Wykład KCh3.
3. Równanie ruchu układu napędowego– część III
3.1. Człony M0 oraz Me występujące w równaniu ruchu układu napędowego
3.2. Równanie (3.1) – statyczna charakterystyka silnika
3.3. Równanie (3.1) – moment oporowy zależny od kąta obrotu silnika
3.4. Stabilny i niestabilny punkt pracy układu napędowego
3.5. Uwagi wstępne dotyczące układów o więcej niż jeden stopniach swobody
Z poprzedniego wykładu wiadomo, że symbol M0 występujący w równaniu ruchu (3.1)
oznacza moment oporowy maszyny roboczej. Pod tą nazwą kryje się zarówno moment użyteczny (niezbędny do wykonania procesu technologicznego) jak i suma momentów niepożądanych wynikających z tarcia w maszynie roboczej oraz w silniku. Typowe charakterystyki maszyn roboczych pokazano w sposób jakościowy na rys.3.1. Linia 1
odpowiada maszynom, w których moment oporowy jest stały (np pompom o stałej wydajności, maszynom wyciągowym, walcarkom). Linia 2 charakteryzuje wentylatory, pompy odśrodkowe i inne maszyny, w których opory ruchu są wprost proporcjonalne do kwadratu prędkości obrotowej. Linia 3 odpowiada - przykładowo - urządzeniom odwijającym, w których jest zachowana stała siła naciągu oraz stała prędkość liniowa taśmy lub drutu; maszyny takie są stosowane między innymi w przemyśle papierniczym.
Wyróżnia się bierne i czynne momenty (siły) oporowe. Momenty (siły) oporowe bierne są związane z wykonywaniem procesu technologicznego i pokonywaniem tarcia. Mówiąc inaczej: praca momentu (siły) oporowego biernego jest pracą użyteczną lub pracą tarcia. Moment (siła) oporowy bierny ma zawsze zwrot przeciwny do zwrotu prędkości. Obrazują to na rys.3.2 linie A1 i A2.
Czynny moment (siła) oporowy jest niezależny od zwrotu prędkości. Obrazuje to linia B na rys.3.2. W przypadku czynnego momentu (siły) oporowego należy wyróżnić dwie sytuacje, które łatwo wyjaśnić na przykładzie windy. Jeżeli winda porusza się do góry, to moment oporowy przeciwdziała ruchowi. Jeżeli natomiast winda zjeżdża w dół, to moment oporowy staje się momentem czynnym; „pomaga” temu ruchowi, a silnik może oddawać energię do źródła. Innym przykładem jest siła spowodowana odkształceniem sprężystym elementu maszyny. W obydwu tych przypadkach mamy do czynienia z energią potencjalną. W przypadku windy – z energią potencjalną związaną z polem grawitacyjnym, w przypadku elementu maszyny – z energią potencjalną odkształceń sprężystych. Energia ta jest najpierw akumulowana, a następnie może być oddana.
Dyskusję na temat członu Me występującego w równaniu ruchu układu napędowego należy rozpocząć od wyróżnienia statycznych i dynamicznych charakterystyk silnika elektrycznego. Charakterystyka statyczna silnika to taka, którą uzyskano na hamowni zmieniając bardzo wolno obciążenie silnika. „Bardzo wolno” oznacza, że zmiana obciążenia nie powoduje ani zauważalnych momentów dynamicznych (przyspieszeń), ani procesów przejściowych w silniku. Charakterystykę statyczną silnika indukcyjnego pokazano schematycznie na rys.3.3. W przybliżeniu jest ona
opisana tzw. wzorem Klossa
(3.2)
gdzie s oznacza tak zwany poślizg, równy
(3.3)
- prędkość kątowa,
- prędkość kątowa synchroniczna.
Symbole ωk , sk , Mk oznaczają krytyczna prędkość kątową, krytyczny poślizg i krytyczny (maksymalny) moment silnika. Poślizg krytyczny można obliczyć ze wzoru
gdzie Mn oznacza moment znamionowy. Dla poślizgów znacznie mniejszych od poślizgu krytycznego zachodzi zależność sk/s >>s/sk , dzięki czemu wzór Klossa można napisać w postaci
. (3.4)
Podstawiając (3.3) do (3.2) a następnie do (3.4) otrzymuje się
(3.2a)
oraz
(3.4a)
Charakterystyka statyczna silnika innego niż indukcyjny ma oczywiście odmienną postać, jednak jest to zawsze zależność algebraiczna wiążąca moment Me z prędkością kątową silnika.
Rozpatrzmy najpierw najprostszy przypadek równania ruchu. Odpowiada on założeniu, że obydwa momenty, Me i M0, mają wartości stałe. Zastosujmy to założenie do oszacowania czasu rozruchu silnika indukcyjnego. Przyjmijmy, że moment M0 jest znany i mniejszy od momentu rozruchowego Mr (rys.3.3). W czasie rozruchu prędkość kątowa wzrasta od do , gdzie oznacza prędkość ruchu ustalonego, czyli sytuację, w której Me = M0. Korzystając z charakterystyki silnika można powiedzieć, że rozruch rozpoczyna się od punktu (0, Mr) i kończy w punkcie (, M0). Symbol Mr oznacza moment rozruchowy silnika. Przyjmijmy, i jest to istota uproszczenia, że w czasie rozruchu moment silnika jest stały i wynosi
.
Równanie (3.1) przyjmuje postać
Zauważmy, że równanie to umieją (ściśle: powinni umieć) rozwiązać uczniowie szkół średnich, gdyż opisuje ono ruch obrotowy jednostajnie przyspieszony. My rozwiążemy to równanie nieco „mądrzej”, czyli, jak niżej
gdzie C jest stałą, która należy obliczyć z warunku początkowego: dla t = 0 jest ω = 0. Uzyskuje się
Rozruch, którego czas wynosi tr , kończy się gdy prędkość osiągnie wartość . Stąd wynika czas rozruchu
(3.5)
Zadanie
O jaki kąt obróci się w czasie rozruchu wał silnika?
Uzyskanemu rozwiązaniu można zarzucić, że w rzeczywistości moment silnika nie jest stały, a więc przyspieszenie też nie jest stałe. Rozwiązanie to ma jednak ogromną zaletę: jest proste. W technice bardzo często przedkłada się prostotę rozwiązania nad jego dokładność.
Zastosujmy dokładniejszy opis analityczny silnika indukcyjnego, czyli równanie (3.4a), do rozwiązania problemu zdefiniowanego poniżej. Niech w układzie napędowym, który znajduje się w stanie ustalonym zmieni się, w chwili t = 0, moment oporowy z M01 na M02. Z równania (3.4a) wynika, że momentowi M01 odpowiada prędkość kątowa
gdzie
Równanie ruchu ma więc postać
czyli
Oznaczając
otrzymujemy równanie
którego rozwiązaniem jest
Korzystając z warunków początkowych (dla t = 0 jest ω = ω1) otrzymuje się
Zauważmy, że gdy to , co pozwala uzyskać rozwiązanie końcowe w postaci
(3.6)
Silnik indukcyjny ma następujące parametry: Moc znamionowa 17 kW, obroty znamionowe 1460 obr/min, moment rozruchowy 128 Nm, moment krytyczny 220 Nm. Silnik jest początkowo obciążony momentem 50 Nm. W pewnej chwili obciążenie wzrasta gwałtownie do wartości 125 Nm. Narysować wykres obrazujący zależność prędkości kątowej od czasu aż do chwili, w której osiągnięta prędkość będzie wynosić 99,5% prędkości ω2. Jakie wnioski wynikają z rozwiązania?
Zależność (3.5) dotycząca rozruchu została wyprowadzona przy założeniu, że moment silnika jest stały, a zależność (3.6) dotycząca skokowej zmiany momentu oporowego – przy założeniu, że moment silnika jest liniową funkcją jego poślizgu. Można byłoby zamiast tych założeń próbować wprowadzić do równania ruchu równanie Klossa, czyli wzór (3.2). Jednak zauważmy, że zgodnie z równaniem Klossa moment silnika jest nieliniową funkcja poślizgu, a więc nieliniową funkcją prędkości kątowej. Jest to poważne utrudnienie, gdyż równanie ruchu przestaje być równaniem liniowym. Większość równań nieliniowych nie ma rozwiązań, które można by było – tak jak (3.5) i (3.6) zapisać w postaci wzoru analitycznego. Nieliniowe równanie różniczkowe można rozwiązać, ale tylko numerycznie, a rozwiązanie numeryczne dotyczy konkretnego przypadku. Z tego powodu – jeżeli to tylko nie jest niezbędne – należy unikać założeń, które prowadzą do nieliniowych równań ruchu. Zalecenie to dotyczy nie tylko napędu elektrycznego.
Przyjmijmy, że ktoś „uparł się” wprowadzić wzór Klossa w postaci (3.2) lub (3.2a) do równania ruchu i oceńmy to postępowanie w przypadku analizy skokowej zmiany momentu oporowego.
...
bobex10