AdministracjaMPW2.pdf

dr hab. H. Gacki

MateriałypomocniczeWykład2

Podstawystatystyki,IrokAdministracja201011

redni¡harmoniczn¡ h , ró»nych od zera liczb x 1 ,x 2 ,x 3 ,...,x n , nazy-

wamy odwrotno±¢ ±redniej arytmetycznej odwrotno±ci tych liczb

X 1

x i

! − 1

h =

x 1 +

x 2 + ... +

x n

redniaharmoniczna g z szeregów rozdzielczych okre±lona jest wzorem

X n i

x i

! − 1

h =

x 1 + n 2

x 2 + ... + n k

x k

redni¡harmoniczn¡stosuje si¦ wówczas, kiedy warto±ci zmiennej podane

s¡ w jednostkach wzgl¦dnych

Przykład1.Pojazd przebył drog¦ zło»on¡ z trzech odcinków, ka»dy o długo-

±ciS. Pierwszy odcinek zestał¡pr¦dko±ci¡ v 1 = 50 km h ,drugizestał¡

pr¦dko±ci¡ v 2 = 60 km h ,trzecizestał¡pr¦dko±ci¡ v 3 = 70 km h . Z jak¡

stał¡ pr¦dko±ci¡ powinien porusza¢ si¦ pojazd, aby cał¡ drog¦ 3Sprzeby¢ w

tym samym czasie ? Rozwi¡zuj¡c odpowiednie równanie poka», »e±redni¡

pr¦dko±¢nie powinno wyznacza¢ si¦ z ±redniej arytmetycznej. Podobnie jak

poprzednio otrzymujemy równanie postaci:

v 1

+ S

v 2

+ S

v 3

3 • S

v =

v 2 + 1 v 3

±redniapr¦dko±¢ v jest wi¦c±redni¡harmoniczn¡. ( v = 58 . 88 km h ).

v 1 +

n 1

Histogramdlaszeregupunktowego

Zadanie1.Rozkład liczby ogłosze« zamieszczonych w lokalnej gazecie w

ci¡gu ostatnich 100 dni przedstawia poni»sza tabelka:

x i 0 1 2 3 4 5

n i 10 20 30 20 10 10

p i = ! i 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1

Narysuj histogram cz¦sto±ci dla liczby ogłosze«. Narysuj wykres dystry-

buanty i zinterpretuj skoki na wykresie.

Histogramliczebno±ciszereguprzedziałowego.

Histogramcz¦sto±ciszereguprzedziałowegoi

łamanaliczebno±ci

Histogramliczebno±ciskumulowanejszereguprzedziałowegoi

łamanaliczebno±ciskumulowanej.

u = x − x

Warto±ci zestandaryzowaneuwskazuj¡, o ileodchyle«standardowych

ró»ni¡ si¦ warto±ci cechy od ±redniej arytmetycznej. Dla ka»dego zbioru da-

nych x zbiór warto±ci zestandaryzowanychuspełnia warunki:

u = 0

s u = 1

Warto±ci zestandaryzowane wskazuj¡ na nietypowe warto±ci cechy w zbiorze,

zwanewarto±ciamiizolowanymi. Przyjmuje si¦, za nietypowe ju» takie

Niech x b¦dzie obserwacj¡ nale»¡c¡ do zbioru danych o ±redniej x i od-

chyleniu standardowym s .Warto±ci¡standaryzowan¡odpowiadaj¡ca ob-

serwacji x jest warto±¢

warto±ci, którym odpowiadaj¡ warto±ci zestandaryzowane | u | > 3, czyli war-

to±ci ró»ni¡ce si¦ od ±redniej o wi¦cej ni» trzy odchylenia standardowe. Fakt

ten wynika z tzw.prawatrzechodchyle«. W przypadku wyst¡pienia w

zbiorze danych warto±ci, dla których jest | u | > 3, zaleca si¦ sprawdzenia, czy

nie mamy do czynienia z bł¦dem obserwacji.

Przykład2.Zakładamy, »e rozkład struktury gruntów (powierzchnia) od-

danych we wieczyste u»ytkowanie ma rozkład normalny. Dokonano n = 100

pomiarów losowo wybranych powierzchni i otrzymano nast¦puj¡cy szereg

Powierzchnia gruntów g. n i

0 - 20

20 - 40

40 - 60

60 - 80

80 - 100

Razem

100

Korzystajac z prawa trzech odchyle« dla rozkładu normalnego odpowiedz

na pytanie czy która± z obserwacji mo»e by¢ obarczona błedem pomiarowym

Wyznaczamy warto±ci zestandaryzowane X tzn.

U i = X i − ¯ X

S X ,

budujac tablice pomocnicza:

Stawka g. n i x i n i x i ( x i − x ) 2 n i U i = X i − ¯ X

S X

0 - 20 10 10 100 16000

-1.8257

20 - 40 20 30 600 800

-0.9129

40 - 60 40 50 2000

60 - 80 20 70 1400 800

0.9129

80 - 100 10 90 900 16000

1.8257

Razem 100

5000 48000

Zprawatrzechodchyle«dlarozkładunormalnegowynika, »e jest

nieprawdopodobneaby warto±ci zestandaryzowane le»ały poza przedzia-

łem [ − 3 , 3]. Zatem nie mamy podstaw twierdzi¢, »e pomiary te sa obarczona

błedem pomiarowym.

Prawon-odchyle«

W przypadku obserwacji (pomiarów) cechy w populacji o nieznanym roz-

kładzie:

co najmniej 75% otrzymanych pomiarów nale»y do przedziału

( m − 2 ,m + 2 )

co najmniej 89% otrzymanych pomiarów nale»y do przedziału

( m − 3 ,m + 3 )

co najmniej 94% otrzymanych pomiarów powinno nale»e¢ do przedziału ( m −

4 ,m + 4 ) .

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: