ZAGADNIENIA Z MECHANIKI PŁYNÓW

1. Klasyfikacja płynów.

Płynami nazywamy ciała nie wykazujące sprężystości podstawowej . Ciała takie wykazują się wielką ruchliwością dzięki której :

-           podlegają łatwo odkształceniom  postaciowym pod działaniem nawet małych sił zewnętrznych

-           przyjmują kształt naczynia w którym się znajdują

Własności te wykazują zarówno ciecze jak i gazy . Jednakże  ciecze różnią się od gazów kilkoma istotnymi cechami (przy czym różnice te zanikają w pobliżu punktu krytycznego) . Otóż ciecze posiadają określoną objętość w szerokim zakresie ciśnień  a pozostając w spoczynku w dużym naczyniu tworzą swobodne zwierciadło ( oczywiście w warunkach grawitacji ) . Natomiast gazy wykazują zdolność ekspansji , dzięki której wypełniają całkowicie naczynie , do którego zostały wprowadzone , nie tworząc swobodnego zwierciadła . W konsekwencji ciecz w danej temperaturze posiada określoną gęstość , niezależnie od wymiarów naczynia co odróżnia ją od gęstości gazów. Własności te tłumaczy molekularna struktura płynów . W cieczach poszczególne cząstki utrzymane są w ciasnym upakowaniu  działaniem sił międzycząsteczkowych , natomiast cząstki gazu nie podlegają temu działaniu .

2.Pojęcie lepkości. Miary lepkości. Jednostki.

Istotną cechą każdego płynu rzeczywistego jest opór stawiany zewnętrznym siłą ścinającym. Siły te wywołują w płynie naprężenia styczne (t). Stanowią one istotę tarcia wewnętrznego, które w przypadku płynów nazywa się lepkością. A zatem lepkością płynu nazywamy jego zdolność przenoszenia naprężeń stycznych.

Lepkość uwarunkowana jest molekularną strukturą płynów i dlatego zależność wiążącą siłę tarcia  z rozkładem prędkości można by wyprowadzić z kinematycznej teorii gazów i cieczy.

Zmiana prędkości płynu przypadająca na jednostkę odległości w kierunku normalnym do kierunku przepływu czyli iloraz różniczkowy:

            Gradient prędkości

Newton wysuną hipotezę, w myśl której siła styczna jest proporcjonalna do gradientu prędkości:

Przy czym znak – oznacza, że siła ta jest przeciwna do kierunku ruchu płynu.

Zatem naprężenie styczne równa się:

Wzór ten jest matematyczną formą Newtonowskiego prawa tarcia. Występujący w nim współczynnik proporcjonalności h zwany jest dynamicznym współczynnikiem lepkości.

Miarą lepkości w układzie SI jest :

Używa się też jednostki w układzie CGS:

Lub jednostki pochodnej, 100 razy mniejszej:

1 centypuaz=0,01P

Dwie cechy płynu, jakimi są lepkość i gęstość, można zastąpić jedną mianowicie ilorazem lepkości dynamicznej przez gęstość. Otrzymujemy wtedy kinematyczny współczynnik lepkości:

Zwany tak dlatego, że jego miara:

Zawiera miary długości i czasu.

Jednostką lepkości kinematycznej jest: 1 stok=1 st =1 cm/s

Ale częściej jest stosowana jednostka pochodna: 1 centystok=1cst=0,001st

3. Ciśnienie wielkość skalarna, wektorowa czy tensorowa?

Ciśnienie jest wielkością skalarną. Jeżeli siła powierzchniowa działająca na element powierzchniowy jest zwrócona ku temu elementowi, to naprężenie normalne jest ciśnieniem, w przeciwnym przypadku – ciągnieniem. Naprężenia normalne w cieczy są z reguły ciśnieniami. W płynie pozostającym w równowadze względem ścian naczynia, ciśnienie na element powierzchniowy, umieszczony w dowolnym punkcie, nie zależy od przestrzennej orientacji tego elementu. Powyższe prawo niezależności ciśnienia o  orientacji elementu powierzchniowego, sformułowane przez Eulera, wyraża fakt że ciśnienie ma charakter skalarowy (bezkierunkowy)

Ciśnienie wywierane przez atmosferę ziemską nazywamy ciśnieniem atmosferycznym lub barometrycznym i oznaczamy symbolem pb.

Ciśnienie bezwzględne (absolutne pa) mierzone jest względem doskonałej próżni.

Nadciśnienie (pn) jest nadwyżką ciśnienia bezwzględnego ponad ciśnienie atmosferyczne :

  Podciśnienie (pw) stanowi różnicę między ciśnieniem atmosferycznym a ciśnieniem bezwzględnym:

Jednostką miary ciśnienia jest N/m2 = Pa lub jednostka sto tysięcy razy większa czyli bar, który jest prawie równy atmosferze technicznej (1 at = 1kG/cm2  ), a mianowicie:

lub

4. Metody pomiaru ciśnienia. Jednostki ciśnienia.

W układzie jednostek SI jednostką ciśnienia jest Pa i bar

Ciśnienie mierzymy za pomocą :

-do pomiaru podciśnienia służy wakuometr;

-do pomiaru nadciśnienia służy manometr;

-do pomiaru ciśnień absolutnych służy barometr.

5. Warunek równowagi. Powierzchnie stałego potencjału. Paradoks hydrostatyczny.

Równanie równowagi (rów. Eulera):

Można je również zapisać w postaci współrzędnościowej:

Równanie Eulera umożliwia nam analizę równowagi cieczy poddanej działaniu sił ciśnieniowych

                                                                                           (*)                                   

Jedynie siły masowe-potencjalne są w stanie wywołać równowagę cieczy nieściśliwej. W szczególności jeżeli p=const to dp=0 i z równania (*) otrzymujemy że U=const co oznacz że powierzchnie stałego ciśnienia są zarazem powierzchniami ekwipotencjalnymi.

Paradoks hydrostatyczny.

Parcie na dno naczynia nie zależy od ciężaru zawartej w nim cieczy lub od objętości cieczy, lecz zależy wyłącznie od ciężaru właściwego cieczy, głębokości dna pod zwierciadłem i od pola F.

6. Równowaga względna. Przedmiot mechaniki płynów. Pojęcia podstawowe.

Równowaga względna – stan w którym ciecz przemieszcza się wraz z naczyniem ruchem jednostajnym lub jednostajnie przyspieszonym (ciecz pozostaje w spoczynku względem ścianek naczynia).

Mechanika płynów zajmuje się badaniem równowagi lub ruchów, a także pow­stawaniem ruchów płynu pod działaniem różnego rodzaju sił.

Przedmiotem mechaniki płynów jest także określenie sił, z. jakimi płyn działa na ciało w nim zanurzone lub na ściany ograniczające przepływ.

Mechaniką cieczy potocznie nazywa się hydromechanikę, zaś mechaniką ga­zów –aeromechanikę. Hydromechanika dzieli się na hydrostatykę, która ba­da prawa rządzące cieczą w spoczynku oraz hydrodynamikę, zajmującą się ru­chem cieczy. Natomiast w ramach aeromechaniki rozpatruje się na ogół wyłącznie aerodynamikę.

Przedmiotem aerodynamiki jest m.in. badanie przepływów, podczas których występują duże różnice ciśnień, pociągające za sobą znaczne zmiany objęto­ści, a więc i gęstości. Chodzi tu o przepływy z dużymi prędkościami, jak np. podczas wypływu gazu ze zbiornika lub podczas przepływu przez kanał łączący dwie przestrzenie o znacznej różnicy ciśnień, albo podczas lotu szybkich samolotów,­ rakiet i pocisków.

Prawo Pascala

Gdy na płyn działają wyłącznie siły powierzchniowe, to ciśnienie ma jednakowa wartość w każdym punkcie płynu.

Jest to prawo mówiące o rozchodzeniu ciśnienia w płynie.

8. Napór na ściany płaskie. Współrzędne środka naporu .

Parciem hydrostatycznym nazywa się siłę powierzchniowa, jaką wywiera ciecz w stanie spoczynku na powierzchni dowolnie zorientowanej w przestrzeni. Siła ta jest skierowana prostopadle do rozpatrywanej powierzchni.

Odległość środka naporu od osi Ox równa jest iloczynowi momentu bezwładności przez moment statyczny figury względem tej osi

Współrzędne środka naporu.

9. Napór na ściany zakrzywione. Współrzędne środka naporu.

Składowa pozioma naporu Nn na powierzchni zakrzywionej, obliczona w dowolnym kierunku jest równa naporowi na figurę płaską, uzyskaną przez zrzutowanie powierzchni zakrzywionej na płaszczyznę pionową, prostopadła do tego kierunku

Składowa pionowa naporu Nz na powierzchnię zakrzywioną równa się ciężarowi słupa cieczy wznoszącego się nad ta powierzchnie, ograniczonego tworzącymi pionowymi poprowadzonymi przez kontur powierzchni i sięgającego do powierzchni Oxy  

10.Zjawisko wyporu. Odkrycie Archimedesa.

Na powierzchnię zamkniętą A=A1+A2 ciała zanurzonego w cieczy działa parcie ze wszystkich stron. Wypadkowe parcie w kierunku poziomym tj. w kierunku osi x jest równe 0, gdyż dwa przeciwne skierowane parcia Fx dotyczą tej samej powierzchni Ax, a więc liczbowo są równe. Wypadkowe parcie w kierunku pionowym wynosi:Fz=Fz1+Fz2.

Fz1-parcie do góry równe ciężarowi słupa cieczy nad dolną powierzchnią ciała A1,

Fz2-parcie w dół równe ciężarowi słupa cieczy nad górną powierzchnią ciała A2,

Różnica tych ciężarów jest równa ciężarowi cieczy G o tej samej objętości co objętość ciała zanurzonego. Wypadkowe parcie działające do góry na zanurzone ciało nosi nazwę wyporu:

W=Fz=G=rgV         

Gdzie V i G -objętość i ciężar wypartej cieczy,

Powyższe równanie przedstawia prawo Archimedesa, w myśl którego ciało zanurzone w cieczy traci (pozornie) na ciężarze tyle, ile waży ciecz wyparta przez to ciało.

Archimedes żył ok.287-212 p.n.e., Syrakuzy, starożytna Grecja.

11.Stany stateczności pływania . Metacentrum i odległość metacentryczna.

Pod statecznością pływania rozumie się zdolność powrotu ciała pływającego wychylonego ze stanu równowagi do pierwotnego położenia.

Ciała całkowicie zanurzone:

Na ciało całkowicie zanurzone działają dwie siły:

Wypór W i ciężar ciała G1 . Punkt S oznacza środek ciała zanurzonego i w ogólnym przypadku nie musi pokrywać się ze środkiem wyporu N, której leży w środku geometrycznym ciała . Równowaga pływania jak wiadomo , zachodzi wówczas, gdy W=G1 i gdy i leżą wzdłuż tej samej osi pionowej , czyli wzdłuż osi pływania .

Możliwe są trzy przypadki :

a)         punkt S leży poniżej punktu N

b)         punkt S leży powyżej punktu N

c)         punkt S i N pokrywają się

Przy obrocie ciała dookoła osi poziomej, np. dookoła osi przechodzącej przez S, o kąt a, punkt N przemieszcza się w położenie N’, przy czym W’=W. Powstaje moment pary sił W’*l=G*l, który bądź przeciwdziała wychyleniu a), bądź wzmaga wychylenie b) bądź jest równy 0 c).

Można zatem stwierdzić co następuje :

a)         ciała stateczne – środek ciężkości S leży poniżej środka wyporu N

b)         ciało niestateczne – S leży powyżej W

c)         równowaga obojętna – punkty S i N pokrywają się

Przy przesunięciach lub obrotach względem pozostałych osi ciało całkowicie zanurzone pozostaje zawsze w równowadze obojętnej.

M.=-W*l1=-r*q*V*l1                                                                                                                   2

Gdzie

V – objętość wody wypartej przez ciało pływające.

Moment M.k wynosi :

M.k=Wk*l3=          3

Gdzie: Jx=Jmin – moment bezwładności pola pływania A względem osi x.

Podstawiając równania 1,2,3 do równania 4 otrzymuje się :

Z rysunku 2b wynika zależność :

l1+l2=(m.+n)*sinj » (m.+n)*j

Po podstawieniu otrzymuje się ostatecznie, że odległość metacentryczna wynosi :

M=                                                                                                                            5

Gdzie: n – odległość środka ciężkości S ciała i środka wyporu.

Równowaga stała (m.>0) będzie zatem miała miejsce :

0<n<

Gdy środek ciężkości S leży poniżej środka wyporu N, wówczas:

l1+l2=(m.-n)*j’

Równanie przyjmie postać :

M=

Widać , że w tym wypadku jest zawsze m.>0, czyli ciało pływające zawsze znajduje się w równowadze stałej. Poprawa stateczności statków jest uzyskiwana przez obniżenie środka ciężkości S ( zmniejszeń ) . Innym sposobem jest stosowanie tzw. stabilizatorów czyli podwodnych skrzydeł, które po wysunięciu zwiększają moment wywołany dodatkowym wyporem.

12. Kinematyka płynów. Cele, zadania, parametry kinematyczne.

W kinematyce płynów zajmujemy się analitycznym opisem przepływów nie zależnie od przyczyn (tzn. sił), które te przepływy wywołują. Opis ruchu jest  więc czysto geometryczny.

W kinematyce płynów posługujemy się pojęciem elementu płynu, które zwią­zane jest w swej istocie z wcześniej omówionym pojęciem kontinuum. Przez element płynu rozumieć będziemy bryłę na tyle małą w porównaniu z jakimś charakterystycznym wymiarem przepływu; że można ją uważać za nieskończe­nie małą w sensie matematycznym. Z drugiej jednak strony element płynu za­wiera na tyle dużo cząstek (drobin) płynu, że wykazuje makroskopowe cechy fizykalne analogiczne jak. płyn w całej swej masie. W ten sposób rozumie­my ciągłość struktury elementu płynu przy przejściu granicznym, czyli gdy wymiary elementu zmniejszamy do zera w sensie makroskopowym.

Ruch płynów może być opisany za pomocą metod analizy matematycznej przy założeniu ciągłości masy i odkształceń, które to wielkości traktujemy ja­ko ciągłe funkcje czasu. Ale ciągłość masy sprawia, że ruchy wszystkich elementów płynu są o d siebie zależne. 0 ile chwilowy ruch ogólny ciała sztywnego można interpretować jako skręt chwilowy wokół odpowiedniej osi, o .tyle w ruchu ogólnym płynu, oprócz ruchu właściwego ciału sztywnemu,

występują ponadto wynikające z odkształceń (postaciowych i objętościowych) elementów płynu. Na tym polega istotna różnica pomiędzy kinematyką ciał sztywnych i płynów. Okaże się jednak, że zarówno pole prędkości odkształcenia związane jest ściśle z polem prędkości ruchu postępowego.

Główne zadanie kinematyki płynów polega na określeniu prędkości (v) i przyśpieszenia (a) dowolnego elementu płynu w dowolnej chwili t. Jak się przekonamy w dalszym ciągu, znając prędkość i przyśpieszenie potrafimy określić pole ciśnień, a zatem i siły działające w płynie. 

W przypadku ogólnym wektorowe pole prędkości, jak również pola pozostałych  parametrów przepływu, mogą zależeć od trzech współrzędnych położenia oraz od czasu.

13.Metoda Eulera i Lagrange’a w kinematyce płynów.

Metoda Lagrange’a.

Niech Vo oznacza objętość pewnej masy płynu, którą zajmuje on w pewnej chwili początkowej t0. Po upływie czasu Dt, w chwili t=to+Dt ta sama masa zajmuje objętość V. Między wielkościami Vo i V jednoznaczna zależność. Dowolny element płynu ¶VÎV który w chwili to zajmował położenie Po(to), przemieści się w położenie P(to+Dt).Jego położenie określamy za pomocą współrzędnych x, y, z, tego punktu w przestrzeni, w którym element znajduje się w chwili t. Bieżące współrzędne elementu zależą nie tylko od geometrii przepływu lecz i od położenia jakie zajmował on w chwili to. Niech to położenie początkowe określane będzie współrzędnymi a, b, c, punktu Po. Matematycznym wyrazem tego faktu są równości:

x= x (a, b, c, t)

y= y (a, b, c, t)

z= z (a, b, c, t)

Są to zarazem parametryczne równania toru tego elementu który został wyodrębniony, spośród innych za pomocą współrzędnych a, b, c. Parametrem jest czas, zmieniając wartość t określamy kolejne położenie elementu czyli jego trajektorię (tor). Zmieniając zaś trójkę liczb

a, b, c, skierujemy uwagę na inne elementy płynu .Wszystkie interesujące nas wielkości (zmienne zależne) takie jak prędkość, ciśnienie, gęstość itd. traktujemy jako funkcję a, b, c, t pisząc np.: V= V(a, b, c, t). Tak rozumiana czwórka zmiennych niezależnych nosi nazwę zmiennych (współrzędnych) Lagrange’a. Przy ustalonych wartościach t, funkcja V= V(a, b, c, t) określa prędkość różnych elementów płynu , reprezentujących ruch całej masy.

Metoda Eulera.

W przestrzeni objętej przepływem wybieramy myślowo pewien punkt „obserwacyjny” M.(x, y, z). Przez ten punk przechodzą kolejno coraz inne elementy płynu z określonymi parametrami v, p ,q itd. Interesuje nas zależność tych wielkości od czasu t w określonym zbiorze punktów M. Według koncepcji Eulera ruch płynu opisuje się przez podanie funkcji:

V= v (x, y, z, t)

P= p (x, y, z, t)

Q= q (x, y, z, t)

Tak rozumiana czwórka zmiennych x, y, z, t nosi nazwę zmiennych Eulera. W metodzie Eulera mamy okienko i rejestrujemy prędkość przelotnej cząstki. Badanie przepływów pod względem kinematycznym polega na określeniu prędkości poruszającego się płynu, znając prędkość można znaleźć rozkład ciśnień i siły działającej w płynie.

15. Pojęcie cyrkulacji. Interpretacja fizyczna i analogia.

Cyrkulacją nazywamy całkę krzywoliniową ze skalarnego iloczynu wektora prędkości przez wektor elementarnego przemieszczenia.

Cyrkulacja prędkości jest wielkością i jeśli ma wartość dodatnią to znaczy, że element płynu znajduje się  na konturze K wykazując tendencje do poruszania się w kierunku zgodnym z kierunkiem całkowania i na odwrót (kierunek całkowania traktujemy jako dodatni, jeśli obszar ograniczony konturem K pozostaje przy całkowaniu po lewej stronie). Jeżeli

to znaczy, że tendencja do ruchu w kierunku dodatnim, występująca w części konturu, lub wektory prędkości w każdym punkcie konturu są prostopadłe do elementu ds.