Rozkład łączny pary zmiennych losowych
określonych na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych:
, A - dowolny podzbiór zbioru par wartości zmiennych X, Y.
Definicja. Dystrybuantą zmiennej losowej nazywamy funkcję
,
gdzie
Twierdzenie. Łączny rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej określony jest jednoznacznie przez jej dystrybuantę.
Funkcja prawdopodobieństwa ( łącznego ) dwuwymiarowej zmiennej losowej dyskretnej:
.
Własności:
(i) , dla dowolnej pary wartości ,
(ii) ,
(iii) ,
(iv) .
Przykład. W każdym z dwóch etapów teleturnieju można otrzymać 0, 1, lub 2 punkty. Niech zmienne losowe X, Y oznaczają liczby punktów uzyskane w etapie I i II, odpowiednio, przez losowo wybranego
uczestnika. Funkcję prawdopodobieństwa łącznego określa tabela:
YX
0
1
2
0,5
0,05
0,01
0,2
0,1
0,06
0,02
0,03
A
Znaleźć:
(a)
(b)
(c) .
(a) = 1. Stąd
= A = 1 – ( 0,5 + 0,05 + 0,01 + 0,2 + 0,1 +
+ 0,06 + 0,02 + 0,03 ) = 1 – 0,97 = 0,03.
(b) =
= 0,01 + 0,06 + 0,03 = 0,1.
(c) = =
= =
= 0,5 + 0,05 + 0,2 + 0,1 = 0,85.
Zmienna losowa ( jest dwuwymiarową ciągłą zmienną losową, jeśli jej łączny rozkład prawdopodo- bieństwa określony jest przez funkcję gęstości łącznej
( łączną gęstość prawdopodobieństwa ), taką że
(i)
(ii)
(iii)
W szczególności dla :
= .
, , .
gdy .
=
= ?
Niech będzie dwuwymiarową zmienną losową o rozkładzie prawdopodobieństwa określonym przez funkcję ( funkcja prawdopodobieństwa lub gęstość ).
Rozkład brzegowy = rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X lub zmiennej losowej Y.
(a) dla dyskretnych zmiennych X, Y , brzegowe funkcje prawdopodobieństwa są postaci
(b) dla ciągłych zmiennych X, Y , brzegowe gęstości są postaci
D. (a) =
(b) = =
. Stąd
Przykład. Dwuwymiarowa zmienna losowa ma gęstość
gdy
Znaleźć gęstość zmiennej losowej X.
Niech .
Gęstość zmiennej losowej Y ma identyczną postać.
(a) Niech będzie dyskretną zmienną losową mającą funkcję prawdopodobieństwa .
Niech y – ustalone oraz .
Rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem, że Y = y określa warunkowa funkcja prawdopodobieństwa:
= , x – dowolna wartość zmiennej X.
funkcja prawdopodobieństwa zmiennej X pod warunkiem, że zmienna Y przyjęła wartość y.
Analogicznie:
= = , gdzie.
Notacja:
(b) Niech będzie ciągłą zmienną losową o łącznej gęstości .
Warunkową gęstością prawdopodobieństwa zmiennej
...
anaa08