Miś B. - Nowe Ślady Pitagorasa.pdf - Wiedza - stansad

2010

Nowe Ślady Pitagorasa

Bogdan Miś

Studio Opinii

Bogdan Miś: Nowe ślady Pitagorasa

Bogdan Miś

Nowe ślady Pitagorasa

Wstęp

Wiele, wiele lat temu, jako zupełnie młody chłopak zaczytywałem się dwiema wspaniałymi książkami

pewnego znakomitego popularyzatora matematyki, który żył na przełomie XIX i XX stulecia. Te książki

to „Lilavati” i „Śladami Pitagorasa 1 ” pióra inż. Szczepana Jeleńskiego 2 ; wydawano je u nas

kilkakrotnie, ale już od dość dawna nie są w zasadzie dostępne młodym ludziom i nauczycielom

matematyki, którzy znaleźliby w nich mnóstwo zadań i problemów, mogących doskonale ubarwić

nudnawe zazwyczaj dla większości uczniów lekcje matematyki.

W moim przypadku książki te w istotny sposób przyczyniły się do wyboru kierunku studiów.

Wybrałem właśnie matematykę i mimo wykonywania potem różnych zawodów – w szczególności

pięknego zawodu dziennikarskiego – nigdy dokonanego wyboru nie żałowałem. W ogóle, jeśli jakiejś

decyzji życiowej kiedykolwiek żałowałem, to tej, że nie poświęciłem się wyłącznie matematyce…

Ale to już całkiem inna historia.

Kilka lat po ukończeniu studiów zacząłem współpracę z polską telewizją. Przygoda ta zaczęła się od

udziału w teleturnieju „21 pytań”, w którym drużyna dziennikarzy walczyła co tydzień z drużyną

matematyków; kilka razy miałem zaszczyt być członkiem tej drugiej. Potem zostałem laureatem

konkursu na prezenterów telewizyjnych i kierownik redakcji teleturniejów, niezmiernie wówczas –

i zasłużenie – popularny dziennikarz, Ryszard Serafinowicz (z którym zdążyłem się potem serdecznie

zaprzyjaźnić), zaproponował mi prowadzenie i przygotowywanie teleturnieju, poświęconego

matematyce. Nazwaliśmy go – oczywiście – „Śladami Pitagorasa”. Pojawiał się ten program na

antenie TVP co miesiąc w każdy trzeci piątek po południu przez kilka lat. Nieskromnie mówiąc, zdobył

pewną popularność.

Od tamtych lat zbierałem pilnie różne ciekawostki matematyczne – mniej lub bardziej zwariowane

twierdzenia, zaskakujące fakty, niezwykłe zadania, sprzeczne z intuicją i tzw. zdrowym rozsądkiem

teorie i rozwiązania. Uzbierało się tego sporo – już bym dziś nie umiał powiedzieć skąd która

pochodzi. Najpierw wynotowywałem je z gazet i książek, ostatnimi laty znakomitym źródłem okazał

się Internet. O matematyce sam napisałem także wiele artykułów w pismach popularnonaukowych.

A oto wybór tego wszystkiego. Podzielone są na trzy kategorie – łatwe, średnie i trudniejsze.

Oczywiście, klasyfikacja ta jest silnie subiektywna; z grubsza biorąc, chciałbym, aby fragmenty łatwe

były zrozumiałe i dostępne (w sensie używanego w nich aparatu matematycznego) dla gimnazjalisty,

średnie – dla typowego licealisty, trudniejsze zaś dla tych już bardziej zainteresowanych matematyką.

Muszę zastrzec, że porządku w tej książce nie ma po prostu żadnego. Teoria liczb sąsiaduje tu z teorią

mnogości, topologia z analizą, prosta arytmetyka ze skomplikowanymi pojęciami geometrii,

twierdzenia i pojęcia skrajnie trudne z banalnymi; a wszystko to razem – ze zwykłym żartem i tzw.

matematyką rozrywkową, na dodatek okraszoną anegdotą o matematykach i zwykłą informacją

biograficzną. Jest to więc klasyczny – niegdyś popularny, dziś zaś chyba kompletnie niemodny – las

rzeczy , silva rerum . Mam nadzieję, że ta forma literacka jest do przyjęcia i obecnie, w dobie

pośpiechu i płytkości wiedzy; a może zresztą dziś specjalnie?

2 | S t r o n a

Bogdan Miś: Nowe ślady Pitagorasa

Przy okazji: jest więc oczywiste, że nie ma żadnego obowiązku ani potrzeby czytania tej książki „po

kolei”, strona po stronie. Także przy okazji chcę powiedzieć bardzo wyraźnie: ta książka nie służy do

nauki matematyki. To nie jest podręcznik, zbiorek zadań ani samouczek! Przeczytawszy ją w całości –

lub częściowo – będziecie mieli po prostu troszkę więcej od innych pojęcia czym matematyka jest. Jak

mawiał jeden z moich wielkich nauczycieli, profesor Krzysztof Maurin, zaczynając swoje piekielnie

trudne wykłady może wasza ogólna kultura matematyczna odrobinkę wzrośnie . Tylko tyle – i aż tyle.

Od czasów Jeleńskiego matematyka bardzo się rozwinęła. Powstały setki i tysiące nowych pojęć

i twierdzeń, a także całych teorii. Dokonano zdumiewających odkryć o niebywałej doniosłości

praktycznej. O wielu z nich w szkole średniej nie mówi się zresztą ani słowa. Zmieniło się też

podejście do matematyki; przestano ją uważać za opis rzeczywistości fizycznej, zaczęto zaś w niej

widzieć po prostu uniwersalny język nauki, którego podstawy musi dziś znać i rozumieć nie tylko sam

matematyk czy fizyk, ale również biolog, historyk czy językoznawca. Z tej przyczyny niniejsza książka

nie jest tylko zbiorem prostych ciekawostek i z całą pewnością do jej zrozumienia trzeba –

przynajmniej w wielu miejscach – znacznie większej kultury matematycznej, niż ta, której wymagał od

swoich czytelników Jeleński, który w zasadzie zakładał u odbiorcy – wedle dzisiejszego spojrzenia –

posiadanie wiedzy na poziomie szkoły podstawowej. Mam nadzieję, że sympatyków matematyki to

nie zniechęci. A może nawet przeciwnie?

W odróżnieniu od Jeleńskiego, który mógł założyć u czytelnika znajomość podstawowych tylko praw

matematyki (w wypadku jego książek chodziło zresztą raczej wyłącznie o arytmetykę i prostą

geometrię) – ja czasami muszę zrobić wypad w kierunku teorii bardziej złożonych, niekiedy

uchodzących za dość trudne pojęciowo. Staram się za każdym razem robić to maksymalnie prosto i

dostępnie. Stale mam na myśli słynne zdanie, przypisywane wielkiemu Albertowi Einsteinowi:

podobno rachunku całkowego można nauczyć nawet małpę; wszystko zależy od nauczyciela. A co

dopiero człowieka zainteresowanego tematem, dla którego przeznaczam niniejszą książkę.

Jeśli więc będzie w niej coś niezrozumiałego – będzie to wyłącznie wina nauczyciela, czyli moja. Ale

jeśli napotkacie taki fragment – proszę, nie poddawajcie się od razu. Przeczytajcie go raz jeszcze. I

może jeszcze raz…

Studenci matematyki znają doskonale to niezbyt przyjemne uczucie, kiedy przychodzi się po raz

pierwszy na jakieś seminarium – a potem po raz drugi, i trzeci, i czwarty – i człowiek nic, ale to nic, nie

rozumie z tego, co gadają ci przy tablicy. I nagle, w drugim czy trzecim miesiącu ulegania rozpaczy

nad własną nicością intelektualną, dostrzegasz z zachwytem, że w gruncie rzeczy wszystko jest jasne i

banalnie proste…

Cieszyłbym się, gdyby podobny zachwyt stał się udziałem Czytelników „Nowych Śladów Pitagorasa”

I jeszcze jedno: chciałbym wspomnieć w tym miejscu z szacunkiem i wielką sympatią niektórych z

moich Nauczycieli, którym – jeśli idzie o zachwyt matematyką i satysfakcję, płynącą z jej znajomości –

zawdzięczam wszystko. Są to

• Zofia Fedorowicz , nauczycielka matematyki w I LO im. Tadeusza Kościuszki w Pruszkowie,

wychowawca wielu profesorów wyższych uczelni;

• Leon Ostrowski , nauczyciel matematyki w wielu polskich szkołach, wychowawca kilkunastu

laureatów Olimpiad Matematycznych, słynny „Krwawy Leon”, którego miałem zaszczyt i

szczęście nazywać wujem

oraz profesorowie Uniwersytetu Warszawskiego, światowej klasy matematycy i wspaniali nauczyciele

akademiccy, którzy prócz podstaw wiedzy matematycznej przekazali mi najważniejszą prawdę: że

3 | S t r o n a

Bogdan Miś: Nowe ślady Pitagorasa

nauka musi być demokratyczna i pełna przyjaźni – a także radości i żartu – w relacjach Mistrz-uczeń;

byli to:

• Karol Borsuk

• Andrzej Mostowski

• Helena Rasiowa

• Stanisław Mazur

• Kazimierz Kuratowski

• Hanna Szmuszkowicz

• Krzysztof Maurin

• Roman Sikorski

• Marek Fisz

Ich podpisy w moim indeksie uniwersyteckim są dla mnie drogą pamiątką; oceny, które uzyskałem od

nich na zdawanych egzaminach cenię zaś wyżej, niż wszelkie dyplomy i zaszczyty. Niektórzy mówią,

że trójka z równań różniczkowych od Maurina z lat pięćdziesiątych, to więcej, niż dzisiejszy doktorat

w jakiejś prowincjonalnej uczelni; myślę, że mają sporo racji.

Wielkim dla mnie wyróżnieniem było to, że po ukończeniu studiów miałem zaszczyt być asystentem

prof. Mazura i prof. Rasiowej.

Autor

Oznaczenia problemów

* łatwe

** średnie

*** trudniejsze

4 | S t r o n a

Bogdan Miś: Nowe ślady Pitagorasa

** Jak się buduje liczby?

Wybitny angielski filozof, logik i matematyk Bertrand Russell 3 (1872-1970) powiedział: kiedy myślę o

liczbie dwa, głębia abstrakcji tego pojęcia przyprawia mnie o zawrót głowy . Wielki matematyk

niemiecki, Leopold Kronecker 4 (1823-1891), zasłynął - między innymi - zdaniem: dobry Bóg stworzył

liczby naturalne, reszta jest dziełem człowieka.

Rzeczywiście - wiemy, o czym mówimy, gdy prosimy o dwa jabłka. Ale samo dwa ? Konia z rzędem

temu, kto nie będąc zawodowym matematykiem, potrafi dać sobie radę z definicją choćby

najprostszych liczb (naturalnych, jak mówią matematycy, mając na myśli którąś z ciągu 1, 2, 3,...).

Kronecker wiedział, że jest to trudne zadanie. Trudniejsze niż określenie liczby całkowitej (czyli jednej

ze zbioru 0, ± 1, ± 2, ± 3,...), gdy liczby naturalne mamy do dyspozycji. Nawet trudniejsze niż

określenie liczby wymiernej (czyli ułamka a/b , gdzie a i b oznaczają liczby całkowite i b nie jest równe

zeru); bo to też potrafimy zrobić, jeśli tylko wiemy, czym jest liczba naturalna.

Trochę kłopotu jest z liczbami rzeczywistymi, których zbiór powstaje przez dołączenie do zbioru liczb

wymiernych jeszcze mnóstwa liczb niewymiernych (ich przykładami mogą być pierwiastek

kwadratowy z dwóch i liczba , ale jest ich znacznie, znacznie więcej, i wiele z nich jest naprawdę

„cudacznych”).

Z tym też damy sobie jednak radę (dziś umiemy to zrobić nawet na wiele sposobów), choć musimy

już wyjść poza cztery działania zwykłej arytmetyki. Dla odmiany następny krok – skonstruowanie

precyzyjnej definicji liczby zespolonej (czyli takiej, która podniesiona do kwadratu może dać liczbę

ujemną) jest znowu technicznie dość łatwe – mimo że liczby zespolone wydają się laikom czymś

zupełnie dziwnym i bardzo długo uważano je za zupełnie abstrakcyjną zabawkę nieco zwariowanych

matematyków.

Dalsze uogólnianie pojęcia liczby nie ma sensu. Nie da się skonstruować czegoś (pomijając fakt, że nie

ma takiej potrzeby), co by było ogólniejsze od liczby zespolonej i zachowywało się „jak na liczbę

przystało”. Ściśle mówiąc, da się jeszcze określić coś, co nazywamy kwaternionami , ale już na

przykład ich mnożenie nie jest przemienne, więc jako liczby kwaterniony są – powiedzmy – mocno

kulawe.

No tak, ale kilkaset lat temu nie bardzo nawet wiedziano, co zrobić z liczbami całkowitymi ujemnymi.

Ówcześni uczeni niezbyt mieli ochotę uwierzyć w ich realne istnienie (cokolwiek by to słowo miało

znaczyć...); dopiero praktyczna uwaga, że mają one bardzo łatwą interpretację w życiu codziennym

przy opisie na przykład długów czy temperatur mniejszych od zera, nadało im sens i prawo

używalności. Jeszcze dawniej - bo w szkole słynnego Pitagorasa (Grecja, V wiek p.n.e.), spostrzeżono,

że przekątna kwadratu jest liczbą niewymierną. Tak na marginesie tego odkrycia; legenda głosi, że

ten z pitagorejczyków, który go dokonał, został natychmiast przez swoich kolegów zgładzony. Uznali

oni, że istnienie odcinków, które – w świetle ówczesnych pojęć – w ogóle nie mają sensownej

długości, jest faktem tak drastycznym, że należy to natychmiast całkowicie i skutecznie utajnić.

Już w czasach nowożytnych okazało się, że istnieją bardzo „przyzwoite” równania algebraiczne

stopnia trzeciego, które mają „porządne” rzeczywiste pierwiastki - a jedynym sposobem na

wyliczenie tych pierwiastków jest taki algorytm, w trakcie realizacji którego nie da się uniknąć

wyciągania pierwiastków kwadratowych... z liczb ujemnych. Był to dla szesnastowiecznych

matematyków szok, uznanie bowiem „legalności” czegoś takiego, co podniesione do kwadratu daje

liczbę mniejszą od zera – wydawało im się przerażające. A bez tego absolutnie przepis nie działa!

5 | S t r o n a

Miś B. - Nowe Ślady Pitagorasa.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: