5-RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ.doc

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Ø     CAŁKI NIEOZNACZONE

• • Definicja funkcji pierwotnej:

Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F’(x)=f(x), dla każdego xI.

Przykłady funkcji pierwotnych:

a) f(x)=sinx                                                  b)

    F1(x)=-cosx                                           G1(x)=arcsinx

    F2(x)=π-cosx                                           G2(x)=arcsinx+arcsinx

    F3(x)=-cosx+5                                           G3(x)=-arccosx-1

    F4(x)=-cosx+arcsinx, arcsinxarcsinx

• Twierdzenie o funkcjach pierwotnych:

Niech F będzie funkcją  pierwotną f na przedziale I. Wówczas:

1)     G(x)=F(x)+c0, gdzie cR, jest funkcją pierwotną funkcji f na I.

2)     każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić w postaci F(x)=c1, gdzie c1R.

• • Definicja całki nieoznaczonej:

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną, ozn. , funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji {F(x)+c:cR}, gdzie:

f(x)               nazywamy funkcją podcałkową

c               nazywamy stałą całkowania

WNIOSEK: Zachodzi wzór:

=F(x)+c

gdzie:              F(x) jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f(x) na rozważanym przedziale,

              c jest dowolną stałą

Przykład:

Interpretacja geometryczna:

F(x)+c2

                                            F(x)+c1

  F(x)                            =F(x)+c

                                            F(x)+c3              całka nieoznaczona

  F(x)+c4

FAKT: Pochodna całki nieoznaczonej:

Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy dla każdego xI zachodzi wzór:

FAKT: Całka nieoznaczona pochodnej:

Niech funkcja f’ ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy dla każdego xI zachodzi wzór:

gdzie cR.

• Twierdzenie o całkowalności w sensie Newtona:

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła na przedziale I, to jest całkowalna w sensie Newtona na tym przedziale.

• • CAŁKI Z FUNKCJI ELEMENTARNYCH

Przykład: Obliczyć całki:

• • Twierdzenie o liniowości całki nieoznaczonej:

Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to:

1)

2)

Przykład: Obliczyć całki nieoznaczone:

• • Twierdzenie o całkowaniu przez części:

Jeżeli funkcje u i v mają na pewnym przedziale ciągłe pochodne u’ i v’, to:

na tym przedziale.

Przykład: Obliczyć całki:

UWAGA: Dla całek w postaci , gdzie dla funkcji f(x) istnieje pewna liczba nN taka, że f(n)(x)=0, natomiast g(x) jest przynajmniej n-krotnie całkowalna można zastosować schemat wielokrotnego całkowania przez części:

Przykład: Obliczyć:

x5ex-5x4ex+2x3ex-60x2ex+120xex+120ex+c

=f(x)∙G(x) – f’(x)∙G2(x) + f”(x)∙G3(x) – ... + f(n-1)(x)∙Gn(x)+c.

v     WZORY REKURENCYJNE:

1)

2)

3)

4)

• • Twierdzenie o całkowaniu przez podstawianie:

Jeżeli:

1)     funkcja f:I→R jest ciągła na przedziale I

2)     funkcja φ:T→I jest ciągła na przedziale T, to:

gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f oraz cR.

Przykład: Obliczyć całki:

Ciąg dalszy wzorów rekurencyjnych:

5)

...