matlab optimization.pdf

Optimization toolbox

Optymization toolbox

Wstęp

1. Wykonanie optymalizacji

2. Przykłady zastosowań niektórych funkcji

2.1. Przykład minimalizacji funkcji bez ograniczeń

2.2. Przykład minimalizacji funkcji z nieliniowymi i nierównościowymi ograniczeniami

3. Opis niektórych funkcji

3.1. Funkcja fminbnd

3.2. Funkcja fmincon

3.3. Funkcja fminunc

3.4. Funkcja fminsearch

3.5. Funkcja fsolve

Słownik

Bibliografia

Optimization toolbox

Wstęp

Optimization toolbox jest dodatkiem do Matlaba, działającym w postaci M-plików

funkcyjnych, które mają zaimplementowane różnego rodzaju algorytmy optymalizacyjne.

Oczywiście mamy możliwość edycji tych funkcji przez polecenie Matlaba, które ma postać

type nazwa_funkcji .

Proces optymalizacji dotyczy minimalizacji i maksymalizacji funkcji i generalnie jest

wykonywany na funkcjach nieliniowych. Zawarte są tutaj również algorytmy zajmujące

się problemami równań nieliniowych oraz najmniejszych kwadratów. Funkcje

rozwiązujące określonej klasy problemy zaimplementowane w pakiecie zostały

zestawione poniżej:

— fminbnd — funkcja dotycząca problemu minimalizacji, rozwiązująca problemy typu

minimalizacji skalarnej,

— fminuc , fminsearch — funkcja dotycząca problemu minimalizacji, rozwiązująca

problemy typu minimalizacji bez ograniczeń,

— linprog — funkcja dotycząca problemu minimalizacji, a dokładniej programowania

liniowego,

— quadprog — funkcja dotycząca problemu minimalizacji, a dokładniej programowania

kwadratowego,

— fmincon — minimalizacja funkcji z ograniczeniami,

— fgoalattain — minimalizacja typu osiąganie celu,

— fminimax — minimalizacja typu minimax,

— fseminf — minimalizacja funkcji częściowo nieskończonych,

— fzero — funkcja rozwiązująca równanie nieliniowe z jedna zmienną,

— fsolve — funkcja rozwiązująca równanie nieliniowe wielu zmiennych.

Funkcje rozwiązujące problemy najmniejszych kwadratów to:

— \ (slash) — liniowe najmniejsze kwadraty,

— lsqnonneg — nieujemne liniowe najmniejsze kwadraty,

— lsglin — ograniczone liniowe najmniejsze kwadraty,

— lsqnonlin — nieliniowe najmniejsze kwadraty.

Optimization toolbox

1. Wykonanie optymalizacji

Większość funkcji optymalizacyjnych wymaga definicji M-plików zawierających

zaimplementowaną wewnątrz funkcję celu. Ewentualnie możemy użyć funkcji celu

określonej za pomocą wyrażeń Matlaba bezpośrednio w wywołaniu, przez polecenie

inline . Jeżeli chodzi o maksymalizację, to możemy jej dokonać, wpisując przed funkcję

celu znak „-„ ( - f , gdzie f jest funkcją optymalizowaną). Gradienty obliczane są za

pomocą adaptacyjnej metody różnic skończonych, niemniej mogą być one zawarte

w funkcji minimalizowanej. Opcje procesu optymalizacji podane do programu

optymalizującego zmieniają parametry optymalizacji. Dostęp do nich uzyskujemy przez

strukturę opcje, np.:

x = funkcja ( f, x 0 , opcje ).

Parametry dla funkcji mogą być zawarte bezpośrednio w niej samej.

Określenie dla algorytmów tzw. średniej skali nie jest standardowym określeniem

i istnieje tylko dla rozróżnienia tego rodzaju algorytmów od algorytmów tzw. trudnej

skali.

Algorytmy średniej skali, jeżeli chodzi o minimalizację bez ograniczeń, to głównie

algorytmy implementujące metody pełzającego sympleksu, BFGS (Broyden, Fletcher,

Goldfarb oraz Shanno) oraz metodę quasi-Newtona. Dla minimalizacji z ograniczeniami

stosowane są takie metody jak minimax, osiągania celu, częściowo nieskończonej

optymalizacji oraz warianty SQP (sekwencyjnego programowania kwadratowego). Dla

problemów nieliniowych najmniejszych kwadratów stosowane są metody Gaussa-

Newtona oraz Levenberga-Marquardta. W programowaniu liniowym używane są

bezpieczne metody interpolacji i ekstrapolacji trzeciego i drugiego stopnia.

Wszystkie algorytmy trudnej skali — za wyjątkiem programowania liniowego

— używają metod tzw. obszaru prawdy. Problemy z ograniczeniami są obliczone za

pomocą metod Newtona. Problemy równań z ograniczeniami są rozwiązywane za pomocą

wstępnie uwarunkowanej iteracji sprzężonych gradientów. Dla obliczenia aktualnej

długości kroku w rozwiązaniach układów liniowych możemy użyć algorytmów iteracyjnych

lub kierunkowych. Metoda programowania liniowego jest wariantem algorytmu Mehrotra.

Optimization toolbox

Parametry funkcji

Każdy z algorytmów optymalizacyjnych posiada opcje, za pomocą których możemy

określać ich parametry. Jeżeli pozostaną one niezdefiniowane lub struktura ta pozostanie

pusta, wówczas zostaną przyjęte ich domyślne wartości. Dostęp do parametrów

domyślnych funkcji uzyskujemy przez funkcję optimset , która z kolei posiada dwa

argumenty, jakimi są para paramet–wartość, przy czym parametr określany jest za

pomocą łańcuch znaków. Funkcja optimset definiuje parametry domyślne, używane

przez funkcje wbudowane w toolbox, jednak nie zawsze chcemy używać wszystkich tych

parametrów. Aby określić, jakich parametrów używa konkretna funkcja optymalizująca

posługujemy się następującym poleceniem:

Optimset (‘nazwa_funkcji’)

Mamy również możliwość wyświetlania wartości wyjściowych funkcji za pomocą

polecenia:

opcje = optimset(‘Display’, ‘argument’),

gdzie dla wartości argument równej ‘iter’ z wracane są wartości wyjściowe funkcji przy

każdej iteracji, dla wartości równej ‘off’ nie zwracane są żadne wartości wyjściowe, dla

wartości argument równej ‘final’ zwracane są wartości wyjściowe jedynie przy

zakończeniu działania algorytmu, a przy wartości parametru argument równej ‘notify’

zwracana jest wartość wyjściowa w przypadku wystąpienia trudności ze zbieżnością

funkcji. W przypadku funkcji należących zarówno do problemów optymalizacyjnych

średniej i trudnej skali domyślnie stosowane są algorytmy rozwiązujące problemy trudnej

skali. Chcąc zastosować algorytm rozwiązujący problemy średniej skali, w przypadku

takiej funkcji musimy posłużyć się poleceniem:

opcje = optimset (‘LargeScale’, ‘off’);

W jednym wywołaniu funkcji optimset możemy określić jednocześnie wiele wartości dla

parametrów, np.:

opcje = optimst(‘Display’, ’off’, ‘TolX’, ‘1e-6);

W tym przypadku wyniki nie zostaną wyświetlone, dokładność obliczeń zostanie

określona jako liczba 1e–6.

Optimization toolbox

Chcąc odświeżyć istniejącą już strukturę opcji, używamy argumentu opcje jako

pierwszego w wywołaniu funkcji optimset , co zostało pokazane poniżej:

opcje = (opcje, ‘Display’, ’off’, ‘TolX’, ‘1e-6);

Tabela 1. Zestaw parametrów struktury opcji dla funkcji optymalizacji

Parametr Opis

DerivativeCheck Porównuje dostarczone przez użytkownika analityczne pochodne

(gradienty lub Jacobiany) z pochodnymi obliczonymi za pomocą

różnic skończonych. Stosowany w odniesieniu do takich funkcji, jak:

fgoalattain , fmincon , fminimax , fminunc , fseminf , fsolve ,

lsqcurvefit , lsqnonlin . Stosowane dla problemów średnio

skalowanych.

Diagnostic

Podaje wydruk informacji diagnostycznych dla minimalizowanej

funkcji oraz dla rozwiązywanego równania.

DiffMaxChange

Maksymalna zmiana w zmiennych dla pochodnych obliczonych za

pomocą różnic skończonych. Stosowane dla funkcji fgoalattain ,

fmincon , fminimax , fminunc , fseminf , fsolve , lsqcurvefit ,

lsqnonlin w problemach średniej skali.

DiffMinChange

Minimalna zmiana w zmiennych dla pochodnych obliczonych za

pomocą różnic skończonych. Stosowany w problemach średniej skali

dla takich funkcji, jak: fgoalattain , fmincon , fminimax , fminunc ,

fseminf , fsolve , lsqcurvefit , lsqnonlin .

Display

Określa sposób wyświetlania wyjściowych wartości algorytmu

( iter — w każdej iteracji, off — nigdy, finite — po zakończeniu

wykonywania algorytmu, notify — w przypadku niedążenia

algorytmu do zbieżności.

GoalsExactAchieve

Dokładna liczba osiąganych wartości celu. Stosowane dla funkcji

fgoalattain .

GradConstr

Określa gradienty dla nieliniowych ograniczeń, podane przez

użytkownika. Stosowane w funkcjach fgoalattain , fmincon ,

fminimax .

GradObj

Określa gradient lub gradienty dla funkcji celu podanych przez

użytkownika. Użyteczne w funkcjach fgoalattain , fmincon ,

fminimax , fminunc , fseminf .

Hessian

Dla wartości on funkcja korzysta ze zdefiniowanych przez

użytkownika wartości macierzy Hessian. Gdy parametr posiada

wartość off wartości hessianów obliczone są za pomocą różnic

skończonych. Stosowane w funkcjach fmincon i fminunc .

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: