fiza sciaga.doc

(334 KB) Pobierz

Iloczyn skalarny (iloczyn hermitowski, forma hermitowska dodatnia) w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K (C liczby zespolone lub R liczby rzeczywiste) nazywamy takie odwzorowanie

Iloczyn skalarny (iloczyn hermitowski, forma hermitowska dodatnia) w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K (C liczby zespolone lub R liczby rzeczywiste) nazywamy takie odwzorowanie $V\times V \ni (x,y) \mapsto (x|y) \in \mathbb K$

1. $(x|x)>0 \;\mathrm{dla }\; x \ne 0$ (dodatnia określoność)

2. (αx + βy | z) = α(x | z) + β(y | z), gdzie $x,y,z\in V$ oraz $\alpha,\beta\in \mathbb K$ (liniowość)

3. $(x|y)= \overline{(y|x)}$ , gdzie $\overline \alpha$ jest sprzężeniem zespolonym (symetryczność) W geometrii euklidesowej trójwymiarowej klasyczna definicja iloczynu skalarnego związana jest z kątem między wektorami w przestrzeni:

$\vec x \cdot \vec y = |\vec x||\vec y| \cos(\angle \vec x, \vec y)$ ,

gdzie $|\vec x|$ oznacza długość wektora $\vec x$ . Widać stąd, że jeżeli wektory $\vec x, \vec y$ są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny jest równy 0. Zachodzi także zależność odwrotna: jeśli iloczyn skalarny dwu niezerowych wektorów jest równy zero, to są prostopadłe.

loczyn wektorowy to działanie (n − 1)-argumentowe na elementach n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Niech V będzie n-wymiarową przestrzenią euklidesową o zadanej orientacji. Iloczynem wektorowym wektorów $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}\in V$ nazywamy wektor $\beta\in V$ taki, że

Jeśli $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}$ są liniowo zależne, to β jest wektorem zerowym.

Jeśli $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}$ są liniowo niezależne

$\beta\in(\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1})^{\perp}$ (ortogonalne dopełnienie podprzestrzeni)

$\|\beta\|=\sqrt{g(\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1})}$ (pierwiastek z wyznacznika Grama)

Baza $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}, \beta$ jest zorientowana dodatnio.

Działanie to oznaczamy $\alpha_1\times\ldots\times \alpha_{n-1}$

Jeżeli $\vec{a}=[a_x,\,a_y,\,a_z]$ i $\vec{b}=[b_x,\,b_y,\,b_z]$ , to iloczyn wektorowy tych wektorów jest wektorem $\vec{c}$ takim, że:

wartość wektora wynikowego jest równa iloczynowi wartości $\vec{c}=[c_x,c_y,c_z]=\vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = [a_yb_z-a_zb_y, \,a_zb_x -a_xb_z, \,a_xb_y-a_yb_x]$ obu wektorów wyjściowych pomnożonego przez sinus kąta między nimi zawartego: $|\vec{c}|=|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\vec{a},\vec{b})$ ,

otrzymany wektor jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez mnożone wektory,

zwrot ustalamy przy pomocy reguły śruby prawoskrętnej lub reguły prawej dłoni,

ściślej rzecz biorąc, iloczyn wektorowy jest pseudowektorem, ponieważ jego współrzędne transformują się przy obrotach układu współrzędnych jak współrzędne wektora, ale nie zmieniają znaku przy odbiciu osi.

Gradient wybranej wielkości (np. temperatury) jest wielkością określającą szybkość i kierunek największej zmiany wielkości.

Wektor przeciwny gradientowi nazywany jest antygradientem.

Gradient – to operator różniczkowy, który działając na pole skalarne, tworzy pole wektorowe. Utworzone pole wektorowe ma kierunek i zwrot największego wzrostu funkcji w danym punkcie, a wartość jest proporcjonalna do szybkości wzrostu (wzrost na jednostkę długości) funkcji. Gradient określony na polu wektorowym daje pole tensorowe.

Gradient oznaczany jest ‘grad’ lub odwróconym trójkątem (operator nabla): $\nabla$ zwanym nabla.

W układzie współrzędnych kartezjańskich wektor gradientu jest określony jako:

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \left[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z} \right]$

gdzie $\vec i,\ \vec j,\ \vec k$ są wersorami osi kartezjańskiego układu współrzędnych.

Nabla - operator różniczkowy traktowany w operacjach rachunkowych jak symboliczny wektor. Pozwala zapisać operacje różniczkowe na funkcjach w prostej i zwartej formie działań wektorów.

W trójwymiarowym, kartezjańskim układzie współrzędnych:

$\nabla = \mathbf{i}{\partial \over \partial x} + \mathbf{j}{\partial \over \partial y} + \mathbf{k}{\partial \over \partial z}$

gdzie $(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k})$ to wektory bazowe czyli wektory jednostkowe (wersory) o kierunkach i zwrotach zgodnych z kolejnymi osiami (X,Y, Z) układu współrzędnych w R3.

Dywergencja – operator różniczkowy, który danemu polu wektorowemu przypisuje pole skalarne.

Funkcję: $\bold A: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$

Będziemy nazywać polem wektorowym w przestrzeni trójwymiarowej. Dalej będziemy zakładać że powyższa funkcja jest różniczkowalna w całej swej dziedzinie (dzięki temu mamy pewność o istnieniu pochodnych cząstkowych).

Dywergencja pola wektorowego $\bold A$ jest skalarnym operatorem różniczkowym, określonym następującą formułą:

$\operatorname{div}\, \bold A = \lim_{|S| \to 0}~{\iint\limits_{S} \bold A d \bold S \over |V|}$

Gdzie $V \subset \mathbb R^3$ jest obszarem w przestrzeni, $S \subset \mathbb R^3$ brzegiem tego obszaru (czyli pewną powierzchnią zamkniętą), a | S | oznacza pole powierzchni S.

Całka podwójna występująca w definicji nosi nazwę strumienia pola wektorowego $\bold A$ po powierzchni S.

Rotacja (wirowość) – operator różniczkowy działający na pole wektorowe $\bold F$ , tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez $\operatorname{rot}$ lub $\operatorname{curl}$ (z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako dF.

Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe posiada potencjał (i odwrotnie: pole posiadające potencjał jest polem bezwirowym).

Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla $\nabla$ i wektora $\bold F$ :

$\mathbf B = \operatorname{rot} (\mathbf F)= \nabla \times \mathbf F$ .

Wektor wodzący - dla danego punktu A to wektor zaczepiony w początku układu współrzędnych i o końcu w punkcie A, czyli np. w układzie kartezjańskim:

$\bar{r}_{A} = \overline{OA}$

Długość wektora wodzącego jest odległością punktu od początku układu współrzędnych.

rędkość liniowa w ruchu jednostajnym prostoliniowym [edytuj]

Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym jest stała (zarówno jej kierunek i wartość). Przyjmujemy odtąd, że do położenia ciała wystarczy jedna współrzędna x. Każdy ruch prostoliniowy można przez odpowiednie obroty sprowadzić do przypadku jednowymiarowego. Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym określa więc następująca zależność:

$\vec v = \frac {\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{x(T)-x(0)}{T}\hat{i_x}$

$|\vec v|=\frac{x(T)-x(0)}{T}=\frac{S}{T}=\textrm{const}$

Gdzie:

$\vec r(t)$ - wektor położenia jako funkcja czasu t

S - przebyta droga

T - czas trwania ruchu

x(t) - funkcja położenia (skalar) od czasu

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym

Przyspieszenie $\vec a$ jest stałe i niezerowe, więc prędkość $\vec v$ zmienia się. W ruchu tym także można ograniczyć się do rozpatrywania jednej współrzędnej.

$\vec a = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \Rightarrow \Delta \vec v = \vec a \Delta t$

$\vec v(T) - \vec v(0) = \vec a T \Rightarrow \vec v(T)=\vec v(0) + \vec a T$

Gdzie:

T - całkowity czas ruchu

$\vec v(t)$ - wektor prędkości jako funkcja czasu.

Czasami (zazwyczaj z powodów dydaktycznych) wyróżnia się specjalny przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego - ruch jednostajnie opóźniony prostoliniowy. W ruchu tym wektor przyspieszenia $\vec a$ jest stały i skierowany przeciwnie do wektora prędkości początkowej - $\vec v(0)$ .

Przyspieszenie - wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę prędkości w czasie. Jeżeli mamy dany wektor $\vec r$ określający położenie punktu materialnego i wektor $\vec v$ określający prędkość tego punktu, to przyspieszenie $\vec a$ tego punktu obliczamy w następujący sposób:

$\vec a = \frac {d \vec v}{dt} = \frac {d^2 \vec r}{dt^2} \quad \left[ \vec a \right] = \frac m {s^2}$

Jednostka przyspieszenia w układzie SI to metr na sekundę do kwadratu.

Przyspieszenie dośrodkowe

Jest to składowa przyspieszenia prostopadła do toru ruchu. Reprezentuje tę część przyspieszenia, która wpływa na kierunek prędkości, a zatem na kształt toru. Jeżeli prędkość chwilowa oznaczona jest jako v, a promień chwilowego zakrzywienia toru (promień okręgu stycznego do toru) ruchu wynosi r, to wartość an przyspieszenia dośrodkowego ciała jest równa:

$a_n = \frac {v^2}{r}$

Przyspieszenie styczne

Jest to składowa przyspieszenia styczna do toru ruchu, wpływająca na wartość prędkości. Stosując oznaczenie v dla wartości prędkości chwilowej i oznaczenie s dla drogi pokonanej przez ciało, przyspieszenie styczne as określają wzory:

$a_s = \frac {dv}{dt}=\frac{d^2 s}{dt^2}$

Przyspieszenie kątowe

Występuje w ruchu obrotowym - jest wektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt α, a wartość prędkości kątowej oznaczymy jako ω, to wartość przyspieszenia kątowego ε wynosi:

$\varepsilon = \frac {d \omega}{dt}=\frac{d^2 \alpha}{dt^2} \quad \left[ \varepsilon \right] = \frac {1} {s^2}$

Jednostka przyspieszenia kątowego w układzie SI to jeden radian przez sekundę do kwadratu.

Prędkość kątowa - w fizyce wielkość opisujaca ruch po okręgu (ruch obrotowy). Jest wektorem (pseudowektorem) leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

Jeśli współrzędna kątowa ciała określa kąt θ to wartość prędkości kątowej ω jest równa:

$\omega = \frac {d \theta}{dt} \quad \left[ \omega \right] = \frac 1 s$

Jednostka prędkości kątowej w układzie SI to jeden przez sekundę.

Zależność prędkości liniowej V ciała poruszającego się po okręgu o promieniu r od prędkości kątowej ω tego ciała dana jest wzorem:

V=ω•r

Pęd punktu materialnego jest równy iloczynowi masy [m] i prędkości [v] punktu. Pęd jest wielkością wektorową; kierunek i zwrot pędu jest zgodny z kierunkiem i zwrotem prędkości. $\vec p=m \vec v$

W układzie SI jednostka pędu nie ma odrębnej nazwy, a jest określana za pomocą jednostek prostszych, np. niuton·sekunda (N·s) lub kilogram·metr/sekunda (kg·m/s).

Moment pędu (inaczej kręt) wielkość fizyczna opisująca ruch ciała, zwłaszcza ruch obrotowy.

W tradycyjnej matematyce moment pędu jest wielkością wektorową (pseudowektor). Moment pędu punktu materialnego względem zadanego punktu określony jest zależnością:

$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$

gdzie

L to moment pędu punktu materialnego,

r to wektor łączący punkt, względem którego określa się moment pędu i punkt ciała,

p to pęd punktu materialnego

$\times \,$ iloczyn wektorowy wektorów.

Powyższy wzór można wyrazić:

$L = |\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin\theta_{r,p}$

gdzie θr,p jest kątem między r i p

Dla ciała obracającego się:

$\mathbf{L}= I \mathbf{\omega}$ gdzie:

I to moment bezwładności ciała,

ω to prędkość kątowa.

Moment siły (moment obrotowy) - $\vec M_0$ siły $\vec P$ względem punktu O jest iloczyn wektorowy promienia wodzącego $\vec r$ , o początku w punkcie O i końcu w punkcie przyłożenia siły oraz siły $\vec P$ :

$\vec M_0 = \vec r \times \vec P$

Wektor momentu siły jest wektorem osiowym (pseudowektorem), zaczepiony jest w punkcie O, a jego kierunek jest prostopadły do kierunku płaszczyzny wyznaczonej przez ...

Plik z chomika:

tomosso

Inne pliki z tego folderu:

1. rysuneczki dobre na start.doc (23364 KB)
Nowy folder.7z (12142 KB)
fizyka_2_grupy_z_egzaminu_sesyjnego (1).zip (5944 KB)
020220121239.jpg (848 KB)
020220121243.jpg (853 KB)

fiza sciaga.doc

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: