Liczby zespolone.pdf

LICZBYZESPOLONE

Deﬁnicja1 (liczbyzespolonej) .

Liczbamizespolonyminazywamyuporz¡dkowaneparyz = ( x , y ) liczb

rzeczywistych,tj.x , y 2 R ,dlaktórychdeﬁniujemyrówno±¢,sum¦i

iloczynwnast¦puj¡cysposób:

1.równo±¢liczbzespolonychz 1 iz 2 :

z 1 = z 2 () x 1 = x 2 ^ y 1 = y 2

2.dodawanieliczbzepolonychz 1 + z 2 :

( x 1 , y 1 ) + ( x 2 , y 2 ) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 )

3.iloczynliczbzespolonychz 1 z 2 :

( x 1 , y 1 ) · ( x 2 , y 2 ) = ( x 1 x 2 − y 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 )

Deﬁnicja2 (liczbyprzeciwnej) .

Liczb¦zespolon¡postaci ( − x ,− y ) nazywamyliczb¡przeciwn¡do ( x , y ) .

Deﬁnicja3 (odejmowanialiczbzespolonych) .

Odejmowanieliczbzespolonychokre±lamywzorem

( x 1 , y 1 ) − ( x 2 , y 2 ) = ( x 1 , y 1 ) + ( − x 2 ,− y 2 ) = ( x 1 − x 2 , y 1 − y 2 )

Wniosek1.

Liczbyzespolonepostaci ( x , 0) ,gdziex 2 R ,maj¡nast¦puj¡cewłasno-

±ci:

1. ( x 1 , 0) + ( x 2 , 0) = ( x 1 + x 2 , 0)

2. ( x 1 , 0) · ( x 2 , 0) = ( x 1 · x 2 , 0)

3. ( x 1 , 0) − ( x 2 , 0)

( x 1 − x 2 , 0)

( x 2 , 0) = ( x 1

x 2 , 0) ,gdziex 2 , 0

Zwłasno±citychwynika,»ezbiór ˜ R= { ( x , 0): x 2 R } mo»nauto»samia¢

zezbioremliczbrzeczywistych R .St¡db¦dziemypisalixzamiast ( x , 0) .

4. ( x 1 , 0)

Deﬁnicja4 (liczbyodwrotnej) .

Liczb¡odwrotn¡doliczbyzespolonejz = ( x , y ) ,z , 0 ,nazywamyliczb¦

postaci

x 2

+ y 2 ,− y

z =

x 2

+ y 2

przyczymspełnionyjestwarunek

z · 1

z = 1

Deﬁnicja5 (dzielenialiczbzespolonych) .

Dzielenieliczbzespolonychz 1 iz 2 okre±lamywzorem

z 2 =

( x 2 , y 2 ) =

x 1 x 2 + y 1 y 2

x 2 2 + y 2 2 ,

x 2 y 1 − x 1 y 2

x 2 2 + y 2 2

z 1

( x 1 , y 1 )

Deﬁnicja6 (jednostkiurojonej) .

Liczb¦zespolon¡postaci (0 , 1) ,ozn.symbolemi,nazywamyjednostk¡

urojon¡.

Uwaga1.

Jednostkaurojonaimat¦własno±¢,»ei 2

= − 1 .

Uwaga2 (posta¢algebraicznaliczbyzespolonej) .

Ka»d¡liczb¦zespolon¡z = ( x , y ) mo»nazapisa¢wpostaci

nazywan¡postaci¡algebraiczn¡liczbyzespolonej.

Deﬁnicja7 (cz¦±cirzeczywistejicz¦±ciurojonej) .

Niechzjestliczb¡zespolon¡postaciz = x + iy.Wówczas

1.liczb¦xnazywamycz¦±ci¡rzeczywist¡liczbyzespolonejz,cozapi-

sujemy

Rez = x

2.liczb¦ynazywamycz¦±ci¡urojon¡liczbyzespolonejz,cozapisujemy

Imz = y

Liczb¦zespolon¡postaciz = iy,gdziey 2 R \{ 0 } ,nazywamyczysto

urojon¡.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: