»y odnotowa¢ klas¦ miernika i zakresy pomiarowe wykonywanych pomiarów

co pozwoli nast¦pnie na obliczenie bł¦du maksymalnego na danym zakresie.

Producenci tych przyrz¡dów najcz¦±ciej opracowuj¡ podziałk¦ skali tak by była ona zgodna z zasad¡

połowy najmniejszej działki, tzn. bł¡d obliczony wg zasady połowy najmniejszej działki powinien

si¦ zgadza¢ z bł¦dem obliczonym z klasy miernika.

Gdzie znale¹¢ klas¦ miernika ? Jest ona podana na skali miernika po lewej stronie na dole na

ko«cu ci¡gu symboli, ostatni jest liczb¡ – to jest klasa miernika;

3. mierniki cyfrowe – formuł¦ wyznaczania bł¦du maksymalnego podaje producent w dokumentacji.

Na pracowni jest to podane w instrukcji do ¢wiczenia na ostatniej stronie.

3.2. Pomiary po±rednie

I ,

mamy wyniki pomiarów U = u ± u oraz I = i ± i , gdzie u , i , i , i s¡ odpowiednimi warto±ciami

liczbowymi. Podstawiamy do wzoru warto±ci u oraz i i otrzymujemy warto±¢ wielko±ci R równ¡ r .

Jak okre±li¢ niepewno±¢ maksymaln¡ r ?

Mamy do dyspozycji dwie metody:

1. metoda ró»niczki logarytmicznej, gdy wzór ma posta¢ iloczynowopot¦gow¡ (tak jest w tym

przykładzie);

2. metoda ró»niczki zupełnej – metoda ogólna.

Poni»ej przedstawione zostało zastosowanie obu metod do naszego przykładu.

Ad. 1. Metoda ró»niczki logarytmicznej. Jest to najprostsza metoda, je±li tylko mo»na j¡ zasto-

sowa¢ (w naszym przypadku mo»emy):

Pierwszy krok: logarytmujemy obustronnie nasze równanie:

ln R = ln U − ln I .

I .

Trzeci krok: zast¦pujemy ró»niczki (czyli niesko«czenie małe zmiany) dR , dU , dI zmianami sko«-

czonymi, czyli bł¦dami maksymalnymi R , U , I oraz przyjmujemy, »e znaki bł¦dów s¡ takie,

»e one si¦ sumuj¡ a nie wygaszaj¡, czyli we wzorze powy»ej zast¦pujemy znak minus znakiem

plus. Otrzymujemy w ten sposób przybli»ony wzór na r (bł¡d przybli»enia jest niewielki gdy»

bł¦dy maksymalne s¡ małe w stosunku do wielko±ci mierzonych):

R = dU

U − dI

I .

Czwarty krok: mno»ymy obie strony przez R i otrzymujemy wzór na bł¡d maksymalny R :

+ I

R = R

Ad. 2. Metoda ró»niczki zupełnej. W tej metodzie korzystamy z tego, »e wielko±¢ wyznaczana

jest funkcj¡ wielu zmiennych, w naszym przypadku dwu R = f ( U, I ). Dla funkcji wielu zmiennych

f ( x 1 ,x 2 ,...,x n ) ró»niczk¦ zupełn¡ wyznaczamy ze wzoru

df ( x 1 ,x 2 ,...,x n ) =

@f ( x 1 ,x 2 ,...,x n )

@x 1

dx 1 + @f ( x 1 ,x 2 ,...,x n )

@x 2

dx 2 +

... + @f ( x 1 ,x 2 ,...,x n )

@x n

dx n .

Po prawej stronie mamy sum¦ iloczynów pochodnych cz¡stkowych wzgl¦dem odpowiednich zmien-

nych i ró»niczek tych zmiennych. Pochodne te nale»y obliczy¢ i wstawi¢ do wzoru na ró»niczk¦

zupełn¡. Dalej post¦pujemy podobnie jak w poprzedniej metodzie. Dla naszego przykładu wygl¡da

to nast¦puj¡co:

Prosty przykład – wyznaczamy opór elektryczny metod¡ po±redni¡ ze wzoru Ohma

R = U

Drugi krok: równanie ró»niczkujemy korzystaj¡c z deﬁnicji ró»niczki

df ( x ) = f 0 ( x ) dx i pochodnej logarytmu ln 0 ( x ) = 1 x :

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: