LISTA 1

Elementy teorii wzgledności

1. Na podstawie wzorów transformacyjnych Lorentza wyprowadzić:

a)       skrócenie długości

Niech linijka spoczywa w układzie primowanym, a w ukladzie nieprimowanym porusza sie z prędkością skierowaną wzdłuż równoległych osi OX i OX’. W ukladzie, w którym linijka sie porusza, pomiar jej długości polega na zmierzeniu współrzędnych jej początku i końca w tej samej chwili czasu, (w ukladzie, w którym linijka spoczywa, nie ma znaczenia, czy pomiar nastepuje w tej samej chwili czasu). Długość linijki w układzie, w którym się ona porusza (czyli układzie nieprimowanym), , natomiast w ukladzie, w którym spoczywa: . Długość linijki w układzie, w którym ona spoczywa, nazywamy długościa własną linijki i oznaczamy przez , czyli . Aby znaleźć związek pomiędzy i korzystamy z transformacji Lorentza:

,

.

Ponieważ , a , to:

, czyli:

.

Ponieważ wyrażenie podpierwiastkowe jest zawsze mniejsze od 1, zatem dlugość linijki obserwowana w ukladzie, wzgledem którego linijka sie porusza, jest zawsze mniejsza niz długość mierzona w ukladzie, w którym linijka spoczywa. Jest to efekt skrócenia (kontrakcji) długości.

b)       dylatację czasu

Niech dwa zdarzenia zachodzą w układzie primowanym, poruszajacym sie względem układu nieprimowanego, w tym samym miejscu, w odstepie czasu . Czas ten nazywany jest czasem własnym, . Czas pomiędzy tymi dwoma zdarzeniami mierzony w układzie nieprimowanym, . Korzystając z transformacji Lorentza:

,

.

Ponieważ oraz , to:

.

Zatem czas, jaki upływa w ukladzie nieprimowanym jest zawsze dłuższy niż czas własny. Jest to efekt dylatacji czasu.

c)       składanie prędkości

Z definicji, , , dla pozostałych współrzędnych analogicznie.

Różniczkując transformacje Lorenza:

, , ,

otrzymujemy wzory:

,

,

2. Obserwator A rejestruje dwie eksplozje w miejscach odległych o 1 000 km. Czy istnieje taki obserwator, dla którego eksplozje te zachodzą w tym samym punkcie, jeśli dla A rozdziela je:

a)       1 s

Aby istniał układ, w którym dwa zdarzenia zachodzą w tym samym punkcie, musi być spełnione:

Tutaj:

, zatem istnieje taki obserwator, dla którego wydarzenia te zachodza w tym samym punkcie.

b)       1 mikro-sekunda

W tym przypadku:

, zatem nie istnieje taki obserwator, dla którego wydarzenia te zachodza w tym samym punkcie.

3. Dwaj obserwatorzy, A na powierzchni Ziemi oraz B na pokładzie samolotu podróżującego z prędkością ustawiają zegarki w pewnej chwili. Po jakim czasie wskazania zegarków będą różniły się o 1s?

Aby wskazania zegarów róznily się o 1s, .

Zatem:

Wynik jest w sekundach, w przeliczeniu na lata wynosi on 63428 lat, czyli długo...

4. Dwaj obserwatorzy, A na powierzchni Ziemi oraz B na pokładzie promu kosmicznego podróżującego z prędkością . Ustawiają zegarki w chwili, gdy pojazd znajduje się w pobliżu Ziemi.

a)       Według A zegar B chodzi wolniej; według B zegar A chodzi wolniej, szybciej czy w tym samym tempie?

Zgodnie z teoria wzglednośći kazdy uklad inercjalny  jest równowazny, zatem – jesli z punktu widzenia A zegar B chodzi wolniej, z punktu widzenia B zegar A też musi chodzić wolniej.

b)       Po jakim czasie wskazania zegarków będą różniły się o 1 s?

Podobnie jak w poprzednim zadaniu:

,

czyli po niecałych 17 sekundach.

5. Jaką prędkość powinien mieć pojazd kosmiczny w stosunku do Ziemi aby jeden dzień na jego pokładzie odpowiadał dwóm dobom spędzonym na Ziemi?

Podobnie jak w poprzednich zadaniach wychodzimy ze wzoru:

. Aby musi być:

6. Metrowej długości pręt poruszający się względem pewnej obserwatorki O ma według niej długość 500 mm. Z jaką prędkością porusza się ten pręt w stosunku do O? W jakim czasie pręt przeleci obok O?. Pręt jest  równoległy do  kierunku ruchu.

Ze wzoru na skrócenie długości:

wynika, że aby pręt skrócił się dwa razy: , prędkość musi spełniać warunek:

.

Z tego:

.

Z punktu widzenia obserwatorki O pręt ma długość 0.5m i prędkość , zatem czas potrzebny, aby pręt ją minął wynosi:

.

7. Mion utworzony w górnych warstwach atmosfery przebywa do chwili rozpadu odległość 5 km. Czas własny życia mionu wynosi . Z jaką prędkością porusza się mion? Rozwiązać zadanie z punktu widzenia mionu oraz z punktu widzenia obserwatora na Ziemi.

Z klasycznego punktu widzenia, żyjacy 2.4μs i poruszajacy się z prędkościa światła mion mogłby przebyć odległość: , czyli dużo mniej niż 5 km.

Z punktu widzenia obserwatora ziemskiego czas życia poruszajacego się mionu ulega jednak wydłużeniu, zatem może on przebyć wiekszą odległość. Z ogólnego wzoru:

, przy czym s jest drogą w układzie obserwatora ziemskiego (5km) a t – czasem (wydłużonym w stosunku do czasu wlasnego) życia mionu: . Zatem:

Z punktu widzenia mionu, jego czas życia nie ulega wydłużeniu, za to droga do przebycia ulega skróceniu zgodnie ze wzorem:

(atmosfera porusza się względem mionu z prędkością o takiej samej wartości lecz przeciwnie skierowanej, jak mion wzgledem obserwatora ziemskiego).

Zatem atmosfera o grubości s, poruszająca się wzgledem mionu z prędkością v, musi go minąć w czasie jego życia :

.

Otrzymuje sie rownanie identyczne do równania napisanego z punktu widzenia obserwatora ziemskiego , zatem wynik jest identyczny – tak oczywiście musiało być!

8. Linijka spoczywajaca w układzie K’ tworzy w nim kąt 30° z osią OX’. Uklad K’ porusza się wzgledem ukladu K z prędkością v=0.5c, skierowaną wzdłuż osi X. Jaki kąt z osią OX będzie tworzyła linijka?

Ponieważ skrócenie dlugości następuje tylko w kierunku ruchu, zatem składowa X ulegnie skróceniu, natomiast druga skladowa, Y, nie ulegnie zmianie. Kąt tworzony przez linijke w układzie primowanym:

.

Kąt tworzony z osią X (w ukladzie nieprimowanym):

.

9. Rakieta o dlugości spoczynkowej 200m porusza się wzgledem obserwatora z prędkością v=0.6c. W rakiecie są dwa zegary: jeden umieszczony na czubku, drugi na ogonie. Zostały one zsynchronizowane ze sobą, gdy rakieta spoczywała. W chwili, gdy do obserwatora na Ziemi zbliża sie czubek rakiety, zarowno jego zegar jak i zegar na czubku rakiety wskazują t=0. Co wskaże zegar obserwatora ziemskiego, gdy dotrze do niego ogon rakiety, a co zegar na ogonie rakiety?

Ponieważ wzgledem obserwatora na Ziemi rakieta ma długość skrócona i porusza się z prędkością v, to czas, jaki zajmie ogonowi rakiety dotarcie do obserwatora wynosi:

.

Z transformacyjnego wzoru:

10. O ile procent wzrosnie gęstość ciała poruszajacego się z predkością v=0.7c? (Uwzględnić skrócenie Lorentza i relatywistyczną zmianę masy)

Gęstość liniowa ciała spoczywającego: .

Gęstość ciała poruszajacego się: .

Zatem ich stosunek:

,

co oznacza, że gestość wzrośnie niemal dwa razy.

11. Przy jakiej prędkości energia kinetyczna cząstki jest równa jej energii spoczynkowej?

Całkowita energia wynosi: , gdzie jest masą relatywistyczną, ( jest masą spoczynkową). Ponieważ energia całkowita jest sumą energii spoczynkowej i energii kinetycznej:

, zatem:

.

Zatem, aby energia kinetyczna równa byla energii spoczynkowej:

musi być spełnione:

,

czyli prędkość musi wynosić okolo 87% prędkości światła.

12. Jaka bedzie predkość elektronu rozpędzonego napieciem ? Jak się powiekszy masa elektronu przy tej prędkości?

Energia (kinetyczna) uzyskana przez elektron rozpędzany napieciem U wynosi:

.

Ze wzoru na energie kinetyczną:

wynika, że prędkość bedzie wynosila:

.

Relatywistyczna masa wynosić bedzie:

13. Częstości linii spektralnych promieniowania docierającego z odległej galaktyki są równe dwie trzecie wartości tych samych linii w świetle docierającym z pobliskich gwiazd. Jaka jest prędkość z jaką oddala się odległa galaktyka od Drogi Mlecznej?

Stosunek częstości światła ze źródła zbliżajacego się lub oddalajacego do czestości swiatla źródla w spoczynku jest nastepujacy:

, gdzie górne znaki odnoszą się do źródla zblizajacego sie, a dolne – oddalajacego się.

Skoro zatem stosunek tych czestości jest równy 2/3, to:

.

(Wybieramy znak dolny, ponieważ, ponieważ jak w akustycznym efekcie Dopplera, jesli częstość spada, znaczy to, że źródlo się oddala)