08 Zasada zachowania energii.pdf

(92 KB) Pobierz
08 Zasada zachowania energii
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 8
8. Zasada zachowania energii
8.1 Wst ę p
Korzystaj ą c z drugiej zasady dynamiki Newtona pokazali ś my, Ŝ e
W =
D
E k
Cz ę sto na punkt materialny działa kilka sił, których suma wektorowa jest sił ą wypad-
kow ą : F = F 1 + F 2 + F 3 +.......+ F n . Wtedy praca jest sum ą algebraiczn ą prac wykona-
nych przez poszczególne siły: W = W 1 + W 2 + W 3 +...........+ W n .
Twierdzenie o pracy i energii ma wtedy posta ć
W 1 + W 2 + W 3 +...........+ W n =
D
E k
B ę dziemy wła ś nie rozpatrywa ć układy, w których działaj ą ró Ŝ ne siły, pozwoli to na de-
finiowanie ró Ŝ nych rodzajów energii.
8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
Zaczynamy od rozwa Ŝ my przykładów dwóch rodzajów sił: sił zachowawczych i sił nie-
zachowawczych .
Najpierw rozpatrzmy spr ęŜ yn ę jak w przykładzie z poprzedniego wykładu.
Przesuwamy ciało o masie m z pr ę dko ś ci ą v w kierunku spr ęŜ yny, tak jak na rysunku.
Zało Ŝ enia:
·
V
ruch na płaszczy ź nie odbywa si ę
bez tarcia,
·
spr ęŜ yna jest idealna tzn. spełnia
ona prawo Hooke'a: F = - kx , gdzie F
jest sił ą wywieran ą przez spr ęŜ yn ę
kiedy jej swobodny koniec jest prze-
mieszczony na odległo ść x ,
masa spr ęŜ yny jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z mas ą ciała, wi ę c cała ener-
gia kinetyczna w układzie spr ęŜ yna + ciało jest zgromadzona w tym ciele.
Przy ś ciskaniu spr ęŜ yny, pr ę dko ść ciała, a wobec tego i energia kinetyczna maleje a Ŝ
do zatrzymania ciała. Nast ę pnie ciało porusza si ę w przeciwnym kierunku pod wpły-
wem spr ęŜ yny. Pr ę dko ść i energia kinetyczna rosn ą a Ŝ do warto ś ci jak ą ciało miało po-
cz ą tkowo. Interpretowali ś my energi ę kinetyczn ą jako zdolno ść ciała do wykonania pra-
cy kosztem jego ruchu (kosztem E k ). Po przebyciu zamkni ę tej drogi (cyklu) zdolno ść
ciała do wykonania pracy pozostaje taka sama, jest zachowana . Siła spr ęŜ ysta wywiera-
na przez idealn ą spr ęŜ yn ę jest zachowawcza . Inne siły, które działaj ą w ten sposób tak-
Ŝ e, np. siła grawitacji. Ciało rzucone do góry, przy zaniedbaniu oporu powietrza, wróci
z t ą sam ą pr ę dko ś ci ą i energi ą kinetyczn ą .
Je Ŝ eli jednak ciało, na które działa jedna lub wi ę cej sił powraca do poło Ŝ enia pocz ą tko-
wego i ma inn ą energi ę kinetyczn ą ni Ŝ na pocz ą tku to oznacza, Ŝ e po przebyciu drogi
8-1
·
19146750.017.png 19146750.018.png 19146750.019.png 19146750.020.png 19146750.001.png 19146750.002.png 19146750.003.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
= -1). Gdy spr ęŜ yna rozpr ęŜą si ę praca jest dodatnia (siła i przemieszczenie
jednakowo skierowane). Podczas pełnego cyklu praca wykonana przez sił ę spr ęŜ yst ą
(sił ę wypadkow ą ) jest równa zero.
W drugim przykładzie (uwzgl ę dniamy tarcie). Praca wykonywana przez sił ę tarcia
jest ujemna dla ka Ŝ dej cz ęś ci cyklu (tarcie zawsze przeciwstawia si ę ruchowi).
Ogólnie: Siła jest zachowawcza, je Ŝ eli praca wykonana przez t ę sił ę nad punktem mate-
rialnym, który porusza si ę po dowolnej drodze zamkni ę tej jest równa zeru. Siła jest nie-
zachowawcza je Ŝ eli praca wykonana przez t ę sił ę nad punktem materialnym, który po-
rusza si ę po dowolnej drodze zamkni ę tej nie jest równa zeru .
Mo Ŝ emy jeszcze trzecim sposobem rozwa Ŝ y ć ró Ŝ nic ę mi ę dzy siłami niezachowawczymi
i zachowawczymi. Rozpatrzmy ruch z punktu A do B po jednej drodze (1) a powrót z B
do A po innej (2) (patrz rysunek).
Je Ŝ eli siła jest zachowawcza to
B
B
1
1
2
2
A
A
W AB ,1 + W BA ,2 = 0
bo droga zamkni ę ta. Mo Ŝ emy to zapisa ć inaczej
W AB ,1 = - W BA ,2
Ale gdyby odwróci ć kierunek ruchu i przej ść z A do B po drugiej drodze to poniewa Ŝ
zmieniamy tylko kierunek to
W AB ,2 = - W BA ,2
Sk ą d otrzymujemy
W AB ,1 = W AB ,2
8-2
zamkni ę tej zdolno ść tego ciała do wykonania pracy nie została zachowana. Oznacza to,
Ŝ e przynajmniej jedn ą z działaj ą cych sił okre ś la si ę jako niezachowawcz ą .
Aby zilustrowa ć ten przypadek, załó Ŝ my, Ŝ e powierzchnia nie jest idealnie gładka,
Ŝ e mamy do czynienia z tarciem. Ta siła tarcia przeciwstawia si ę ruchowi bez wzgl ę du
w którym kierunku porusza si ę ciało (nie tak jak siła spr ęŜ ysto ś ci czy grawitacji) i ciało
wraca z mniejsz ą energi ą kinetyczn ą . Mówimy, Ŝ e siła tarcia (i inne działaj ą ce podob-
nie) s ą niezachowawcze .
Mo Ŝ emy przeanalizowa ć zachowawczy charakter sił analizuj ą c prac ę jak ą wykonuje
ta siła nad punktem materialnym.
W pierwszym przykładzie (bez tarcia) praca wykonana przez sił ę spr ęŜ yst ą , gdy
spr ęŜ yna ulega ś ciskaniu, jest ujemna (siła jest skierowana przeciwnie do przemieszcze-
nia, cos180
°
19146750.004.png 19146750.005.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wida ć z tego, Ŝ e praca wykonana przez sił ę zachowawcz ą przy przemieszczaniu od A
do B jest taka sama dla obu dróg. Drogi 1 i 2 mog ą mie ć dowolny kształt byleby tylko
ł ą czyły te same punkt A i B.
Sił ę nazywamy zachowawcz ą je Ŝ eli praca wykonana przez ni ą nad punktem mate-
rialnym poruszaj ą cym si ę mi ę dzy dwoma punktami zale Ŝ y tylko od tych punktów, a nie
od ł ą cz ą cej je drogi. Sił ę nazywamy niezachowawcz ą je Ŝ eli praca wykonana przez ni ą
nad punktem materialnym poruszaj ą cym si ę mi ę dzy dwoma punktami zale Ŝ y od drogi
ł ą cz ą cej te punkty .
Przedstawione definicje s ą równowa Ŝ ne.
8.3 Energia potencjalna
Skupimy si ę teraz na odosobnionym układzie ciało + spr ęŜ yna. Zamiast mówi ć ciało
si ę porusza b ę dziemy mówi ć : stan układu si ę zmienia .
Widzieli ś my, Ŝ e gdy nie wyst ę puje tarcie to energia kinetyczna maleje a potem ro-
ś nie tak, Ŝ e wraca do pocz ą tkowej warto ś ci w cyklu zamkni ę tym. W tej sytuacji (gdy
działaj ą siły zachowawcze) staje si ę celowe wprowadzenie poj ę cia energii stanu lub
energii potencjalnej E p . Mówimy, Ŝ e je Ŝ eli energia kinetyczna układu zmieni si ę o war-
to ść
D
D
E k +
D
E p = 0
Innymi słowy, ka Ŝ da zmiana energii kinetycznej E k jest równowa Ŝ ona przez równ ą co
do warto ś ci, a przeciwn ą co do znaku zmian ę energii potencjalnej E p układu, tak Ŝ e ich
suma pozostaje przez cały czas stała
E k + E p . = const.
(8.1)
Energia potencjalna przedstawia form ę nagromadzonej energii, która mo Ŝ e by ć całko-
wicie odzyskana i zamieniona na energi ę kinetyczn ą . Nie mo Ŝ na wi ę c wi ą za ć energii
potencjalnej z sił ą niezachowawcz ą .
W przykładzie ze spr ęŜ yn ą (bez tarcia) energia kinetyczna ciała pocz ą tkowo maleje,
a zlokalizowana w spr ęŜ ynie energia potencjalna ro ś nie. Z twierdzenia o pracy i energii
W =
D
E k
wi ę c dla zachowawczej siły F
W =
D
E k = -
D
E p
St ą d
x
D
E
p
=
-
W
=
-
∫
F
(
x
)
d
x
(8.2)
x
0
8-3
E k to tym samym zmienił si ę stan układu to energia potencjalna E p (stanu) tego
układu musi si ę zmieni ć o warto ść równ ą co do warto ś ci bezwzgl ę dnej, lecz przeciwn ą
co do znaku, tak Ŝ e suma tych zmian jest równa zeru
19146750.006.png 19146750.007.png 19146750.008.png 19146750.009.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Mo Ŝ emy wi ę c zapisa ć zale Ŝ no ść mi ę dzy sił ą i energi ą potencjaln ą
F
(
x
)
=
-
d
E
p
d
(
x
)
(8.3)
x
Trzeba zwróci ć uwag ę , Ŝ e naprawd ę potrafimy tylko policzy ć
D
E p a nie E p sam ą . Po-
niewa Ŝ
D
E p = E pB – E pA . ś eby znale źć E pB trzeba nie tylko zna ć sił ę ale jeszcze warto ść
E pA
x
E
pB
=
D
E
p
+
E
pA
=
-
∫ 0
F
(
x
)
d
x
+
E
pA
x
Punkt A nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak (umowa), Ŝ eby
E p było równe zeru w tym punkcie (porównanie z potencjałem elektrycznym).
Przykłady energii potencjalnej dla jednowymiarowych sił zachowawczych
·
F ( y ) = - mg
F jest stała. Przyjmujemy, Ŝ e dla y = 0, E p (0) = 0.
Wtedy
y
y
E
p
(
y
)
=
-
∫
F
(
y
)
d
y
+
E
p
(
0
=
-
∫
(
-
mg
)
d
y
=
mgy
0
0
Sprawdzenie
F
=
-
d
E
p
(
y
)
=
-
d
(
mgy
)
=
-
mg
d
y
d
y
energia potencjalna spr ęŜ yny
Ruch wzdłu Ŝ osi x
F ( x ) = - kx
Przyjmujemy dla x = 0, E p (0) = 0.
Wtedy
x
kx
2
E
= ∫
-
(
-
kx
)
d
x
=
p
2
0
Sprawdzenie:
8-4
grawitacyjna energia potencjalna (w pobli Ŝ u powierzchni Ziemi)
Ruch wzdłu Ŝ osi y
·
19146750.010.png 19146750.011.png 19146750.012.png 19146750.013.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
kx
2
d
d
E
(
x
)
2
F
=
-
p
=
-
=
-
kx
d
x
d
x
8.3.1 Energia potencjalna i potencjał pola grawitacyjnego
W przykładzie powy Ŝ ej obliczyli ś my energi ę potencjaln ą zwi ą zan ą z sił ą grawita-
cyjn ą w pobli Ŝ u powierzchni Ziemi, gdzie przyjmowali ś my, Ŝ e siła grawitacji jest stała.
Teraz zajmiemy si ę zagadnieniem bardziej ogólnym i znajdziemy energi ę potencjaln ą
masy m znajduj ą cej si ę w dowolnym punkcie nad powierzchni ą Ziemi odległym o r od
ś rodka Ziemi.
Dla sił zachowawczych zmian ę energii potencjalnej ciała przy przej ś ciu ze stanu A
do stanu B mo Ŝ emy zapisa ć jako
D
E
p
=
E
pB
-
E
pA
=
-
W
AB
sk ą d
E
pB
=
-
W
AB
+
E
pB
ś eby policzy ć energi ę potencjaln ą w punkcie B musimy zna ć energi ę potencjaln ą w
punkcie odniesienia A i policzy ć prac ę W AB .
Dla masy m znajduj ą cej si ę w pewnym punkcie nad powierzchni ą Ziemi odległym o
r od ś rodka Ziemi stan odniesienia wybiera si ę tak, Ŝ e Ziemia i masa m znajduj ą si ę od
siebie w niesko ń czonej odległo ś ci. Temu poło Ŝ eniu ( r ã
¥
E
p
(
r
)
=
-
W
¥
r
+
0
Musimy teraz obliczy ć prac ę
-
W ¥
r
. Poniewa Ŝ znamy sił ę
F
=
-
G
M
Z
m
r
2
to mo Ŝ emy obliczy ć prac ę i w konsekwencji energi ę potencjaln ą (znak minus wskazuje
kierunek działania siły do ś rodka Ziemi; siła przyci ą gaj ą ca)
r
r
Mm
E
(
r
)
=
-
W
=
-
∫
F
d
r
=
-
∫
-
G
d
r
=
p
¥
r
r
2
¥
¥
(8.4)
Mm
r
Mm
-
G
=
-
G
r
r
¥
Energia potencjalna ma warto ść równo zeru w niesko ń czono ś ci (punkt odniesienia)
i maleje w miar ę zmniejszania si ę r . Oznacza to, Ŝ e siła jest przyci ą gaj ą ca. Wzór ten jest
8-5
) przypisujemy zerow ą ener-
gi ę potencjaln ą , E pA = 0. Zwró ć my uwag ę , Ŝ e stan zerowej energii jest równie Ŝ stanem
zerowej siły. Siła grawitacji jest sił ą zachowawcz ą wi ę c dla wybranego punktu odnie-
sienia
19146750.014.png 19146750.015.png 19146750.016.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin