podstawy matematyki finansowej.pdf

Podstawymatematyki nansowej

Om ó wimytutajpodstawowepojƒciamatematyki nansowej.Jesttodobremiejsce,gdy»za-

gadnieniatewi¡»¡siƒzci¡gami,wszczeg ó lno–cizci¡giemarytmetycznymigeometrycznym.

Om ó wimyzagadnienielokowaniapieniƒdzywbankuisp“atykredytu.Ograniczymysiƒdonaj-

prostszychsytuacji,gdyoprocentowanielokatylubkredytujeststa“e.

Procentprostyisk“adany

Napocz¡tekprzedstawimykilkade nicji:

procentprosty odsetkinaliczaneodkapita“ucopewienustalonyokresczasunies¡dotego

kapita“udopisywane,zatemzaka»dymrazemotrzymujemytylesamoodsetekistannaszych

oszczƒdno–citworzypostƒparytmetyczny.

procentsk“adany dokapita“us¡dopisywaneodsetkinaliczoneodkapita“u,azatemwna-

stƒpnymrazemodsetkiliczones¡odnowego,wiƒkszegokapita“u.Stannaszychoszczƒdno–ci

tworzypostƒpgeometryczny.

kapitalizacjaodsetek dopisanieodsetekdokapita“u;

stopanominalna stopaoprocentowaniawzglƒdemjednostkiczasu(najczƒ–ciej1roku)liczo-

natakjakby–myliczylizgodniezewzoremnaprocentprosty(czylibezuwzglƒdnieniakapita-

lizacjiodsetek).Je–liwci¡gurokuodsetkis¡naliczane n razy,zaka»dymrazemwwysoko–ci

q %,tostopanominalnawynosi p = nq .Gdycomiesi¡cnaliczanes¡odsetkiwwysoko–ci0 , 3%,

tostopanominalnawynosi12 · 0 , 3%=3 , 6%.Odwrotnie,je–listopanominalnawynosi4 , 8%a

odsetkis¡naliczanecodwamiesi¡ce,tozaka»dymrazembanknaliczaodsetkiwwysoko–ci

4 , 8%

6 =0 , 8%.

stopaefektywna rzeczywisty,procentowyprzyrostkapita“u(czylizuwzglƒdnieniemkapi-

talizacjiodsetek).

12 =1%odsetek,za–stopaefektywnawynosi(1+0 , 01) 12 12 , 68%.

Kilkawzor ó w

Niech p stopanominalna; p e stopaefektywna, n liczbakapitalizacjiwci¡gujednostkiczasu

(roku), t liczbalat, K t -kapita“po t latach.Wtedy

n razy

{

! n

100

K 1 =

···

! t · n

100

K t = K 0

! n

100

p e =100

− 1

Ciekawostka.Zauwa»my,cosiƒbƒdziedzia“o,gdykapitalizacjebƒd¡nastƒpowa“ycoraz

czƒ–ciej(czyli n zwiƒkszasiƒ).Rozwa»asiƒtak»ekapitalizacjƒci¡g“¡(odsetkis¡obliczaneidopi-

sywane nabie»¡co ).Poniewa»

1+ x n

n n !1

−−−! e x ,towtedymamy

100

K t = K 0 e t p 100

p e =100 h e p 100 − 1 i

Przyk“ad6.1.Je–lim ó wimy,»eoprocentowaniewskaliroku(rocznastopanominalna)wynosi

12%,akapitalizacjaodseteknastƒpujemiesiƒcznie,oznaczato,»ecomiesi¡cdokapita“ujest

dopisywane 12%

K 1 = K 0 e

Oczywi–cie,wewszystkichprzyk“adachizadaniachpor ó wnuj¡cychofertydw ó chbank ó wza-

k“adamy,»ewszelkieinneszczeg ó “yofertypozaoprocentowaniemikapitalizacj¡odsetek,s¡

identyczne.Jesttoza“o»eniesensownegdypor ó wnujemylokaty(czemu,taknaprawdƒs“u»¡

terozwa»ania),cho¢iwtymwypadkubankisiƒr ó »ni¡stopniemswobodywdysponowaniu

pieniƒdzmiikaramizazerwanielokaty(wcze–niejszewyp“acenieczƒ–cilubwszystkichpieniƒdzy).

Por ó wnaniekontosobistychjestdu»obardziejskomplikowanezewzglƒdunaichfunkcjƒ raczej

zarz¡dzaniapieniƒdzmini»oszczƒdzaniapieniƒdzy.Wprzypadkukontosobistychoprocentowa-

niezwyklemadrugorzƒdneznaczenie,wstosunkudokosztuprowadzeniatakiegokonta,kosztu

kartp“atniczych,dostƒpudobankomat ó w,op“atzaprzelewyiwieluinnychus“ugoferowanych

wramachkontaosobistego.

Przyk“ad6.2.Lokujemy10000z“nadwalatawbanku,kt ó ryoferujelokatƒzmiesiƒczn¡

kapitalizacj¡odsetekorocznejstopienominalnej6%.Jakibƒdzienaszzysk?

Rozwi¡zanie:Kapita“ K 0 =10000,stopanominalna p =6,kapitalizacjajestmiesiƒczna,czyli

mamy n =12kapitalizacjiwci¡guroku.Zatemzgodniezpowy»szymwzorem

K 2 =10000

1+ 6

100 · 12

=11271 , 60

Zatemzyskwynosi1271 , 61z“.

Przyk“ad6.3.Jakiby“bynaszzysk,gdybykapitalizacjanastƒpowa“arazwroku

Rozwi¡zanie:Wstosunkudopoprzedniegozadaniazmianieulegajedynieliczbakapitalizacji

tutaj n =1(jednakapitalizacjarocznie).St¡d

K 2 =10000

1+ 6

100

=11236

Zatemzyskwynosi1236 , 00z“.

Przyk“ad6.4.BankZbbierajSAoferujelokatƒostopienominalnej24%imiesiƒcznejkapitali-

zacjiodsetek.BankLeppiejSAoferujelokatƒostopienominalnej25%ip ó “rocznejkapitalizacji

odsetek.Lokatakt ó regozbank ó wjestlepsza(zak“adamyoczywi–cie,»epozosta“ewarunkiobu

lokat naprzyk“adop“atyzaprowadzenie s¡takiesame)?

Rozwi¡zanie:Policzymystopyefektywne:dlabankuZbbierajSA:

1+ 24

12 · 100

p e =100

− 1

=26 , 82

DlabankuLeppiejSA:

1+ 25

2 · 100

p e =100

− 1

=26 , 56

Wniosek:LepszymbankiemjestZbbierajSA.

Sp“atakredytu.

Chcemyzaci¡gn¡¢kredytwwysoko–ci K z“.Trzebabƒdziegosp“aci¢wratach.Mo»emyzada¢

sobiedwapytania:(a)jakabƒdziewysoko–¢rat,kt ó rebƒdziemyp“aci¢,gdywiemyjakszybko

chcemysp“aci¢kredyt;(b)jakd“ugobƒdziemysp“aca¢kredytwiedz¡c,»emo»emylubchcemy

p“aci¢ratywwysoko–ciniewiƒkszejni» b ?

Zak“adamy,»ekredytjestoprocentowany p %wskaliroku,odsetkis¡doliczanecomiesi¡c

wwysoko–ci q = p

1200 (takajestzwykleproceduraprzy normalnych po»yczkachbankowychlub

kredytach natomiastniekt ó reinstytucje nansoweoferuj¡po»yczkisp“acanecotydzie«,wtedy

oczywi–cie q = p/ 5200iodsetkis¡doliczanecotydzie«,arozumowanieprzedstawioneponi»ej

pozostajeprawiebezzmian,zwyj¡tkiem,tego»eratysp“acamycotydzie«aniecomiesi¡c).

Wrozwa»aniachprzyjmujemysta“eoprocentowaniekredytu.Wrzeczywisto–cioprocentowanie

kredyt ó wd“ugookresowych(np.mieszkaniowych)jestzwyklezmienneizale»yodst ó pprocento-

wych.Poniewa»niejeste–mywstanieprzewidzie¢(wd“u»szejperspektywie)oilewzrosn¡/spadn¡

stopyprocentowe,awzwi¡zkuztymjaksiƒzmienioprocentowanie,nawetbankidokonuj¡wyli-

czeniarat,zak“adaj¡csta“eoprocentowanie.Wprzypadkujegozmiany,nale»yponowniedokona¢

oblicze«.

Ratyr ó wne.Niech K i oznaczawysoko–¢zad“u»enia(czylipozosta“egodosp“atykredytu)po

i -tymmiesi¡cuodzaci¡gniƒciakredytu.Napocz¡tkumiesi¡ca i -tgodozad“u»enia,kt ó rema-

mydoliczanes¡odsetkiwwysoko–ci q ,czyli qK i − 1 iodejmowanajestsp“aconaprzeznasrata

wwysoko–ci b .Pozostajenamdosp“aty K i = K i − 1 + qK i − 1 − b .St¡dmamy:

K 0 = K

K 1 = K (1+ q ) − b

K 2 = K (1+ q ) − b (1+ q ) − b = K (1+ q ) 2 − b ((1+ q )+1)

K (1+ q ) − b (1+ q ) − b

K 3 =

(1+ q ) − b = K (1+ q ) 2 − b ((1+ q ) 2 +(1+ q )+1)

. . .

K n = K (1+ q ) n − b

(1+ q ) n − 1 +(1+ q ) n − 2 + ··· +(1+ q ) 2 +(1+ q )+1

Zatemotrzymujemy,korzystaj¡czewzorunasumƒ n wyraz ó wci¡gugeometrycznego:

K n = K (1+ q ) n − b (1+ q ) n − 1

q = 1

b − ( b − Kq )(1+ q ) n

(6.1)

Zauwa»myodrazu,»eabysp“aci¢kredyt b>Kq ,czylisp“acanaratamusiby¢wiƒkszaod

naliczanychodsetek.Mo»emyterazodpowiedzie¢napostawionewy»ejpytania.(a)Znamyliczbƒ

rat n ichcemywyznaczy¢wysoko–¢rat b .Oczywi–cie,gdysp“acimykredyt,to K n =0. Š atwiej

bƒdzienamskorzysta¢zpierwszegozwyra»e«(6.1)na K n ,gdy» b wystƒpujetamtylkowjednym

miejscu.Prosteprzekszta“ceniedajenamodpowied„:

b = K q (1+ q ) n

(1+ q ) n − 1

(6.2)

Zdrugiejstrony,je–liznamywysoko–¢raty,jak¡chcemysp“aca¢(oczywi–cie,jakzauwa»yli–my

wy»ej b>Kq ),tochcemywyznaczy¢ n .Tymrazemu»yjemydrugiegozwyra»e«(6.1)na K n ,

przyr ó wnuj¡cjedozera(bokredytmaby¢sp“acony).Mno»¡cstronamiprzez q pozbywamysiƒ

1 /q stoj¡cegoprzednawiasemkwadratowym,zatemwystarczyprzyr ó wna¢dozerawyra»enie

stoj¡cewnawiasiekwadratowym.Przekszta“caj¡cje:

(1+ q ) n = b

b − Kq

ln[(1+ q ) n ]=ln

n ln(1+ q )=ln b − ln( b − Kq )

n = ln b − ln( b − Kq )

ln(1+ q )

Poniewa»musimysp“aci¢ca“kowit¡liczbƒrat,nale»yjakotƒliczbƒprzyj¡¢najmniejsz¡liczbƒ

ca“kowit¡wiƒksz¡lubr ó wn¡odwyznaczonej,czylikredytzostaniesp“aconygdy:

& ln b − ln( b − Kq )

ln(1+ q )

n =

, (6.3)

gdzie d x e oznaczanajmniejsz¡liczbƒca“kowit¡wiƒksz¡lubr ó wn¡ x .

Zauwa»my,»esp“acaj¡ckredytnaszezad“u»eniewobecbankumaleje,azatemmalej¡tak»e

naliczaneodsetkiodkredytu.Poniewa»p“acimyr ó wneraty,acomiesiƒczneodsetkis¡coraz

mniejsze,tonapocz¡tkusp“atykredytu,g“ ó wn¡cze–¢ratystanowi¡odsetkiisp“acamyjedynie

ma“¡czƒ–¢kapita“u.Wrazzup“ywemczasu,proporcjasiƒzmienia wka»dejkolejnejracie

sp“acanykapita“stanowicorazwiƒksz¡czƒ–¢.

Przyk“ad6.5.Chcemyzaci¡gn¡¢kredytwwysoko–ci150000z“nazakupnowegomieszkania.

Oprocentowaniekredytuwynosi6%.

a)Jak¡ratƒbƒdziemymusielip“aci¢comiesi¡cje–lichcemysp“aci¢kredytw20lat.

b)Jakd“ugobƒdziemysp“aca¢tenkredyt,je–licomiesi¡cbƒdziemyp“aci¢1000z“aile1150z“.

Rozwi¡zanie:Zauwa»my,»e q = 6

b =150000 0 , 005 · (1 , 005) 240

(1 , 005) 240 − 1 =1074 , 65

b)Mo»emy“atwopoliczy¢,»e Kq =750.Rozwa»amydwaprzypadki:Gdy b =1000,to

podstawiaj¡cdanedowzoru(6.3)otrzymujemy:

& ln1000 − ln(1000 − 750)

ln1 , 005

n =

= d 277 , 95 e =278 .

Zatemkredytsp“acimypo23latachidw ó chmiesi¡cach.

Gdy b =1150,topodstawiaj¡cdanedowzoru(6.3)otrzymujemy:

& ln1150 − ln(1150 − 750)

ln1 , 005

n =

= d 211 , 74 e =212 .

Kredytsp“acimypo17latachi8miesi¡cach.

Ratymalej¡ceBankioferuj¡tak»emo»liwo–¢sp“atykredytuwratachmalej¡cych.Polegaj¡

onenatym,»ecomiesi¡csp“acamytak¡sam¡czƒ–¢naszegozad“u»eniapluswszystkienaliczone

odsetki.Poniewa»kapita“systematyczniemaleje,odsetkinaliczaneodniegos¡corazmniejsze

iratytak»emalej¡.Korzystaj¡czwprowadzonychoznacze«,wmiesi¡cu i dozad“u»eniadoliczane

s¡odsetkiwwysoko–ci qK i − 1 isp“acamyratƒwwysoko–ci b i terazratazmieniasiƒwzale»no–ci

odmiesi¡caisk“adasiƒznaliczonychodsetek qK i − 1 ,kt ó resp“acamyiczƒ–cikapita“u K n ,czyli

b i = qK i − 1 + K n .Zatem

K i = K i − 1 + qK i − 1 − b i = K i − 1 + qK i − 1 − qK i − 1 − K

n = K i − 1 − K

n .

Š atwozauwa»y¢,»e

K i − 1 = K − K i

n = K

1 − i

b i = qK i − 1 + K

1 − i − 1

+ 1

n = K

(6.4)

1200 =0 , 005,natomiast K =150000.

a)Wtymprzypadku n =20 · 12=240.Podstawiaj¡cdanedowzoru(6.2)otrzymujemy

Oczywistejest,»esp“atakredytunast¡pipo n ratach.Abyustali¢wysoko–¢rat,musimynajpierw

wyliczy¢jak¡czƒ–¢kapita“ubƒdziemysp“aca¢zaka»dymrazem.Gdywiemyileratbƒdziemy

p“aci¢,jesttoprosteiliczysiƒdziel¡ckapita“przezliczbƒrat.Gdychcemyp“aci¢ratynie

wiƒkszeni» b ,tomusimyustali¢wysoko–¢najwiƒkszejraty pierwszej.Terazmo»emywyliczy¢

liczbƒrat

q + 1

) n = K

b − qK

b = b 1 = K

(6.5)

kt ó r¡przyjdzienamzap“aci¢,anastƒpniewysoko–¢dowolnejraty.

Przyk“ad6.6.Rozwa»mytensamkredytcowprzyk“adzie5.

a)Policzmy,jakabƒdziewysoko–¢1iostatniejraty,gdybƒdziemytenkredytsp“aca¢przez20

lat?Jakbƒdzieratazap“aconapo10latach,czylionumerze i =121?Kt ó rarata,jakopierwsza

bƒdzieni»szaod1074 , 65,czyliodkiedybƒdziemyp“aci¢ratymniejszeni»przyratachr ó wnych?

b)Jakd“ugobƒdziemysp“aca¢kredytgdychcemybynajwy»szaratanieprzekracza“a1000z“,

ajakd“ugogdynajwy»szaratamanieprzekracza¢1150z“.Jakabƒdziewysoko–¢ostatniejraty

wka»dymztychdw ó chprzypadk ó w?

Rozwi¡zanie:a)Zauwa»my,»e n =240,wzwi¡zkuztym K/n =625.Korzystaj¡czewzo-

ru(6.4)dla i =1 , 240 , 121otrzymujemyodpowiednio:

b 1 =150000

0 , 005+ 1

240

=1375

0 , 005

240 + 1

b 240 =150000

=628 , 13

240

1 − 120

240

+ 1

240

b 121 =150000

0 , 005

=1000 .

Pierwszaratawynosi1375z“,ostatnia628 , 13za–po10latach(czyli121rata)1000z“.

Policzmyterazkiedyratystan¡siƒmniejszeni» b =1075 , 65.Poniewa»ratys¡malej¡ce

wystarczyznale„¢pierwsz¡ratƒniewiƒksz¡ni» b .Przekszta“camywz ó r(6.4)

1 − 1

K − 1

1 − 1

0 , 005

150000 − 1

i = n

+1=240

+1=87 , 112

240

St¡dwynika,»eju»98ratabƒdzieni»szani»wszystkieratyprzysp“aciekredyturatamir ó wnymi.

Rzeczywi–cie,licz¡cwysoko–¢rat97i98otrzymujemyodpowiednio1075z“i1071 , 88z“.

b)Tymrazemskorzystamyzewzoru(6.5).Zauwa»my,»eprzynajwy»szejraciewwysoko–ci

1000z“mamy b − Kq =250,natomiastgdyzdecydujemysiƒnapierwsz¡,najwy»sz¡ratƒwwy-

soko–ci1150z“,to b − Kq =400. Š atwoterazwyliczy¢liczbƒrat,potrzebnychdosp“atykredytu

dziel¡cwysoko–¢kredytuprzezobliczon¡wcze–niejliczbƒ czyliprzezwielko–¢pojedynczej

sp“atykapita“u.Otrzymujemy,wprzypadku1000z“ n =600,cooznacza,»ekredytbƒdziemy

sp“aca¢50lat!!Wprzypadkupierwszejratywwysoko–ci1150z“dostajemy n =375,czylikredyt

bƒdziemysp“aca¢31lati3miesi¡ce.Wielko–¢ostatniejratybƒdzie,odpowiednio251 , 25z“i402z“.

Proponujƒpor ó wna¢uzyskanetuwynikizwynikamizprzyk“adu5.

Zauwa»my,»esp“acaj¡ckredytratamimalej¡cymi,wefekcie,zap“acimybankowimniejod-

setek.Zdrugiejstrony,warto–¢pieni¡dzaspada(in acja).Wefekciekosztkredytuprzyobu

sposobachsp“atyjestpodobny.

Czyzatemwartowybra¢ratymalej¡ce?Czasemtak,czasemnie.Wszystkozale»yodinnych

czynnik ó w,naprzyk“admo»liwo–cinadp“acania/wcze–niejszejsp“atykredytu,obecnejiprzewi-

dywanejsytuacji nansowej.

1074 , 65

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: