TSiP nr 04 - 0A - wstęp do układów dwuwymiarowych.pdf

(133 KB) Pobierz
Ćwiczenie 3
Płaski stan naprężeń (PSN) i płaski stan odkształceń (PSO)
Nowe oznaczenia osi układu współrzędnych: 123
xx x
,,
(odrzucamy oznaczenia
xyz ze względu na notację tensorową – indeksy 1,2,3!)
,,
2 σ
PSN
PSO
x
x
2 ε
1 σ
dx
2
1 σ
εε
1 ε
12
21
x
x
x
x
dx
1
Płaski stan naprężeń:
Macierz naprężeń:
σσ
σσσ
0
0
0 00
σ
0
000
0
σ
00 0
0
0
11
12
11
13
=
lub
σ
=
lub
σ σσ
σσ
=
21
22
22
23
σ
σ
31
33
32
33
przy czym kolejno:
σσ
=
lub
σσ
=
lub
σσ
=
12
21
13
31
23
32
→ zależnie od oznaczenia osi
Płaski stan odkształceń:
Macierz małych odkształceń:
εε
εεε
0
0
0 00
ε
0
000
0
ε
00 0
0
0
11
12
11
13
=
lub
ε
=
lub
ε εε
εε
=
21
22
22
23
ε
ε
31
33
32
33
przy czym kolejno:
εε
=
lub
εε
=
lub
εε
=
12
21
13
31
23
32
→ zależnie od oznaczenia osi
Uogólnione prawo Hooke’a
( )
→ zależność
ε  zapisana na podstawie „myślowych doświadczeń”
dla materiału izotropowego opisanego stałymi:
→ E [MPa] – moduł Younga
→ ν [–] – współczynnik Poissona
E
→
G
=
[MPa]
(
)
21
+
ν
Uogólnione prawo Hooke’a:
(
1
E
)
ε
=
σ νσ σ
−
+
11
11
22
33
1
E
(
)
ε
=
σ νσ σ
−
+
22
22
11
33
1
E
(
)
ε
=
σ νσ σ
−
+
33
33
11
22
σ
σ
σ
εε
=
=
εε
, =
εε
=
,
=
=
12
13
23
12
21
13
31
23
32
2
G
2
G
2
G
1
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 2 • KMBiM WILiŚ PG
1078643642.087.png 1078643642.098.png 1078643642.108.png 1078643642.119.png 1078643642.001.png 1078643642.012.png 1078643642.023.png 1078643642.033.png 1078643642.042.png 1078643642.043.png 1078643642.044.png 1078643642.045.png 1078643642.046.png 1078643642.047.png 1078643642.048.png 1078643642.049.png 1078643642.050.png 1078643642.051.png 1078643642.052.png 1078643642.053.png 1078643642.054.png 1078643642.055.png 1078643642.056.png 1078643642.057.png 1078643642.058.png 1078643642.059.png 1078643642.060.png 1078643642.061.png 1078643642.062.png 1078643642.063.png 1078643642.064.png
 
→ związki odwrotne ( )
ε  uzyskamy rozwiązując powyższy układ równań względem składowych naprężeń:
(
E
ν
)
σ
=
ε
+
εεε
++
,
σσ ε ε
=
2
GG
=
=
11
11
11
22
33
12
21
12
21
1
+
ν
12
−
ν
E
ν
(
)
σ
=
ε
+
εεε
++
,
σσ ε ε
=
2
GG
=
22
22
11
22
33
13
31
13
31
1
+
ν
12
−
ν
E
ν
(
)
σ
=
ε
+
εεε
++
,
σσ ε ε
=
2
GG
=
33
33
11
22
33
23
32
23
32
1
+
ν
12
−
ν
ν
Z definicji PSN,
σ = , dostajemy:
0
−
ε
=
+
(
σσ
)
33
33
11
22
E
→ to oznacza, iż istnieje odkształcenie w kierunku prostopadłym do płaszczyzny naprężeń
Z definicji PSO,
σ νσ = +
→ to oznacza, iż istnieje składowa naprężenia w kierunku prostopadłym do płaszczyzny odkształceń
ε = , dostajemy:
0
(
)
33
33
11
22
Elementarne wyprowadzenie równań równowagi w PSN
→ zagadnienia teorii sprężystości i plastyczności są na ogół statycznie niewyznaczalne
→ równania równowagi stanowią ważną grupę w pełnym układzie równań
+ ∂
σ
σ
22
dx
x
22
2
x
+ ∂
σ
2
σ
21
dx
21
2
x
2
1 σ
ρ
+ ∂
σ
σ
dx
dx
11
ρ
11
1
2
×
x
1 σ
1
2 σ
2 σ
+ ∂
σ
σ
12
dx
x
x
12
1
x
dx
1
różniczka funkcji
– jej przyrost
1
gdzie: g – grubość elementu,
ρρ – składowe sił objętościowych,
3
, bb
1
2
, – siły masowe
3 równania równowagi płaskiego układu sił:
→
– gęstość, 12 [ /
b
b
kN
kg
]
ρ
[ /
kN
m
]
∑
P
= ∑
0,
P
0,
= ∑
M
0
=
x
x
o
1
2
Rozpisując:
∂
σ
∂
σ
1)
∑= →
0
11
dx dx g
+
21
dx dx g
+
ρ
b dx dx g
=
0
12
21
112
∂
x
∂
x
1
1
2
∂
σσ ρ
∂ + +=
→ stąd:
11
21
b
0
1
∂
x
∂
x
1
2
∂
σ
∂
σ
2)
∑= →
0
22
dx dx g
+
12
dx dx g
+
ρ
b dx dx g
=
0
21
12
2 21
∂
x
∂
x
2
2
1
∂
σσ ρ
∂ + +=
→ stąd:
12
22
b
0
2
∂
x
∂
x
1
2
3)
σ=
(po pominięciu nieskończenie małych składników wyższego rzędu)
∑= → 12
0
o
21
2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 2 • KMBiM WILiŚ PG
1078643642.065.png 1078643642.066.png 1078643642.067.png 1078643642.068.png 1078643642.069.png 1078643642.070.png 1078643642.071.png 1078643642.072.png 1078643642.073.png 1078643642.074.png 1078643642.075.png 1078643642.076.png 1078643642.077.png 1078643642.078.png 1078643642.079.png 1078643642.080.png 1078643642.081.png 1078643642.082.png 1078643642.083.png 1078643642.084.png 1078643642.085.png 1078643642.086.png 1078643642.088.png 1078643642.089.png 1078643642.090.png 1078643642.091.png 1078643642.092.png 1078643642.093.png 1078643642.094.png 1078643642.095.png 1078643642.096.png 1078643642.097.png 1078643642.099.png 1078643642.100.png 1078643642.101.png 1078643642.102.png 1078643642.103.png 1078643642.104.png 1078643642.105.png 1078643642.106.png 1078643642.107.png
 
Ćwiczenie 3
Dwuwymiarowe zagadnienia teorii sprężystości
Obok równań równowagi i związków konstytutywnych ważną rolę w teorii sprężystości odgrywają równania
nierozdzielności!
Równanie zgodności odkształceń (nierozdzielności)w zagadnieniach dwuwymiarowych
przypomnienie: układy jednowymiarowe (pręty):
postać odkształcona
– krzywa klasy C 1 (belka ciągła)
∆≠
0
postać odkształcona
– krzywa nie jest klasy C 1
→ stąd:
∆= → warunek nierozdzielności dla belki ciągłej!
układy dwuwymiarowe (powierzchnie):
0
linie wyobrażonego podziału – „myślowego”
brak ciągłości odkształceń – pęknięcia
ciągłość odkształceń zachowana – składowe wektora odkształceń:
εεεε nie mogą być przyjmowane niezależnie (dowolnie)
,
,
,
11
12
21
22
Warunek analityczny ciągłości odkształceń w obszarach dwuwymiarowych (równanie nierozdzielności):
2
2
2
∂
ε
∂
ε
∂
ε
11
+
22
−
2
12
=
0
2
2
∂
x
∂
x
∂∂
xx
2
1
12
Dowód (rachunkowy):
x
∂
u
x
v
x
ε
= ∂
∂
= ∂
11
v
1
qx x
(, )
12
ε
22
2
x
u
1
2
∂ ∂
uv
x
dx
εε
=
=
+
2
12
21
∂∂
x
2
1
dx
1
gdzie:
→ wektor przemieszczeń
uv → współrzędne wektora przemieszczeń
qx x
(, )
12
3
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 2 • KMBiM WILiŚ PG
1078643642.109.png 1078643642.110.png 1078643642.111.png 1078643642.112.png 1078643642.113.png 1078643642.114.png 1078643642.115.png 1078643642.116.png 1078643642.117.png 1078643642.118.png 1078643642.120.png 1078643642.121.png 1078643642.122.png 1078643642.123.png 1078643642.124.png 1078643642.125.png 1078643642.126.png 1078643642.127.png 1078643642.128.png 1078643642.129.png 1078643642.002.png 1078643642.003.png 1078643642.004.png 1078643642.005.png 1078643642.006.png 1078643642.007.png 1078643642.008.png 1078643642.009.png 1078643642.010.png 1078643642.011.png 1078643642.013.png 1078643642.014.png 1078643642.015.png 1078643642.016.png 1078643642.017.png 1078643642.018.png 1078643642.019.png 1078643642.020.png 1078643642.021.png 1078643642.022.png 1078643642.024.png 1078643642.025.png 1078643642.026.png 1078643642.027.png 1078643642.028.png 1078643642.029.png 1078643642.030.png
 
Podstawiając uzyskane wartości do wzoru:
2
2
2
∂
ε
∂
ε
∂
ε
11
+
22
−
2
12
=
0
2
2
∂
x
∂
x
∂∂
xx
2
1
12
otrzymujemy:
2
∂∂ ∂∂
u
2
v
∂
2
1
∂ ∂
uv
+
−
2
+
=
0
∂∂ ∂∂
xx
2
xx
2
∂∂ ∂ ∂
xx
2
x x
2
1
1
2
12
2
1
To daje:
3
3
3
3
∂
u
∂
v
∂
u
∂
v
+
−
−
=
0
2
2
2
2
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂
xx
x x
xx
x x
12
1 2
12
1 2
a więc:
0=
co było do okazania!
Głębsze uzasadnienie równania podane będzie w ramach wykładu!
Zadanie 1:
Odpowiedź uzasadnić.
Czy podane poniżej funkcje mogą być współrzędnymi tensora małych odkształceń w PSO?
x
2
2
x
2
−
4
10
2
1
εε
≡=
,
l
−
const m
[]
ij
2
2
x
2
1
xx
l
12
Rozwiązanie zadania 1:
Aby podane powyżej funkcje mogły być współrzędnymi tensora małych odkształceń w PSO musi zostać spełnione
równanie:
∂
2
ε
∂
2
ε
∂
2
ε
11
+
22
−
2
12
=
0
∂
x
2
∂
x
2
∂∂
xx
2
1
12
Zatem obliczamy:
( )
2
2
∂
ε
∂
∂
=
x
2
(2
x
=
)
2
11
2
2
2
2
∂
x
∂
x
∂
x
2
2
2
2
2
∂
ε
∂
∂
(
)
( )
=
xx
x
=
0
22
12
2
2
2
∂
x
∂
x
∂
x
1
1
1
oraz:
2
2
∂
ε
∂
∂
( )
( )
2
12
=
2
2
x
2
=
2
0
=⋅=
20 0
1
∂∂
xx
∂∂
xx
∂
x
12
12
1
2
2
∂
ε
∂
∂
( )
( )
lub też:
2
12
=
2
2
x
2
=
2
4
x
=⋅=
20 0
1
1
∂∂
xx
∂∂
xx
∂
x
12
12
2
Podstawiając obliczone wartości do równania:
2
∂
ε
∂
2
ε
∂
2
ε
11
+
22
−
2
12
=
0
∂
x
2
∂
x
2
∂∂
xx
2
1
12
otrzymujemy: 20020
+−=≠ (sprzeczność)
Odpowiedź: Zatem, podane powyżej funkcje nie mogą być współrzędnymi tensora małych odkształceń w PSO!
4
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 2 • KMBiM WILiŚ PG
1078643642.031.png 1078643642.032.png 1078643642.034.png 1078643642.035.png 1078643642.036.png 1078643642.037.png 1078643642.038.png 1078643642.039.png 1078643642.040.png 1078643642.041.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin