Dynamika ciała sztywnego.pdf

(188 KB) Pobierz
Wykład 8
Dynamika ciała sztywnego
Ciała sztywne i moment bezwładności
Większość ciał w przyrodzie to nie cząstki punktowe tylko rozciągłe ciała stałe, które
mogą wykonywać zarówno ruch postępowy jak i obrotowy. Przez ciała stałe, sztywne,
rozumiemy ciała, w których odległość między dwoma wybranymi elementami pozostaje stała.
wokół
Przeanalizujmy ruch takiej bryły obracającej się ze stałą prędkością kątowa w
stałej osi w układzie środka masy. Dla uproszczenia rozważmy bryłę w postaci ciała o symetrii
obrotowej. Mówimy, że ciało ma symetrię obrotową, jeżeli w ciele istnieje oś przy obrocie
dookoła której o dowolny kąt ciało przechodzi samo w siebie.
Zauważmy, że różne części ciała mają różną prędkość liniową u
, chociaż tą samą
prędkość kątową w. Podzielmy to ciało na małe elementy o masie D m i i zapiszmy wektor R ,
określający położenie i - tego elementu względem początku układu współrzędnych O , jako
RR
||
[
R
]
=
+
R
(rys.VIII.1). Prędkość liniowa takiego elementu wynosi
u
=
w
´
i
i
i
^
i
i
i R
w
R
w
R
, skąd
, ponieważ
.
=
[
w
´
]
+
[
w
´
]
u
=
w
×
R
=
[
´
]
^
i
i
^
||
i
^
^
^
Moment pędu i - tego małego elementu
względem początku układu O wynosi
[
]
L
=
R
´
D
m
u
=
L
+
L
,
i
i
i
i
i
^
i
||
gdzie
||
(
[
]
)
L
=
D
m
R
´
u
,
i
i
i
^
i
oraz
(
[
]
)
L
=
D
m
R
´
u
.
i
^
i
i
||
i
Rys.VIII.1. Ruch obrotowy bryły
L będzie równa
Dla ciała sztywnego o symetrii obrotowej, suma wszystkich składowych
^
zeru. Istotnie dla dowolnego i - tego elementu istnieje symetryczny j -ty element, dla którego
i R
i L
u
=
-
u
=
+
=
0
i
, a zatem
.
i
j
||
j
||
^
j
^
Składowa momentu pędu
77
794976902.029.png 794976902.030.png
 
2
L
=
D
m
R
u
=
D
m
R
×
w
(VIII.1)
i
||
i
i
^
i
i
i
^
jest równoległa do wektora prędkości kątowej w
(rys.VIII.1), a więc moment pędu
obracającego się ciała sztywnego możemy zapisać w postaci
æ
ö
å
å
ç
è
÷
ø
2
L
=
L
=
R
D
m
×
w
. (VIII.2)
i
||
ç
i
^
i
÷
i
i
Wielkość w nawiasie nazywamy momentem bezwładności ( I ) bryły względem osi obrotu:
å
2
I
=
R
D
m
. (VIII.3)
i
^
i
i
Biorą pod uwagę (VIII.3), możemy teraz zapisać moment pędu obracającego się ciała
sztywnego w postaci
I
. (VIII.4)
L
=
×
w
Warto podkreślić, że równanie wektorowe (VIII.4) jest słuszne tylko dla bryły o symetrii
obrotowej. Dla bryły o dowolnym kształcie wektor L nie jest równoległy do wektora w
.
Po podstawieniu wzoru (VIII.4) do równania, określającego zmiany momentu pędu (
L
), otrzymujemy
=
d
d
w
=
I
×
=
I
×
b
=
M
. (VIII.5)
dt
dt
jest przyspieszeniem kątowym, a M jest składową momentu siły wzdłuż osi
d w
Tu
b
=
dt
.
obrotu bryły, czyli wzdłuż wektora w
Energia kinetyczna rotującej bryły sztywnej w układzie środka masy ma postać
æ
ö
å
å
å
1
1
1
ç
è
÷
ø
2
2
2
2
T
=
D
m
u
=
D
m
(
R
w
)
=
D
m
R
w
, (VIII.6)
rot
i
i
i
i
^
ç
i
i
^
÷
2
2
2
i
i
i
a zatem, uwzględniając wzór (VIII.3), znajdujemy
å
1
1
2
2
T
=
D
m
u
=
I
×
w
, (VIII.7)
rot
i
i
2
2
i
Jeżeli ciało toczy się, to występuje zarówno ruch postępowy, jak i obrotowy. Całkowitą
kinetyczną energię ciała sztywnego poruszającego się ruchem postępowo-obrotowym określa
wzór
78
794976902.031.png 794976902.001.png 794976902.002.png 794976902.003.png 794976902.004.png 794976902.005.png 794976902.006.png
1
1
2
2
T
=
M
u
+
I
×
w
, (VIII.8)
sr
.
m
śr
,
m
2
2
å
M
=
m
u
ś I .
gdzie
- całkowita masa ciała,
- prędkość środka masy, a
- moment
i
śr .
m
m
i
bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez środek masy.
Zestawmy teraz obliczone wielkości ruchu obrotowego bryły z ich odpowiednikami dla
ruchu postępowego.
Ruch postępowy
Ruch obrotowy
p
m
=
u
I
L
=
w
F
I
=
M
=
b
1
1
2
T
=
m
u
T
=
I
w
2
2
2
Z tej tabelki widzimy, że moment bezwładności I w ruchu obrotowym bryły odgrywa rolę
analogiczną do masy m w ruchu postępowym. Istnieje jednak zasadnicza różnica: masa ciała
nie zależy od jego położenia w przestrzeni, natomiast moment bezwładności zależy od osi,
wokół której obraca się ciało. Momenty bezwładności niektórych ciał są podane w tabeli.
Ciało sztywne
I
mR 2
Obręcz, pierścień względem osi ^ przez środek
mR 2 /2
Krążek, walec względem osi ^ przez środek
ml 2 /12
Pręt wokół osi ^ przez środek
ml 2 /3
Pręt wokół osi ^ przez koniec
2 mR 2 /5
Pełna kula wokół osi przez środek
2 mR 2 /3
Czasza kulista wokół osi przez środek
Twierdzenie Steinera
Często do obliczania momentu bezwładności wygodnie jest posłużyć się twierdzeniem
Steinera. Podaje ono zależność pomiędzy momentem bezwładności I ciała względem danej osi,
I tego ciała względem osi przechodzącej przez jego środek masy
a momentem bezwładności
i równoległej do danej osi:
2
I C +
=
md
, (VIII.9)
79
794976902.007.png 794976902.008.png 794976902.009.png 794976902.010.png 794976902.011.png 794976902.012.png 794976902.013.png 794976902.014.png 794976902.015.png 794976902.016.png 794976902.017.png 794976902.018.png 794976902.019.png
 
gdzie m jest masą ciała, a d odległością pomiędzy osiami. Udowodnimy twierdzenie Steinera.
Rozważmy dwie równoległe do siebie osie i niech osie te będą prostopadłe do
płaszczyzny rysunku (rys.VIII.2) i przecinają tą płaszczyznę w punktach A i B . Zgodnie ze
wzorem (VIII.2) momenty bezwładności ciała względem osi przechodzących przez punkty A i
B są równe:
å
I
=
r
2
D
m
, (VIII.10)
A
i
^
i
i
å
/
2
I
=
(
r
)
D
m
. (VIII.11)
B
i
^
i
i
r i
/
^
D
m
Tu
r - odległości masy
od osi
^
i
przechodzące odpowiednio przez punkty A i
B .
Rys.VIII.2.
r i
r istnieje związek
/
^
Z rys.VIII.2 wynika, że między wektorami
^
/
r
=
r
+
d
. (VIII.12)
i
^
i
^
Po uwzględnieniu (VIII.12) ze wzoru (VIII.10) otrzymujemy:
å
å
2
/
2
I
=
r
D
m
=
(
r
+
d
)
×
D
m
A
i
^
i
i
^
i
i
i
å
å
å
/
2
2
/
. (VIII.13)
=
(
r
)
D
m
+
d
D
m
+
2
d
×
D
m
r
i
^
i
i
i
i
^
i
i
i
2
/
=
I
+
md
+
2
m
(
d
×
r
)
B
C
^
r - wektor określający odległość środka masy ciała od osi
/
Tu m - masa ciała, a
^
przechodzącej przez punkt B . Jeżeli środek masy ciała znajduje się na osi przechodzącej przez
r i ze wzoru (VIII.13) wynika wzór (VIII.9), który wyraża twierdzenie
/
=
0
punkt B , wtedy
^
Steinera.
Zadanie 1: Kula o masie m i promieniu R stacza się po równi pochyłej o wysokości h .
Obliczyć prędkość kuli u dołu równi.
Rozwiązanie: Zapiszmy zasadę zachowania energii dla krążka i kuli:
1
1
2
2
mgh
=
m
u
+
I
w
. (VIII.14)
2
2
Ponieważ
w
=
u
/
R
, a moment bezwładności dla kuli
2
, ze wzoru (VIII.14)
I =
2
mR
/
5
otrzymujemy
80
794976902.020.png 794976902.021.png 794976902.022.png 794976902.023.png
 
10
u
=
gh
. (VIII.15)
7
Zauważmy, że gdyby kula zsuwała się (bez rotacji) to prędkość kuli u dołu równi wynosiłaby
u
=
2
gh
.
Drgania
Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem
okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za
pomocą funkcji sinus albo cosinus. Ruch okresowy jest powszechną formą ruchu
obserwowaną w życiu codziennym i dlatego jest ważnym przedmiotem fizyki.
Siła harmoniczna
Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku
układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub siłą
sprężystości . Jeżeli obierzemy oś Ox wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest wyrażona
równaniem
F
=
-
kx
, (VIII.16)
gdzie x jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywieraną przez
rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę sprężystości.
Poza granicą sprężystości sprężyna zmienia swoją długość nieodwracalnie. Wzór (VIII.16)
wyraża tak zwane prawo Hooke'a .
Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa m (zaczepiona do sprężyny)
znalazła się w położeniu
x =
A
, a następnie w chwili
t
=
0
została zwolniona, to położenie
masy w funkcji czasu będzie dane równaniem:
x
=
A
×
cos
w
t
. (VIII.17)
Sprawdźmy czy jest to dobry opis ruchu. Dla
t
=
0
,
x =
A
, tzn. opis zgadza się z
założeniami. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że
ma
=
-
kx
,
czyli
2
d
x
ma
º
m
=
-
kx
. (VIII.18)
2
dt
81
794976902.024.png 794976902.025.png 794976902.026.png 794976902.027.png 794976902.028.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin