Stewart Ian - Cementowe krajobrazy.pdf - świat nauki - joliet_

REKREACJE MATEMATYCZNE

Ian Stewart

Cementowe krajobrazy

doskonale naturalna, jednoczeænie jest

tak sztuczna Ð Alpy nowego rodzaju.Ó

Bardziej trafne b«dzie porwnanie z

uk¸adem piaszczystych wydm. Inýynie-

rom budownictwa ldowego nie s ob-

ce pytania o to, w jaki sposb sypkie

materia¸y, takie jak piasek, ziemia czy

suchy cement, tworz kopce. Najprost-

sz i jednoczeænie najbardziej istotn ce-

ch takich konstrukcji jest ãkt krytycz-

nyÓ. Dla kaýdego sypkiego materia¸u

istnieje maksymalna stromizna, ktra

wytrzymuje bez rozpadania si«. Pochy-

¸oæ obsuwa si«, gdy zostaje przekro-

czony pewien okreælony kt, ktry stok

tworzy z poziomem gruntu Ð tzw. kt

krytyczny. Kiedy cienk strug usypu-

jemy kupk« piasku, stromizna jej sto-

kw b«dzie si« stopniowo zwi«ksza,

aý osignie kt krytyczny. Kaýda dodat-

kowa iloæ piasku spowoduje mniejsz

lub wi«ksz lawin« przywracajc sta¸e

nachylenie. Uzyskany mocno stabilny

kszta¸t w tym najprostszym modelu to

stoýek, ktrego powierzchnia boczna

nachylona jest dok¸adnie pod ktem

krytycznym.

Specjaliæci od teorii z¸oýonoæci bada-

j procesy, dzi«ki ktrym stok uzysku-

je ten kszta¸t, oraz natur« mniejszych

lub wi«kszych lawin towarzyszcych

jego budowie. DuÄski fizyk Per Bak

uku¸ nawet dla tych procesw termin

ãsamoorganizujca si« krytycznoæÓ

i zasugerowa¸, ýe mog one modelowa

wiele waýnych cech æwiata przyrody, a

w szczeglnoæci ewolucj« (w ktrej pro-

cesy lawinowe dotycz nie ziaren pia-

sku, lecz ca¸ych gatunkw; wzniesienia

w tym abstrakcyjnym æwiecie s poten-

cjalnymi organizmami).

W dzie¸ach Callana struktura ce-

mentu wok¸ kaýdej dziury jest odwrot-

noæci wznoszonych przez inýynierw

budownictwa ldowego stoýkowych

pali piaskowych. Rozwaýmy przypa-

dek poziomej deski z jedn dziur. Z da-

la od dziury cement wznosi si« w kaý-

poæwi«conych zaawansowanym

badaniom publikuje artyku¸y do-

tyczce nauki eklektycznej. Sta¸ rubry-

k jest w nim ãArt and ScienceÓ (Sztu-

ka i Nauka), ktrej tytu¸ mwi sam za

siebie. W numerze z 11 grudnia ub. r.

historyk sztuki Martin Kemp opisuje in-

teresujce krajobrazy londyÄskiego ar-

tysty Jonathana Callana. W odrýnieniu

od konwencjonalnych pejzaýy prace Cal-

lana s rzebami, a nie obrazami. Ponad-

to jego dzie¸a nie przypominaj nicze-

go, co moýna zobaczy na Ziemi czy teý

gdziekolwiek indziej. S to trjwymia-

rowe formy powsta¸e przez sypanie ce-

mentu na perforowan desk«.

Kemp, profesor Wydzia¸u Historii w

University of Oxford, dostrzeg¸ zwi-

zek mi«dzy rzebami Callana a ostatni-

mi pracami w dziedzinie teorii z¸oýo-

noæci. Wyglda na to, ýe fantastycznymi

krajobrazami rzdz pewne oglne pra-

wa Ð na przyk¸ad najwyýsze cemento-

we szczyty powstaj zawsze w rejonach

najbardziej oddalonych od dziur. W li-

æcie do redaktora naczelnego Nature za-

mieszczonym 29 stycznia 1998 roku Ad-

rian Webster, astronom z Royal Obse-

rvatory w Edynburgu, stwierdza, ýe

ciekawa geometria krajobrazw Callana

da si« opisa za pomoc bardziej kla-

sycznej dziedziny matematyki Ð teorii

komrek Woronoja. Wyjaæni¸ takýe, ýe

za pomoc komrek Woronoja moýna

zilustrowa najnowsze odkrycie astro-

nomii: przypominajcy pian« mydlan

rozk¸ad materii we Wszechæwiecie. Jeæli

istniej przyk¸ady æcis¸ego zwizku ma-

tematyki, sztuki i nauki, to takimi s

w¸aænie rzeby Callana.

Juý pierwsi malarze jaskiniowi odwo-

¸ywali si« w swych dzie¸ach do proce-

sw fizycznych i chemicznych. Staro-

ýytni greccy i rzymscy rzebiarze

potrafili rozbija kamienie i odlewa cie-

k¸y brz w formach. Malarze renesan-

sowi badali w¸asnoæci barwnikw. Tra-

dycyjna technika artystyczna polega¸a

na kontrolowaniu procesw fizycz-

nych w celu otrzymywania poýdanych

kszta¸tw rzeb i odpowiednich malo-

wide¸. Callan zalicza si« do nielicznych,

ktrzy zarzucili t« technik«, pozwala-

jc, by procesy fizyczne i chemiczne za-

chodzce w uýywanych materia¸ach

determinowa¸y podstawowe cechy ich

dzie¸.

Callan rozpoczyna tworzenie rzeby

od wywiercenia przypadkowego wzo-

ru dziur w poziomej desce. Nast«pnie

rwnomiernie przesiewa przez ni ce-

ment. Troch« cementu przelatuje przez

dziury, cz«æ tworzy kupki pomi«dzy

nimi. Rzeba twardnieje, absorbujc wil-

go z powietrza. Rezultat koÄcowy

przypomina powierzchni« ksi«ýycow

z postrz«pionymi szczytami otoczony-

mi urwiskami kraterw. Callan porw-

nuje swoje rzeby do gr typu ziem-

skiego: ãGeografia, ktra wydaje si«

SYPICY SI¢

PROSZEK

KRYTYCZNY

POSTRZ¢PIONE KRATERY

pokrywaj powierzchni« jednej

z cementowych rzeb

Jonathana Callana (zdj«cie) .

Zbocza kaýdego krateru wznosz si«

pod tym samym ktem, co zbocza

stoýkowego wzniesienia usypanego

z cementu (z lewej) .

SYPICY SI¢

PROSZEK

å WIAT N AUKI Lipiec 1998 79

P restiýowe pismo Nature obok prac

dym kierunku pod ktem krytycznym,

tworzc stoýkow depresj« o wierz-

cho¸ku w centrum dziury [ ilustracja na

poprzedniej stronie ]. Te odwrcone stoý-

ki to formy sk¸adajce si« na krajobra-

zy Callana.

A co moýna powiedzie o geometrii

uk¸adu z¸oýonego z kilku dziur? Klu-

czowym spostrzeýeniem jest fakt, ýe

spadajcy cement, ktry przescza si«

przez desk«, b«dzie przelatywa przez

dziur« najbliýsz miejsca jego upadku.

üatwo wi«c przewidzie, gdzie znajd

si« linie graniczne pomi«dzy stoýko-

wymi kraterami. Podzielmy desk« na

obszary otaczajce dziury w ten sposb,

ýe kaýdy z nich zawiera punkty bliý-

sze danej dziurze niý jakiejkolwiek z

pozosta¸ych. Taki obszar jest ãsfer

wp¸ywwÓ otaczanej dziury. Mwic

tak, pami«tajmy jednak, ýe jest to w

rzeczywistoæci wielokt, a nie sfera. Za-

¸oýenie, ýe deska pozostaje pozioma,

sprawia, iý granice pomi«dzy obsza-

rami znajduj si« bezpoærednio pod

wsplnymi granicami przyleg¸ych

kraterw.

W celu opisania jednego z takich ob-

szarw wybieramy jakæ dziur« i pro-

wadzimy linie z jej ærodka do ærodkw

wszystkich innych dziur [ grna ilustra-

cja z prawej ]. Nast«pnie przez ærodki

narysowanych linii prowadzimy linie

do nich prostopad¸e (mwic inaczej,

rysujemy osie symetrii).W rezultacie

otrzymujemy sie przecinajcych si« sy-

metralnych. Teraz znajdujemy najmniej-

szy obszar wypuk¸y ograniczony przez

elementy opisanej sieci i zawierajcy

wybran dziur«. Obszar ten nazywamy

komrk Woronoja. Kaýda dziura oto-

czona jest jedn i tylko jedn komrk

Woronoja; wszystkie te komrki wype¸-

niaj p¸aszczyzn«. Gieorgij F. Woronoj

(1868Ð1908) by¸ rosyjskim matema-

tykiem, specjalist w dziedzinie teorii

liczb i wielowymiarowych ãparkieta-

KOMîRKI WORONOJA moýemy

otrzyma, prowadzc symetralne

do odcinkw ¸czcych ærodki dziur.

ýyÓ. Komrki Woronoja nazywa si« jesz-

cze inaczej dziedzinami Dirichleta lub

komrkami Wignera-Seitza, poniewaý

odkrywano je ponownie przy okazji rý-

nych niezaleýnych od siebie sytuacji.

Kratery Callana maj kszta¸t odwr-

conych stoýkw o jednakowych kry-

tycznych ktach nachylenia i spotykaj

si« wzd¸uý bokw komrek Woronoja

okreælonych przez uk¸ad dziur. Jedn

wygodn konsekwencj tej geometrii

jest fakt, ýe wzniesienia spotykaj si« na

tej samej wysokoæci nad desk Ð nie wy-

st«puje ostra niecig¸oæ. Inn cech«,

mniej oczywist, moýna takýe wydedu-

kowa: kszta¸t grzbietu, gdzie jeden

krater przechodzi w drugi. Teoretycz-

nie rzecz biorc, mamy dwa odwrcone

stoýki wznoszce si« pod identyczny-

mi ktami. Spotykaj si« one wzd¸uý sy-

metralnej odcinka ¸czcego ærodki Ð

nad brzegiem komrki Woronoja. W re-

zultacie ich przeci«cie leýy w p¸aszczy-

nie pionowej przechodzcej przez lini«

brzegu. Jak krzyw otrzymamy, prze-

cinajc stoýek p¸aszczyzn pionow?*

Staroýytni Grecy znali odpowied Ð b«-

dzie to hiperbola. Fakt ten pomaga wy-

t¸umaczy silnie postrz«pion natur«

krajobrazw Callana.

Co to wszystko ma wsplnego z

astronomi? Zamiast dziur na p¸asz-

czynie wyobramy sobie punkty w

trjwymiarowej przestrzeni. Na p¸asz-

czynie symetralna odcinka jest lini

prost, natomiast w przestrzeni to p¸asz-

czyzna. Poprowadmy te p¸aszczyzny

dla odcinkw ¸czcych zadany punkt

ze wszystkimi pozosta¸ymi. Komrk

Woronoja dla tego punktu b«dzie naj-

mniejszy obszar wypuk¸y otaczajcy da-

ny punkt i wyznaczony przez cz«æci

tych p¸aszczyzn. Teraz komrka Woro-

noja jest wieloæcianem. Astronomowie

odkryli ostatnio, ýe wielkoskalowe roz-

mieszczenie materii we Wszechæwiecie

przypomina sie takich wieloæcianw.

Wi«kszoæ gromad galaktyk wydaje si«

skupia na brzegach otaczajcych ko-

mrki Woronoja. Wzr ten nazwany zo-

sta¸ pian Woronoja, gdyý wyglda jak

gigantyczna wype¸niona baÄkami my-

dlanymi wanna.

Zachodzi analogia Ð nieca¸kowita,

lecz pouczajca Ð z rozmieszczeniem ce-

mentowego proszku w krajobrazach

Callana. W jego rzebach usypane kup-

ki najwyýej wznosz si« wzd¸uý brze-

gw Woronoja. Odpowiednia w¸asnoæ

w przestrzeni trjwymiarowej wygl-

da¸aby nast«pujco: poniewaý Wszech-

æwiat si« rozszerza, materia skupia si«

wzd¸uý analogicznych brzegw. Tak

wi«c jedna prosta idea ¸czy ze sob

frapujc sztuk«, eleganck matematy-

k« i fizyczny opis struktury Wszech-

æwiata.

SPRZ¢ûENIE ZWROTNE

wi«cej trudu i zmartwieÄ niý przyjemnoæci. Kilka osb zauwaýy¸o, ýe jedna

z b¸on na zamieszczonej fotografii nie mia¸a kszta¸tu minimalnej powierzchni Ð ka-

tenoidy. Prawdziwa katenoida, odpowiadajca opisowi w tekæcie, jest bardziej æci-

æni«ta w talii i ãroz¸oýystaÓ na brzegach.

Skd ta rozbieýnoæ pomi«dzy idealnym kszta¸tem

a fotografi? W rzeczywistoæci kszta¸t b¸ony mydla-

nej powstajcej pomi«dzy dwoma rwnoleg¸ymi

pieræcieniami zaleýy od tego, jak daleko je odsuni«to

w stosunku do ich ærednicy. Jeæli odsuwanie prze-

kroczy pewn krytyczn wartoæ, jak sta¸o si« to na

fotografii, b¸ona wyd¸uýa si«, a nast«pnie przery-

wa, tworzc dwa roz¸czne dyski, z ktrych kaýdy

jest rozpi«ty na jednym pieræcieniu.

T¸umaczy¸a

Anna Orzechowska

* Chodzi o p¸aszczyzn« rwnoleg¸ do osi stoýka,

w przeciwnym razie przekrojem nie musi by hiper-

bola (przyp. t¸um.).

A rtyku¸ o podwjnej baÄce [ åwiat Nauki , marzec br.] przysporzy¸ czytelnikom

Stewart Ian - Cementowe krajobrazy.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: