miara i całka - Plebanek - skrypt.pdf

(552 KB) Pobierz
406471552 UNPDF
InstytutMatematycznyUniwersytetuWrocławskiego
GrzegorzPlebanek
Miaraicałka
skryptdowykładu Funkcjerzeczywiste
c GrzegorzPlebanek(2009) skryptdofinansowanyprzezB.Mincera
406471552.001.png
 
Spistre±ci
0Wiadomo±ciwst¦pne 1
0.1Oczymidlakogojesttentekst?..................... 1
0.2Troch¦teoriimnogo±ci........................... 2
0.3Odrobinatopologii............................. 5
0.4Zadania................................... 6
0.5Problemy.................................. 7
1Rodzinyzbiorówimiary 8
1.1Rodzinyzbiorów.............................. 8
1.2Addytywnefunkcjezbioru.........................11
1.3MiaraLebesgue’aI.............................14
1.4Miaryzewn¦trzneizbiorymierzalne...................16
1.5Przestrzeniemiarowe............................19
1.6Jednoznaczno±¢rozszerzeniamiary....................22
1.7MiaraLebesgue’aII.............................23
1.8Zadania...................................25
1.9Problemy..................................29
2Funkcjemierzalne 31
2.1Podstawowewiadomo±ci..........................31
2.2Funkcjeproste................................35
2.3Prawiewsz¦dzie...............................36
2.4Zbie»no±¢ci¡gówfunkcyjnych.......................37
2.5Zadania...................................40
2.6Problemy..................................42
2.7DODATEK:Granicedolneigórneci¡gówliczbowych..........43
3Całka 44
3.1Całkazfunkcjiprostych..........................44
3.2Całkazfunkcjimierzalnych........................46
3.3Twierdzeniagraniczne...........................48
3.4CałkaLebesgue’anaprostej........................51
3.5Zadania...................................52
3.6Problemy..................................55
ii
4MiaryproduktoweitwierdzenieFubiniego 56
4.1Produktowanie -ciał............................56
4.2Produktowaniemiar............................59
4.3TwierdzenieFubiniego...........................61
4.4Produktysko«czoneiniesko«czone....................62
4.5MiaranazbiorzeCantora.........................63
4.6Zadania...................................65
4.7Problemy..................................67
5Miaryznakowane
itwierdzenieRadona-Nikodyma 69
5.1Miaryznakowane..............................69
5.2Absolutnaci¡gło±¢isingularno±¢miar..................71
5.3TwierdzenieRadona-Nikodyma......................72
5.4Miarynaprostejrzeczywistej.......................75
5.5Zadania...................................78
5.6Problemy..................................80
6Przestrzeniefunkcjicałkowalnych 81
6.1Klasycznenierówno±ci ...........................81
6.2PrzestrzenieBanachafunkcjicałkowalnych................83
6.3Jednakowacałkowalno±¢..........................85
6.4Miarynaprzestrzeniacheuklidesowych..................86
6.5Zbioryg¦stew L 1 ..............................89
6.6Zadania...................................91
6.7Problemy..................................92
iii
iv
Rozdział0
Wiadomo±ciwst¦pne
0.1Oczymidlakogojesttentekst?
Niniejszyskryptzawierapodstawowywykładzteoriimiaryicałkiiobejmujemate-
riał,którywInstytucieMatematycznymUWrjestwykładanywtrakciesemestralnego
wykładu,nosz¡cegotradycyjn¡(aczniecomyl¡c¡)nazw¦ Funkcjerzeczywiste .Skrypt
winienby¢dost¦pnydlaka»degostudentaIIrokumatematykib¡d¹informatyki—do
zrozumieniawi¦kszo±cizagadnie«wystarczadobraznajomo±¢rachunkuró»niczkowe-
goicałkowegofunkcjijednejzmiennejorazteoriimnogo±ciwzakresiepodstawowym.
Wmiejscach,gdziepotrzebnajestgł¦bszaznajomo±¢zagadnie«teoriomnogo±ciowych,
czytelnikzostanieka»dorazowoostrze»ony.Skryptpisanyjestzmy±l¡ostudentach,
którzyniesłuchalijeszczewykładuztopologii—niezb¦dneelementytopologiiprze-
strzenimetrycznychb¦d¡wprowadzanewmiar¦potrzeb.
Jestwieleksi¡»ekwj¦zykuangielskimikilkapopolsku,traktuj¡cychopodstawach
teoriimiaryicałki;poni»ejwymieniamjedyniete,doktórychzagl¡dałemwtrakcie
pisaniaskryptu:
[1] P.Billingsley, Prawdopodobie«stwoimiara ,PWN,Warszawa(1987).
[2] P.Halmos, Measuretheory ,Springer,NewYork(1974).
[3] D.H.Fremlin, Measuretheoryvol.1:TheIrreducibleminimum ,TorresFremlin,
Colchester(2000).
[4] D.H.Fremlin, Measuretheoryvol.2:Broadfoundations ,TorresFremlin,Colche-
ster(2000).
[5] S.Łojasiewicz, Wst¦pdoteoriifunkcjirzeczywistych ,PWN,Warszawa(1976).
Prezentowanewskrypciepodej±ciedowprowadzeniamiaryicałkijestjaknajbar-
dziejstandardoweiunikaeksperymentówformalnych.Dlategowielekoncepcjizostało
wprostzaczerpni¦tychzklasycznejksi¡»kiHalmosa,awieledowodówkorzystazele-
ganckiegopodej±cia,zaprezentowanegoprzezpodr¦cznikBillingsley’a.Mamjednak
nadziej¦,»eponi»szywykład,dzi¦kistosownemuwyborowizagadnie«isposobowi
prezentacjib¦dzieprzydatnyi,dopewnegostopnia,oryginalny.Wmoimprze±wiad-

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin