cw053.pdf

Ćwiczenie 53

K. Sierański

PRAWO OHMA DLA PRĄDU ZMIENNEGO

Cel ćwiczenia: wykonanie pomiarów indukcyjności cewek i pojemności

kondensatorów, wyznaczenie zależności natężenia prądu od napięcia dla

układu złożonego z opornika cewki indukcyjnej i kondensatora

Zagadnienia: prąd zmienny, obwód prądu zmiennego (obwód RLC ),

przesunięcie fazowe φ między natężeniem prądu i napięciem, oporność

indukcyjna cewki i oporność pojemnościowa kondensatora , wartość

skuteczna natężenia prądu napięcia U , zawada Z , prawo Ohma dla prądu

zmiennego.

X L

X C

I sk

53.1. Wprowadzenie

Jeżeli w obwodzie znajduje się wyłącznie opornik o oporności (oporze

omowym) R, do którego przyłożono stałe napięcie U , to natężenie prądu I

płynącego przez ten opornik jest proporcjonalne do przyłożonego napięcia

= .

(53.1)

Jest to znane prawo Ohma dla prądu stałego. Prawo to stosuje się również

do prądów i napięć zmiennych.

Niech prąd płynący przez opornik w obwodzie prądu zmiennego zmienia się

w czasie zgodnie ze wzorem

0 sin( ω ,

(53.2)

116

gdzie jest amplitudą natężenia prądu, a ω częstością kołową zmian prądu.

Wówczas napięcie U

R na oporniku wynosi

UI RI R t U

sin( )

ω ,

(53.3)

gdzie jest amplitudą napięcia na oporniku. Zauważmy, że nie ma

przesunięcia fazowego między prądem a napięciem. Innymi słowy, napięcie na

oporniku jest w każdej chwili proporcjonalne do natężenia płynącego prądu.

R 0

= R

Rys. 53.1. Obwód prądu zmiennego

zawierający opornik kondensator i cewkę

indukcyjną

Jeżeli obwód prądu zmiennego,

oprócz opornika, zawiera także

cewkę i kondensator, jak to

przedstawiono na rys. 53.1., to mamy

do czynienia również z oporem

indukcyjnym cewki X L i oporem

pojemnościowym kon-densatora

X C . Jeżeli prąd płynący przez

cewkę dany jest wzorem (53.2), to

powstaje w niej siła elektromotory-

na samoindukcji ( )

ε s

LdI dt

=− = =

ω ω

cos( )

(53.4)

ω ω

sin(

+ =

)

sin(

)

L 0 = ω . Związek ten ma

podobną postać jak w przypadku opornika, z tą różnicą, że zamiast R

występuje w nim wielkość ω , nazywana opornością indukcyjną cewki

I 0

L = ω .

(53.5)

117

I 0

=− / ,

gdzie L indukcyjność cewki. Stąd

napięcie U L na cewce

Zatem amplituda napięcia na cewce wynosi UL

Poza tym napięcie U L wyprzedza w fazie natężenie prądu I o kąt równy

π /2

czyli o ćwierć okresu.

Elementem obwodu prądu zmiennego może być również kondensator.

W dowolnej chwili napięcie na kondensatorze U C wiąże się z chwilową

wartością ładunku q na okładkach kondensatora zależnością qCU = , gdzie C

jest pojemnością kondensatora. Szybkość zmiany ładunku q jest równa

natężeniu prądu w obwodzie

(53.6)

a więc napięcie na kondensatorze jest równe

∫

= −

cos( )

(53.7)

sin(

− =

)

sin(

−

)

Wynika stąd, że amplituda napięcia na kondensatorze wynosi

= / ω . Wyrażenie

C =

(53.8)

nazywa się opornością pojemnościową kondensatora.

Napięcie na kondensatorze jest, podobnie jak napięcie na cewce,

przesunięte w fazie względem natężenia prądu, przy czym przesunięcie fazy

wynosi teraz −π/2

. Oznacza to, że napięcie

U C

opóźnia się w fazie

względem prądu o π , czyli o ćwierć okresu.

= + + na całym obwodzie

uwzględniając przesunięcia fazowe napięć na cewce i kondensatorze. Jeżeli

napięcia , i U są harmonicznymi funkcjami czasu, to również

napięcie U jest funkcją harmoniczną i ma postać

U R

U L

0 sin(

ω φ .

)

(53.9)

118

C 0

Obliczmy teraz napięcie UU U U

Rys. 53.2. Metoda diagramu wektorowego

wyznaczania napięcia w obwodzie RLC

W celu wyznaczenia U i φ wykorzystamy tzw. metodę diagramu

wektorowego. Wielkości harmonicznie zmiennej, z częstością kołową

(w naszym przypadku takimi wielkościami są natężenie prądu I i napięcia

, i U oraz U ) przyporządkowujemy wektor wirujący ze stałą

prędkością kątową ω, którego długość jest równa amplitudzie tej wielkości.

Koniec wektora porusza się po okręgu, a jego rzut na jedną ze średnic zmienia

się tak jak dana wielkość harmonicznie zmienna. W razie występowania kilku

wielkości harmonicznie zmiennych z tą samą częstością kołową ω, każdą

z nich można przedstawić za pomocą wektora wirującego z tą samą prędkością

kątową ω, przy czym kąty między wektorami będą stałe w czasie i równe

różnicom faz między wielkościami, którym one odpowiadają. W dalszym

ciągu będziemy pomijać ruch obrotowy wektorów i przedstawiać ich położenie

dla pewnej chwili czasu t . Rysunek 53.2 przedstawia diagram wektorowy

natężenia prądu I i napięć , i U oraz U , przy czym chwilę czasu t

wybrano tak, że wektor odpowiadający natężeniu prądu I leży wzdłuż

poziomej półprostej . Również wektor napięcia na oporniku U ma ten sam

kierunek i zwrot. Wektor napięcia na cewce U tworzy z poziomą półprostą

kąt równy π/2, a wektor napięcia na kondensatorze U – kąt równy - −

U R

U L

U R

U L

π/2.

(Wektory odpowiadające i U mają jak widać ten sam kierunek lecz

przeciwne zwroty). Wektor całkowitego napięcia na obwodzie U jest równy

sumie wektorowej wektorów napięć:

U L

U R , U L i U C . Amplituda całkowitego

119

napięcia jest równa długości wektora wypadkowego (patrz rys. 53.2 ) i

zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa

U 0

= + −ωω

R L C

(

)

(53.10)

Jak widać, amplituda napięcia jest proporcjonalna do amplitudy prądu

. Jest to prawo Ohma dla prądu zmiennego . Współczynnikiem

proporcjonalności jest wielkość

U 0

I 0

ZR L C

(

ωω

)

(53.11)

która nazywa się zawadą. Z diagramu wektorowego znajdujemy również kąt

przesunięcia fazowego między natężeniem prądu a napięciem

(

tgφ

ω ω ωω

−

) (

−

(53.12)

Kąt przesunięcia fazowego może być zarówno dodatni, ujemny, jak i równy

zeru. Ten ostatni przypadek zachodzi wtedy, gdy częstość płynącego prądu

spełnia warunek ω ω

− =

1 /

0 , czyli

ω==

rez

(53.13)

Częstość nazywamy częstością rezonansową. Dla tej częstości, zgodnie

z (53.11), zawada przyjmuje wartość minimalną

ω rez

Z = .

U 0 ω, to

następuje gwałtowny wzrost prądu, gdy częstość dąży do częstości

rezonansowej (patrz ćwiczenie 54).

Gdy obwód zawiera jedynie opornik i cewkę indukcyjną, wówczas wzory

na zawadę i kąt przesunięcia fazowego mają postać :

jest stała, a zmienia się częstość

ZR L

( )

ω , tgφ

(53.14)

Natomiast dla obwodu zawierającego jedynie opornik i kondensator

120

= + −

)

Jeżeli amplituda napięcia

= +

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: