docelowy.pdf
(
105 KB
)
Pobierz
427376372 UNPDF
Rafał Witkowski
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza,
Wydział Matematyki i Informatyki,
ul. Umultowska 87
61-614 Pozna«,
rmiw@amu.edu.pl
TwierdzenieCauchy’ego
24 pa¹dziernika 2010
Streszczenie
TwierdzenieCauchy’ego
-jednozkilkutwierdze«owarto±ci±redniejwra-
chunkuró»niczkowym.Maonowa»nezastosowaniateoretyczne.Pozwalami¦dzy
innymioszacowa¢bł¡dwewzorzeTayloraorazuzasadni¢reguł¦del’Hospitala.
TwierdzenieCauchy’egojestuogólnieniemtwierdzeniaLagrange’a.
1.Tre±¢twierdzenia
Poni»sza tre±¢ twierdzenia została podana w oparciu o [1].
Twierdzenie1.1
(Twierdzenie Cauchy’ego)
.
Je»elidanefunkcjefigs¡:
—ci¡głewprzedzialedomkni¦tym
[
a,b
]
,
—ró»niczkowalnewprzedziale
(
a,b
)
,
toistniejepunktcnale»¡cydoprzedziału
(
a,b
)
taki,»e:
g
0
(
c
) [
f
(
b
)
−
f
(
a
)] =
f
0
(
c
) [
g
(
b
)
−
g
(
a
)]
2.Dowódtwierdzenia
Dowód twierdzenia 3.1 zostanie przeprowadzony na podstawie pracy [2].
1
Dowód opiera si¦ na rozpatrzeniu dwóch przypadków:
1.
g
(
a
) =
g
(
b
)
Wprowad¹my oznaczenia:
L
=
g
0
(
c
) [
f
(
b
)
−
f
(
a
)]
P
=
f
0
(
c
) [
g
(
b
)
−
g
(
a
)]
W tym przypadku oczywi±cie
P
= 0. Ponadto korzystaj¡c z twierdzenia Rolle’a:
9
c
2
(
a,b
)
g
0
(
c
) = 0
Wi¦c dla powy»szego
c
mamy
L
= 0. Ko«czy to dowód tego przypadku, gdy»
istnieje
c
2
(
a,b
) takie, »e
L
= 0 =
P
.
2.
g
(
a
)
6
=
g
(
b
)
Zdefiniujmy teraz:
I
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
Niech funkcja
: [
a,b
]
!
R
b¦dzie okre±lona wzorem:
(
x
) =
f
(
b
)
−
f
(
x
)
−
I
[(
g
(
b
)
−
g
(
x
)]
Wyka»emy, »e funkcja
spełnia zało»enia twierdzenia Rolle’a. Istotnie:
!
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
(
a
) =
f
(
b
)
−
f
(
a
)
−
{
g
(
b
)
−
g
(
a
)
}
= 0
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
!
(
b
) =
f
(
b
)
−
f
(
b
)
−
{
g
(
b
)
−
g
(
b
)
}
= 0
Wobec powy»szego spełnione jest zało»enie
(
a
) =
(
b
). Na mocy twierdzenia
Rolle’a:
9
c
2
(
a,b
)
0
(
c
) = 0
Zauwa»my, »e:
0
(
x
) =
−
f
0
(
x
) +
Ig
0
(
x
)
Bior¡c pod uwag¦, »e
0
(
x
) = 0 otrzymujemy:
0
(
c
) =
−
f
0
(
c
) +
Ig
0
(
c
)
f
0
(
c
) =
Ig
0
(
c
)
f
0
(
c
) =
Ig
0
(
c
)
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
!
f
0
(
c
) =
g
0
(
c
)
Ko«czy to dowód twierdzenia.
2
3.Wniosek
Poni»szy wniosek wynika wprost z twierdzenia 3.1 podanego w rozdziale 1, a udo-
wodnionego w rozdziale 2.
Wniosek3.1
(Twierdzenie Cauchy’ego)
.
Je»elidanefunkcjefigs¡:
—ci¡głewprzedzialedomkni¦tym
[
a,b
]
,
—ró»niczkowalnewprzedziale
(
a,b
)
,
—g
0
(
x
)
6
= 0
dlapewnegox
2
(
a,b
)
toistniejepunktcnale»¡cydoprzedziału
(
a,b
)
taki,»e:
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
=
f
0
(
c
)
g
0
(
c
)
Literatura
[1]R.Rudnicki:
Wykładyzanalizymatematycznej.
,Warszawa:WydawnictwoNaukowe
PWN,2001,s.144.
[2]G.M.Fichtenholz:
Rachunekró»niczkowyicałkowy.Tom1.
,Warszawa:Wydawnictwo
NaukowePWN,1994,s.199.
3
Plik z chomika:
martin202
Inne pliki z tego folderu:
zrodlowy.tex
(4 KB)
zrodlowy.pdf
(99 KB)
zrodlowy.log
(12 KB)
zrodlowy.blg
(0 KB)
zrodlowy.aux
(0 KB)
Inne foldery tego chomika:
ćw_02
ćw_05
ćw_06
ćw_07
ćw_08
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin