DWUWYMIAROWE ZMIENNE LOSOWE

Rozkład łączny pary zmiennych losowych

określonych na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych:

,  A  - dowolny podzbiór zbioru par     wartości zmiennych X, Y.

Definicja.  Dystrybuantą  zmiennej losowej nazywamy funkcję

,

      gdzie  

Twierdzenie. Łączny rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej określony jest jednoznacznie przez jej dystrybuantę.

Zmienne dyskretne

Funkcja prawdopodobieństwa ( łącznego ) dwuwymiarowej zmiennej losowej dyskretnej: 

.

Własności:

(i)      ,  dla dowolnej pary wartości ,

(ii)                     ,

(iii)                 , 

(iv)       .

Przykład. W każdym z dwóch etapów teleturnieju można otrzymać 0, 1, lub 2 punkty. Niech  zmienne losowe X, Y oznaczają liczby punktów uzyskane w etapie I i II, odpowiednio, przez losowo wybranego

uczestnika. Funkcję prawdopodobieństwa łącznego określa tabela:

Znaleźć:

(a)         

(b)         

(c)          .

(a)    =  1.  Stąd

= A  =  1 – ( 0,5 + 0,05 + 0,01 + 0,2 + 0,1 +

+ 0,06 + 0,02 + 0,03 ) =  1 – 0,97 = 0,03.

(b)         =

    =  0,01 + 0,06 + 0,03 = 0,1.

(c)   = =

            = =

            =  0,5 + 0,05 + 0,2 + 0,1 =  0,85.

Zmienne ciągłe

Zmienna losowa  ( jest dwuwymiarową ciągłą zmienną losową, jeśli jej łączny rozkład prawdopodo- bieństwa  określony jest przez funkcję gęstości łącznej

( łączną gęstość prawdopodobieństwa ), taką że

(i)                       

(ii)                   

(iii)               

W szczególności dla  :

= .

,  , .

Przykład. Zmienna losowa  ma gęstość prawdopodobieństwa

   gdy     .

Obliczyć

=  =

  =     

           =  ?

Rozkłady brzegowe

Niech będzie dwuwymiarową zmienną losową o rozkładzie prawdopodobieństwa określonym przez funkcję ( funkcja prawdopodobieństwa lub gęstość ). 

Rozkład brzegowy  =  rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X  lub zmiennej losowej Y.

(a)         dla dyskretnych zmiennych X, Y ,  brzegowe funkcje prawdopodobieństwa są postaci

(b)         dla ciągłych zmiennych X, Y  , brzegowe gęstości są postaci

.

D. (a)   =

              .

(b)    =  =

         .    Stąd

=  .

Przykład.  Dwuwymiarowa zmienna losowa  ma gęstość

     gdy 

Znaleźć gęstość zmiennej losowej X.

Niech  .

= 

           =

   =   .

   gdy    .

Gęstość zmiennej losowej Y  ma identyczną postać.

Rozkłady warunkowe

(a)         Niech będzie dyskretną zmienną losową mającą funkcję  prawdopodobieństwa .

Niech y – ustalone oraz .

Rozkład warunkowy zmiennej losowej  X pod warunkiem, że  Y = y określa warunkowa funkcja prawdopodobieństwa:

  =   ,  x – dowolna wartość zmiennej X.

  =  =

funkcja prawdopodobieństwa zmiennej X  pod warunkiem, że zmienna Y  przyjęła wartość y.

Analogicznie:

=    =  , gdzie.

Notacja:              

(b) Niech będzie ciągłą zmienną losową o łącznej gęstości  .

Niech y – ustalone oraz  . 

Warunkową gęstością prawdopodobieństwa zmiennej

...