Zakres Analiza Matematyczna 2.pdf

WojciechMa¢kowiak

2lipca2004roku

ZagadnieniazanalizyII

I Pochodnafunkcji.

1.Pochodnafunkcji.Interpretacjageometryczna.Funkcjeró»niczkowalneaci¡gło±¢.

2.Pochodne:sumy,iloczynu,ilorazufunkcji.Pochodnazło»eniafunkcji.Pochodnafunkcjiodwrotnej.

3.TwierdzeniaRolle’a,Lagrange’a,Cauchy’ego.

4.Porównaniefunkcjipochodnychzfunkcjamici¡głymiifunkcjamizwłasno±ci¡Darboux.

5.Zastosowaniepochodnychdoobliczaniagranicyilorazufunkcji(Reguład’Hospitala)

6.Ró»niczkowalno±¢granicyci¡gu(szeregu)funkcyjnego.

II Pochodnewy»szychrz¦dów.

1.Pochodnewy»szychrz¦dów.Funkcjeklasy C n .

2.TwierdzenieTaylora.WzórMacLaurina.

3.SzeregiTayloraiMaclaurina.ProblemrozwijaniafunckjiwszeregMaclaurina.

4.Pochodneaekstremalokalnefunkcji.

III CałkaRiemanna.

1.KonstrukcjacałkiRiemanna.DolnaigórnacałkaRiemanna.

2.FunkcjeR-całkowalne.Warunekrównowa»nycałkowalno±ci(Przykładyfunkcjiniecałkowalnych).

3.Twierdzeniaocałkowalno±cifunkcji:ci¡głych,monotonicznych,zło»eniafunkcjici¡głejicałkowalnej.

Całkowalno±¢granicyci¡gufunkcji.

4.Podstawowewłasno±cicałkiRiemanna.Twierdzenieowarto±ci±redniej.

5.Podstawowetwierdzenierachunkucałkowego.Funkcjepierwotne.Zwi¡zekmi¦dzyfunkcj¡pierwotn¡a

całk¡.

6.Twierdzeniaocałkowaniuprzezcz¦±ciiprzezpodstawienie.

7.Całkaniewła±ciwa.

8.Zastosowaniecałkiwgeometrii(poleobszarunormalnego,obj¦to±¢bryłobrotowych,polepowierzchni

bocznej,długo±¢łuku).

IV SzeregiFouriera.RozwijaniefunkcjiwszeregFouriera.

V Zbie»no±cici¡gówfunkcyjnych.

1.Własno±cirodzinfunkcji(jednakowaci¡gło±¢,punktowaograniczono±¢iichzastosowania).

2.TwierdzenieWeierstrassa.

3.TwierdzenieStone’a-Weierstrassa.