Wyk+éad - schemat arbitra+-owy.pdf - TeoriaGier - cathal30

Teoria Gier i Decyzji

Wykład : dwuosobowe gry kooperacyjne

W poprzednich częściach wykładu rozwaŜaliśmy gry w których reguły w swej

istocie albo zakazywały (gry o sumie zero) bądź nie nakazywały graczom zarówno

porozumiewania się przed grą, jak i zawierania wiąŜących umów. W tej części

wykładu zwrócimy całą uwagę na taką moŜliwość: rozwaŜać będziemy gry w których

kooperacja wynika z przyjętych reguł. W szczególności zakładamy, Ŝe:

(a)

wszystkie wiadomości poprzedzające grę, formułowane przez

jednego gracza, są przekazywane bez zniekształceń drugiemu

graczowi,

(b)

wszystkie umowy są wiąŜące i wymuszane siłą przez reguły gry

(c)

wartościowanie przez gracza wyników gry nie ulega

zniekształceniom wskutek negocjacji przed grą.

PoniewaŜ większość przykładów będzie sugerowała, Ŝe kooperacja jest

korzystna dla wszystkich nią objętych, przypomnijmy, Ŝe moŜna skonstruować takie

gry, w których moŜna się spodziewać, Ŝe jeden z graczy odmówi wzięcia udziału w

negocjacjach, poniewaŜ jego zgoda na współpracę poddałaby go realnym groźbom bez

równoczesnej korzyści dla niego. Chcemy przez to powiedzieć, Ŝe zgoda na rokowania

moŜe zaleŜeć od względów strategicznych; teraz jednak załoŜymy, Ŝe rokowania są

przymusowe.

Większość autorów przyjmuje, Ŝe jeŜeli takie problemy ekonomiczne, jak

rozmowy między pracownikami a dyrekcją, umowy handlowe między dwoma

państwami itp. moŜna traktować jako gry, to naleŜy to robić w kontekście

kooperacyjnym. Podobnie moŜna się spodziewać, iŜ okaŜe się moŜliwe podanie

modeli gier kooperacyjnych, które będą odzwierciedlały ograniczone aspekty

stosunków dyplomatycznych między dwoma państwami lub teŜ konfliktów

politycznych między dwiema partiami. Przy obecnym stanie teorii gier jesteśmy

sceptycznie nastawieni do poglądu, Ŝe wiele takich problemów moŜna poddać

realistycznej analizie formalnej.

Rozwiązania w sensie von Neumanna i Morgensterna.

RozwaŜmy ponownie macierz wypłat gry walka płci

( ) (

−

)

) ( )

(

−

Dla kaŜdego punktu zakreskowanego obszaru R istnieje para strategii

mieszanych ( A , B ) taka, Ŝe wypłaty [ M 1 ( A , B ), M 2 ( A , B ) ] są współrzędnymi tego punktu

i na odwrót, dla kaŜdej pary strategii mieszanych odpowiednia para wypłat określa

punkt w obszarze zakreskowanym.

JeŜeli gra ta jest powtarzana w czasie, to jest rzeczą rozsądną dla obu graczy

wybierać zgodnie co drugi raz strategię pierwszą i strategię drugą. Prowadzi to na

przemian do wypłat (2, 1) i (1, 2), wypłata zaś średnia wynosi

. Tej

oczekiwanej wypłaty nie moŜna osiągnąć w jednej próbie, jeŜeli gracze losują bez

jakiegokolwiek porozumienia się przed grą; jednak, gdy wolno im się porozumiewać,

to mogą osiągnąć wartość oczekiwaną wypłaty równą

w jednej próbie, a

mianowicie przez rzut monetą, który zdecyduje czy wybrać (A 1 , B 1 ) czy (A 2 , B 2 ). A

zatem przez uzgadniania swych strategii mieszanych, co jest moŜliwe przy

porozumiewaniu się przed grą, gracze mogą rozszerzyć swój potencjalny obszar

wypłat w tej grze. Nazwijmy obszar, który powstaje przez rozwaŜenie wszystkich

skorelowanych strategii mieszanych obszarem R’ .

Przypuśćmy, Ŝe obszar R’ pewnej gry ma kształt pokazany na rysunku poniŜej.

Działając wspólnie, gracze mogą osiągnąć kaŜdy punkt R’ jako wypłatę. Punkt

A= (u, v) z R’ jest łącznie dominowany przez inny punkt A`= (u’, v’) z R’ , jeŜeli u’ ³ u i

v’ ³ v . Gracze nie potrzebują rozwaŜać Ŝadnego punktu, który jest łącznie

dominowany przez inny punkt z R’ . A zatem moŜna się spodziewać, Ŝe jeŜeli są oni

rozsądni, to po wstępnych rokowaniach ograniczają swoją uwagę do wyników łącznie

niedominowanych , które w tym przypadku tworzą linię abcd obszaru R’ . Te wyniki

niedominowane zwane są zbiorem optymalnym w sensie Pareto ( łącznym zbiorem

maksymalnym) obszaru R’ . Podkreślmy jeszcze raz, Ŝe załoŜenie o wiedzy graczy w

tej grze mówi, iŜ obszar R’ oraz łączny zbiór maksymalny są znane kaŜdemu z graczy.

Gracz I chciałby oczywiście wynegocjować takie strategie aby zrealizować

wypłaty z punktu d , a gracz II – z punktu a . Co więcej, na zbiorze Pareto preferencje

graczy są ściśle przeciwstawne i dlatego, po ograniczeniu się do rozwaŜania łącznego

zbioru maksymalnego, gracze nie mogą juŜ współpracować dalej w celu osiągnięcia

wspólnych korzyści. Niemniej jednak, chociaŜ kaŜdy gracz woli punkt końcowy

zbioru Pareto, łatwo zauwaŜyć, Ŝe Ŝądania tego rodzaju są na ogół całkowicie

nierealne. Traktując grę jako niekooperacyjną, gracz I moŜe na przykład zapewnić

sobie kwotę v 1 , a gracz II – kwotę v 2 będące wartościami maksyminowymi (czyli ich

poziomami bezpieczeństwa - do obliczenia tych wartości potrzebna jest oczywiście

macierz wypłat).

Byłoby rzeczą nierozsądną przypuścić, Ŝe któryś z graczy zgodzi się w

negocjacjach na mniej niŜ swoją wartość maksyminową – wszak tyle moŜe sam soie

zapewnić niezaleŜnie od tego co zrobi gracz drugi. Punkty zbioru Pareto dające

kaŜdemu graczowi co najmniej tyle, ile moŜe zapewnić sobie sam przez stosowanie

strategii maksyminowych tworzą tak zwany obszar negocjacji . Obszar ten będziemy

oznaczali przez N . Na naszym rysunku obszar jest częścią linii oznaczonej przez ebcf .

Teoria gier dwuosobowych kooperacyjnych, podana przez von Neumanna i

Morgensterna, wyróŜnia obszar negocjacji jako „rozwiązanie kooperacyjne” gry.

Inaczej mówiąc, gracze działają wspólnie w celu usunięcia wszystkich łącznie

dominowanych par wypłat i wszystkich niedominowanych wypłat, które dają

któremuś z nich mniej niŜ moŜe sobie sam zapewnić bez kooperacji. Von Neumann i

Morgenstern uwaŜają, Ŝe rzeczywisty wybór wyniku z mnóstwa punktów obszaru

negocjacji N zaleŜy od pewnych aspektów psychologicznych graczy, które są waŜne

przy targowaniu się graczy. Przyznają oni, Ŝe rzeczywisty wybór punktu ze zbioru N

jest zagadnieniem niezmiernie intrygującym, ale uwaŜają, iŜ dalsze spekulacje w tym

kierunku nie są juŜ natury matematycznej.

To, w jaki sposób traktuje się grę kooperacyjną, zaleŜy w duŜej mierze od tego,

którą z niŜej podanych moŜliwości przyjmiemy:

(a)

wypłaty podane są jako uŜyteczności, nie jest dozwolone Ŝadne

międzyosobowe porównywanie uŜyteczności

(b)

wypłaty rozumiane są jako uŜyteczności, międzyosobowe

porównywanie uŜyteczności jest sensowne

(c)

wypłaty są pienięŜne, uŜyteczność jest funkcją liniową pieniędzy,

międzyosobowe porównania uŜyteczności mają sens

We wszystkich przypadkach zakłada się, iŜ gracze znają wszystkie wypłaty i Ŝe

porozumiewanie się przed grą nie zmienia uŜyteczności.

Schematy arbitraŜowe.

MoŜna załoŜyć, Ŝe gracze rozgrywając grę kooperacyjną dochodzą do

wyodrębnienia obszaru negocjacji i w tym momencie nie mogą juŜ dojść do

porozumienia, który z punktów rozwiązania gry naleŜących do tego obszaru uznać za

rozwiązanie ostatecznie. Wiadomym jest, Ŝe prowadzi to do sytuacji patowych, w

których jedynie uŜycie groźby zerwania kooperacji przez jedna ze stron moŜe

przełamać impas w negocjacjach.

W takich sytuacjach w praktyce zwykle gracze odwołują się do arbitra (np.

sądu, autorytetu itp.) Zwykle zakładamy , co jest naturalne, Ŝe gracze zgodzą się

jedynie na arbitra, który w sposób bezstronny i uczciwie rozstrzygnie konflikt przez

sugestię dotyczącą ewentualnego rozwiązania. MoŜemy się spodziewać, Ŝe arbiter

szczerze potraktuje swoje zadanie reprezentowania dla obu graczy „uczciwości”, nie

ma jednak jak dotąd Ŝadnych prostych oczywistych kryteriów „uczciwości”.

Oczywistym jest, Ŝe arbiter powinien kierować się w swym osądzie zasadami

uznanymi przez obie strony. ZałóŜmy, Ŝe mamy do czynienia z dwiema róŜnymi

sytuacjami konfliktowymi i Ŝe kaŜdy zgadza się co do tego, iŜ gracz I wychodzi

strategicznie lepiej w pierwszej sytuacji niŜ w drugiej; wtedy arbiter nie powinien dać

graczowi mniej w pierwszej sytuacji niŜ w drugiej. Krótko mówiąc, arbiter będzie

próbować spełniać pewne warunki zgodności. W dodatku będzie jemu zaleŜało na

moŜliwości obrony sugerowanych przez niego rozwiązań. Wszystko to znaczy, Ŝe

arbiter powinien być przygotowany do sformułowania i obrony podstawowych zasad,

na jakich opierał sugerowane przez siebie kompromisy. Jak się dłuŜej nad tym

zastanowić, to dochodzimy do wniosku, Ŝe idealny arbiter to nie „osoba” ale

„mechanizm – przepis” pozwalający „sprawiedliwie i uczciwie” wskazać wypłaty dla

obu graczy, czyli punkt obszaru negocjacji do którego maja dąŜyć gracze.

NiezaleŜnie od wprowadzonych zasad, efektem końcowym jest

przyporządkowanie kaŜdemu moŜliwemu konfliktowi interesów pojedynczego wyniku.

A zatem definiujemy:

Schemat arbitraŜowy to funkcja, która przyporządkowuje grze dwuosobowej

nieściśle konkurencyjnej jedną jedyną wypłatę dla graczy. Wypłatę tę interpretuje się

jako arbitraŜowe lub kompromisowe rozwiązanie gry.

MoŜna oczywiście powiedzieć, iŜ istnieje nieskończenie wiele takich funkcji.

KaŜdy z moŜliwych schematów arbitraŜowych moŜe w sposób odmienny realizować

Wyk+éad - schemat arbitra+-owy.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: