100 pytan i odpowiedzi ze statystyki.pdf

1. Jaka jest różnica między cechą skokową i ciągłą? – podać przykłady każdej z nich.

Cecha ilościowa : skokowa – przyjmująca pewne wartości liczbowe i nie przyjmująca wartości pośrednich cecha ta też

jest nazywana dyskretną , przykład: ilość bakterii, pracowników, pasażerów. ciągła – przyjmująca wartości z pewnego

przedziału liczbowego przykład: wzrost, waga, plon.

2. Wymienić typy cech i podać po jednym przykładzie.

Cechy jakościowe (opisowe, niemierzalne) przyjmujące wartości nie będące liczbami, np.: kolor włosów, płeć,

smakowitość, pochodzenie społeczne.

Cechy ilościowe (mierzalne): np.: wzrost (w centymetrach), wiek (w latach), zarobek (w złotówkach)

Cechy skokowe : np.: liczba studentów w grupie

Cechy ciągłe : np.: waga

3. Podać przynajmniej trzy nazwy rozkładów cech i jakiego typu są to cechy.

Rozkłady cech skokowych:

1. Rozkład zero – jedynkowy

2. Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)

3. Rozkład Poissona

Rozkłady cech ciągłych:

4. Rozkład normalny jedno i dwu wymiarowy

5. Rozkład jednostajny

4. Podać znane nazwy rozkładu cech i jakiego typu są to cechy.

Rozkład zero-jedynkowy: Podstawą do określania rozkładu zero-jedynkowego jest doświadczenie, którego rezultatem

mogą być dwa wzajemnie wykluczające się zdarzenia losowe. Oznaczyć je możemy jako A i zdarzenie przeciwne A’

np. strzelając do celu trafiamy (A=1) lub nie (A’=0). Zmienna losowa X ma taki rozkład, jeśli przyjmuje wartość A z

prawdopodobieństwem 0<p<1 oraz wartość A’ z prawdopodobieństwem q = 1-p. Funkcja prawdopodobieństwa

zmiennej losowej ma postać: P(X=1) = p, P(X=0) = p-1; p

(0,1). Dystrybuanta zmiennej losowej F(X) = {0, dla

X<0; 1-p, dla 0 =< X <1; 1, dla X >=1}. Wartość oczekiwana E(X) = 0(1-p) + (1p) = p.

Wariancja D 2 (X) = (0-p) 2 (1-p)+(1-p) 2 p=p(1-p).

Rozkład dwumianowy : Wykonujemy doświadczenie, którego rezultatem może być zdarzenie A z P(A)=p lub A’ z

P(A’)=1-p. Jedno z nich przujmuje się za sukces drugie jako porażkę. Liczbę sukcesów zaobserwowanych w “n”

próbach może być równa k=1,2,3,...,n. Zdarzenie X=k zachodzi, gdy w wyniku n-krotnego powtarzania doświadczenia

zaobserwujemy k-razy zdarzenie A (więc n-k razy zdarzenie A’). Prawdopodobieństwo otrzymania k sukcesów w

doświadczeniu powtarzanym n razy (suma prawdopodobieństw takich kombinacji, że występuje k razy A):

(

)

(

)

Zmienna losowa X ma taki rozkład, jeśli przyjmuje wartości k=0,1,2,...,n z prawdopodobieństwami określonymi

wzorem:

()

(

)

(

)

. Wartość oczekiwana E(X)=np -suma wartości oczekiwanych

niezależnych zmiennych losowych o rozkładach zerojedynkowych (pojedyncze doświadczenia), D 2 (X)=np(1-p)

Rozkład Poissona : zmienna losowa X przyjmująca wartości k = 0,1,2,... ma taki rozkład o parametrze

, jeśli jej

funkcja prawdopodobieństwa opisana jest wzorem: PX

(

)

k = 0,1,2,..., gdzie

jest dodatnią stałą (

> 0). Dystrybuantę rozkładu Poissona określa wzór: Fx

()

. Opierając się na definicji wartości

, D 2 (X)=

oczekiwanej i wariancji zmiennej losowej skokowej, dla rozkładu Poissona otrzymujemy: E(X)=

2 ) o wartości średniaj

2 , jeżeli jej

Rozkład normalny: Zmienna losowa ma rozkład normalny N-(

i wariancji

funkcja gęstości wyraża się wzorem (w pytaniu 14).

5. Podać dwa przykłady cech w rozkładzie dwumianowym.

5 prób trafienia w tarczę

10 prób wyciągnięcia czarnej kuli z urny zawierającej kule czarne i białe (ze zwracaniem)

6. Podać dwa przykłady cech w rozkładzie normalnym.

Waga oraz wzrost osobników jednorodnych populacji ludzkich lub zwierzęcych.

Plon na jednakowych poletkach doświadczalnych.

Wynik osiągany w biegu na 100m

7. Podać dwa przykłady cech w rozkładzie Poissona.

Liczba usterek w produkowanych urządzeniach

Liczba skaz na określonej powierzchni materiału

Liczba błędów drukarskich na jednej stronie.

8. Zmienna losowa X ma rozkład N(10,25). Obliczyć P{|X-10|=<10}

Cecha X-(

2 ) ma rozkkład normalny N-(

2 ). Z prawa trzech sigm:

P{|X-

}=0,68

P{|X-

|< 2

}=0,95

P{|X-

|< 3

}=0,997

X-N(10,25);

=5 z prawa trzech sigm:

P{|X-10|=<10}= P{|X-

=10,

}=0,95

9. Zmienna losowa X ma rozkład N(10,25). Obliczyć P{|X-10|=<5}

N(10,25),

|< 2

P{|X-10|=<5}= P{|X-

=10,

}=0,68

10. X ~ N(100,100). Ile wynosi P{X є(90,110)}?

Dystrybuanta F(X) dla standardowego rozkładu jest stablicowana. Dla x=<0 zachodzi F(x)=1-F(-x). Standaryzacja .

Jeżeli X-

2 ), to Z=(X-

-N(0,1)

{

}

.Podstawiając

=100,

=10, a=90, b=110 otrzymujemy

P{X

(-1,1)}=F(1)-F(-1)=F(1)-1+F(1)=2F(1)-1=2(0,84134)-1=0,68=68%

11. X ~ N(120,64). Ile wynosi P{X є(104,136)}?

N(120,64); Podstawiając

=120,

=8, a=104, b=136 do wzoru z pyt. 10 otrzymujemy:

P{X

(-2,2)}=F(+2)-F(-2)=F(2)-1+F(2)=2F(2)-1=2x0,97725-1=0,9545=95%

12. Cecha X ma rozkład N(12,16). Bez użycia tablic obliczyć P{X є (8,16)}?

(104,136)}= P{X

}=68%

13. Cecha X ma rozkład N(12,16). Bez użycia tablic obliczyć P{X є (4,20)}?

=12,

=4, P{X

(8,16)}=P{|X-12|=<4}=P{|X-

|=<

}=96%

14. W jaki sposób można sprawdzić założenie o normalności.

Zmienna losowa X ma rozkład normalny, jeżlei jej funkcja gęstości wyraża się wzorem:

=12,

=4, P{X

(8,16)}=P{|X-12|=<8}=P{|X-

|=<

(

)

()

−∞ <

< ∞

µ σ

15. W jakim celu stosuje się w praktyce uśrednianie wartości pewnej cechy.

Dzięki średniej możemy sprawdzić, czy dana wartość cechy jest względnie większa czy mniejsza niż w reszcie

populacji tzn. Jeżeli jakaś wartość jest powyżej średniej to jest mniej wartości większych w populacji, a więcej

mniejszych. Średnia pozwala także przewidzieć najbardziej prawdopodabny wynik np. jeśli średnia ilość trafień na 10

wynosi 3, to gdy szacujemy ile będzie trafień, najbardziej prawdopodobną liczbą trafień jest 3.

16. Wymienić rozkłady pojawiające się we wnioskowaniu statystycznym, a związane z rozkładem normalnym.

Rozkład Piscona

Rozkład Chi – kwadrat

Rozkład T - Studenta

17. Co to jest populacja?

Populacja – zbiór obiektów (fizycznych i nie tylko) z wyróżnioną cechą (-ami). Jeśli zbiór elementów populacji jest

skończony to określamy ją jako skończoną np. zbiorowość mieszkańców Polski, zbiorowość gospodarstw rolnych w

danym województwie. Jeśli zbiór elementów populacji jest nieskończony to określamy ją jako nieskończoną – dotyczy

raczej zjawisk niż obiektów materialnych np. zbiorowość rzutów monetą, zbiorowość możliwych wyników pomiaru

wytrzymałości materiału.

18. Co to jest próba reprezentatywna?

Próba – wybrana część populacji podlegająca badaniu (próba), jest reprezentatywna, gdy jej struktura ze względu na

interesujące nas cechy statystyczne jest zbliżona do struktury populacji z której ona pochodzi, czyli wnioski

wyciągnięte z próby można uogólnić na całą populcje. Próba jest reprezentatywna gdy spełnione są warunki:

Elementy populacji są pobierane do próby w sposób losowy.

Próba jest dostatecznie liczna.

19. Co to jest wnioskowanie statystyczne?

Wnioskowanie statystyczne – to możliwość uogólnienia uzyskanych wyników na całą populację elementów oraz

oszacowanie wielkości popełnionych przy tym błędów. Wynik wnioskowania musi być użyteczny.

20. Jakie są podstawowe różnice między populacją i próbą?

Próba jest wybraną częścią populacji, na podstawie jej danych wnioskujemy o populacji, czyli próba pozwala

scharakteryzować populację, np.: Spośród wszystkich kobiet w Warszawie (Populacja) losujemy jakąś część (Próba) i

na tej podstawie charakteryzujemy średni wzrost kobiet w Warszawie.

21. Podać przykład próbki niereprezentatywnej dla oszacowania zróżnicowania zarobków w Polsce?

Próbę przeprowadzamy wśród rolników.

22. Podać przykład próbki niereprezentatywnej dla oszacowania średnich zarobków ludzi w Polsce?

Próbę przeprowadzamy wśród ludności W-wy i ustalamy

23. Podać przykład próbki niereprezentatywnej dla wzrostu wszystkich kobiet w Polsce.

Próbę przeprowadzamy wśród zawodniczek drużyny koszykarskiej.

24. Co wpływa na jakość wnioskowania statystycznego.

Na jakość wnioskowania statystycznego wpływa:

estymacja (szacowanie) nieznanych wartości parametrów rozkładu cechy w populacji.

słuszność hipotez dotyczących albo wartości parametrów rozkładu cechy w populacji albo postaci tego rozkładu.

jakość próby: liczność, losowy wybór.

25 i 26. Jakie są źródła błędów we wnioskowaniu statystycznym? Podać przynajmniej dwa źródła błędów we

wnioskowaniu statystycznym.

Źródła błędów: nieliczne lub nielosowo wybrane elementy próby wybór złego rozkładu cechy w populacji,

Estymacja : Z uwagi na to że estymacji pewnego parametru za pomocą określonego jego estymatora Z n dokonujemy na

podstawie wyników próby losowej, istnieje możliwość popełnienia błędu. W celu uzyskania małego błędu estymacji

należy dbać o prawidłowe losowanie próby, jak i dobór możliwie najlepszego estymatora Z n .

W tym celu wprowadza się pewne własności, które powinien posiadać dobry estymator: zgodność, efektywność,

dostateczność i nieobciążoność

Testowanie hipotez statystycznych : Z uwagi na to, że testowanie hipotez statystycznych opiera się na wynikach próby

losowej, podjęta w wyniku zastosowania danego testu decyzja o przyjęciu lub odrzuceniu hipotezy nie zawsze jest

bezbłędna (występują błędy I i II stopnia).

27. Co to jest estymator?

Estymator jest narzędziem wnioskowania statystycznego. Estymator jest to funkcja wyników z próby, czyli statystyka

służąca do oszacowania nieznanej wartości parametru populacji. Wartość estymatora z konkretnej próby jest liczbą

zwaną oceną parametru . Estymatorem może być zatem każda wielkość otrzymana dla wyników próby, czyli: średnia

arytmetyczna, dominanta, kolejne kwartyle, rozstęp, odchylenie standardowe i wiele innych. Estymator jako funkcja

wyników próby losowej, będących zmiennymi losowymi, jest zmienną losową. Rozkład prawdopodobieństwa

estymatora zależy od rozkładu populacji i od sposobu losowania próby (schemat losowania). Szczególnie ważne są dwa

parametry rozkładu: a)wartość oczekiwana (momenty), b)wariancja. Jest wiele metod znajdowania estymatora.

Najczęściej stosowane to: a)metoda momentów, b)metoda największej wiarygodności, c)metoda kwadratów. Mówimy,

że estymator T n parametru O jest nieobciążony gdy spełniona jest relacja: E(T n )=O. Inaczej estymator T n jest

obciążony, a parametr E(T n )-O=b(T n ) nazywamy obciążeniem estymatora. Asymptotyczny nieobciążony tzn. Lim(n->8)

b(T n )=0. Zgodny spełnia relacje Lim(n->8) P{ |T n -O|<

}=1, dla dowolnego

>0.

28. Co znaczy, że estymator jest precyzyjny?

Przy wzrastającej do nieskończoności liczebności próby wariancji D 2 (Z n ) estymatora Z n przyjmuje wartości coraz

bliższe wariancji najefektywniejszego estymatora. Odwrotność wariancji estymatora nosi nazwę precyzji . Estymator

najefektywniejszy to taki, który ma największą precyzję.

29. Podać przynajmniej dwa różne oszacowania średniej wartości cechy.

Na podstawie próby 1.1, 1.2, 0.8, 0.9, 1.2, 1.3, 1.0, 0.7, 0.8, 1.0 oszacować wartość średnią rozkładu obserwowanej

cechy.

X sr =(1.1+...+1.0)/10=1

var x = (1.1 – 1.0) 2 + ........... (1.0 – 1.0) 2 = 0.36

(suma kwadratów odchyleń)

s 2 = 0.36/10-1 = 0.04

s = 0.2

poziom ufności 1-

= 0,95, czyli

= 0.05 = 5%

t (0,05 , 9) = 2,2622

t(0.05 ,9) *s/

n = 2,622 * 0,2/

10 = 0,14

1 – 0,14 = 0,86

1+ 0,14 = 1,14

ODPOWIEDŹ Średnia wartość cechy jest jakąś liczbą z przedziału (0,86; 1,14)

30. Co to jest przedział ufności.

PRZEDZIAŁ UFNOŚCI – jest przedziałem o końcach zależnych od próby, który z pewnym z góry zadanym

prawdopodobieństwem pokrywa nieznaną wartość parametru Õ

P {(Õ

(Poziom ufności)

W wyniku pobrania próby losowej z populacji i obliczenia na tej podstawie wartości estymatora szacowanego

parametru uzyskuje się tzw. punktową ocenę parametru. Prawdopodobieństwo że estymator przyjmuje wartość równą

wartości szacowanego parametru jest równa 0. Oznacza to że przy estymacji punktowej z prawdopodobieństwem

równym jeden popełniamy błąd. Jest to jeden ze sposobów dla których stosuje się estymację przedziałową, polegającą

na tym, że zamiast jednej oceny wartości parametru podaje się pewien przedział, który z określonym z góry

prawdopodobieństwem (>0) pokrywa nieznaną wartość szacowanego parametru.

31. Co to jest poziom ufności.

Jest to prawdopodobieństwo mające opisać nasze przekonanie co do trafności oceny, oznaczone przez 1-

(O (x 1 ,..........x n ), Ō (x 1 ,..........x n )} = 1 -

32. Jaka jest interpretacja poziomu ufności.

Poziom ufności 1-

jest zaufaniem do wystawionych wniosków.

33 i 34. Od jakich czynników zależy długość przedziału ufnośći?

Na długość przedziału wpływa:

1. liczebność próby – gdy zwiększymy ilość obserwacji (rośnie n), to zwiększa się precyzja oceny, co wyraża się

skróceniem przedziału. Prowadzący może mieć wpływ na długość przedziału ufności, ponieważ to on decyduje o

ilości obserwacji.

2. poziom ufności – aby zwiększyć precyzję oszacowania należy zmniejszyć poziom ufności bowiem nastąpi

skrócenie długości przedziału. Aby zwiększyć dokładność należy zwiększyć współczynnik ufności co spowoduje

rozszerzenie przedziału.

3. wariancja cechy - im większa tym większy przedział

35. Na podstawie badań uzyskano dla średniej następujący przedział ufności (2,13). Czy można uznać, że

średnia w populacji jest równa 7 i dlaczego?

Ponieważ 7 należy do przedziału ufności może być średnią populacji(tak jak wszystkie liczby z tego przedziału), przy

czym zaufanie do tego wniosku wynosi 1-

36. Uzyskano 95% przedział ufności dla różnicy średnich : (1.23;7.9). Czy na tej podstawie można uznać, że

badane średnie nie różnią się?

42. Co to jest hipoteza statystyczna.

Hipotezą statystyczną nazywamy dowolne przypuszczenie dotyczące rozkładu prawdopodobieństwa cechy. Hipotezy

statystyczne są formalnym zapisem przypuszczeń merytorycznych sformułowanych w trakcie rozwiązywania

problemów naukowych i praktycznych. Testowaną hipotezę statystyczną oznacza się symbolem H 0 i nazywa się

hipotezą zerową. Obserwujemy cechę X w pewnej populacji. Hipoteza – to przypuszczenie dotyczące rozkładu

prawdopodobieństwa tej cechy. Prawdziwość tego przypuszczenia jest oceniana na podstawie wyników próby losowej.

Jest to każdy sąd (przypuszczenie) dotyczące populacji wydany bez przeprowadzenia badania wyczerpującego.

43. Przykłady hipotezy statystycznej i podaj przykład hipotezy niestatystycznej.

1.Hipoteza H 0 :

= 250, Hipoteza ta orzeka, że średnia wartość cechy w populacji wynosi 250.

2.Hipoteza niestatystyczna „w roku 2010 będzie klęska żywiołowa” – nie ma mowy o postaci rozkładu i jego

parametrach.

44. Co to jest błąd pierwszego rodzaju.

Błędem I rodzaju - błąd we wnioskowaniu polegający na odrzuceniu hipotezy, gdy w rzeczywistości jest ona

prawdziwa.

45. Co to jest poziom istotności.

Poziomem istotności Jest to prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju (2). Najczęściej przyjmowanymi

poziomami istotności są: 0,1; 0,05; 0,01; 0,001.

46. Interpretacja poziomu istotności. (odp. W 45)

47. Co to jest błąd drugiego rodzaju.

Błędem II rodzaju - błąd we wnioskowaniu polegający na nie odrzuceniu hipotezy, gdy w rzeczywistości jest ona

fałszywa.

48. Co to jest moc testu.

Mocą testu nazywamy prawdopodobieństwo nieodrzucenia hipotezy nieprawdziwej

Moc testu = prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju

49. Zinterpretować wniosek: odrzucono weryfikowaną hipotezę na poziomie istotności 0,05.

Na 95% była fałszywa i na 5% była prawdziwa.

50. Co mierzy współczynnik korelacji.

Współczynnik korelacji jest miernikiem siły zależności między badanymi zmiennymi. Przyjmuje wartości < -1; 1 >.

51. Interpretacja współczynnika korelacji.

Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną, należy do przedziału < -1; 1 >.

Interpretujemy dwa elementy współczynnika korelacji:

1. znak współczynnika korelacji;

2. wartość współczynnika korelacji;

Jeżeli chodzi o znak to:

jeżeli współczynnik korelacji > 0, to większym wartościom jednej cechy odpowiadają większe wartości drugiej

cechy; jest to zależność dodatnia (rosnąca, stymulująca);

jeżeli współczynnik korelacji < 0, to większym wartościom jednej cechy odpowiadają mniejsze wartości drugiej

cechy; jest to zależność ujemna (malejąca, limitująca);

jeżeli współczynnik korelacji = 0, to bez względu na wartość przyjmowane przez jedna z cech, średnia wartość

drugiej cechy jest taka sama; są to cechy nieskolerowane

Jeżeli g= +1 , to istnieją takie liczby a i b, że Y = aX + b – zależność między cechami jest ściśle liniowa.

Jeżeli g= 1, to a > 0, oraz jeżeli g = -1 to a <0.

W związku z tym współczynnik korelacji traktowany jest jako miernik liniowej zależności między cechami X oraz Y.

Wartość współczynnika korelacji interpretowana jest ; że im |g| jest bliższe 1, tym bardziej liniowa jest zależność

COV X Y

(,)

między cechami. Korelację między X i Y obliczamy ze wzoru r

, gdzie COV(X,Y) to

var

kawariancja- suma iloczynów odchyleń od średniej.

52. Jakie wartości może przyjmować współczynnik korelacji .

Współczynnik korelacji przyjmuje wartości z przedziału < -1; 1 >

Im korelacja jest silniejsza (bliższe jedynki), tym linie regresji są położone bliżej siebie.

r=1

r=-1

r=0

53. Co to znaczy, ze współczynnik korelacji między zmiennymi X i Y wynosi 0.

Jeżeli współczynnik korelacji między dwiema zmiennymi wynosi zero, to znaczy, że są to zmienne nieskorelowane.

Wartość jednej zmiennej nie zależy od drugiej.

54. Jaką postać ma liniowa funkcja regresji, gdy współczynnik korelacji między zmiennymi X i Y wynosi 0.

Jeżeli współczynnik korelacji wynosi 0 to nie ma zależności pomiędzy dwoma zmiennymi, a wykresem funkcji regresji

są wszystkie punkty układu współrzędnych.

55. Na podstawie obliczeń uzyskano współczynnik korelacji równy –0.97. Jak można zinterpretować tę wartość?

Współczynnik korelacji równy –0,97, oznacza, że większym wartościom jednej cech odpowiadają średnio mniejsze

wartości drugiej cechy. Taką zależność nazywamy ujemną lub malejącą.

56. Na podstawie obliczeń uzyskano współczynnik korelacji równy 1.09. Jak można zinterpretować tę wartość?

Współczynnik korelacji nie może przyjąć wartości powyżej 1.

57.W badaniu wpływu długości czasu (w latach) pracy (X) pewnego urządzenia na przciętny czas (w miesiacach)

bezawaryjnej pracy (Y) tego urządzenia na podstawie obserwacji dziesięciu maszyn uzyskano współczynnik

korleacji r=-0,9983. Czy można na tej podstawie przyjąć, że istnieje zależność między długością czasu pracy i

przeciętnego czasu pracy bezawaryjnej.

Jeśli próba zaostała dobrana poprawnie (zapewniono reprezentatywność) to można uznać, że istnieje taka zależność, że

im dłuższy czas pracy w latach tym krótszy okres (w m-cach) bezawaryjnej pracy. Wynika to z tego, że korelacja jest

równa prawie -1.

58. W dwudziestu gospodarstwach wiejskich badano zależność między spożyciem ziemniaków (cecha X) i

artykułów zbożowych (cecha Y). Uzyskano współczynnik korelacji r=-0,9983. Czy można na tej podstawie

przyjąć, że istnieje zalezność między spożyciem ziemniaków i artykułów zbożowych?

Tak jak w 57.

59. Co to jest indeks Fishera zmian cen ?

Indeks Fishera zmian cen jest średnią geometryczną z indeksów wyznaczonych przez Laspeyersa i Paaschego.

Można go uważać za dobre przybliżenie indeksu poprawnie mierzącego zmiany cen ( z dwóch różnych okresów ) ,

jeśli przyjąć, że indeksy Laspeyersa i Paaschego określają granice przedziału, w którym zawarta jest prawdziwa

wartość indeksu.

60. Co to jest indeks Fishera zmian ilości?

J eśli przyjąć, że indeksy Laspeyersa i Paaschego poprawnie określają granice przedziału, w którym zawarta jest

prawdziwa wartość indeksu, to : Indeks Fishera zmian ilości uważa się za dobre przybliżenie indeksu właściwie

mierzącego zmiany ilości ( rozmiarów fizycznych )

61. Co to jest indeks Laspayresa zmian cen ?

Dynamika zjawisk

Numer

artykuł

Ilość

Cena

jednostkowa

Rok0 Rok1 Rok0 Rok1

1 q 10 q 11 p 10 p 11

... ... ... ... ...

k q k0 q 1k p k0 p 1k

Numer Wartość Wartość

1 w 1,00 =p 10 q 10 w 1,11 =p 11 q 11

... ... ...

k w k,00 =p k0 q k0 k,11 =p k1 q k1

Razem w 00 w 11

Indeks Laspayersa zmian cen to indeks określający wpływ zmian cen na dynamikę wartości; informuje o tym , jak

zmieniałaby się łączna wartość wszystkich towarów w momencie badanym w stosunku do momentu podstawowego,

gdyby ilości poszczególnych towarów były w obu porównywalnych momentach jednakowe oraz takie jak w momencie

podstawowym, a zmiana wartości nastąpiłaby tylko na skutek zmian cen. LI pq =(w 10 /w 00 ), gdzie W ij =p i q j .

62. Co to jest indeks Laspayresa zamian ilości ?

Indeks Laspayersa zmian ilości mówi jak zmieniałaby się całościowo wartość wszystkich towarów w momencie

badanym w stosunku do momentu podstawowego, gdyby w obu porównywalnych momentach ceny były niezmienne i

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: