Kolokwium z algebry II
Imię i Nazwisko...................................................................................................
1. Wyznaczyć bazę ortogonalną przestrzeni wielomianów stopnia nie większego od 2 z iloczynem skalarnym określonym wzorem
.
2. Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora x na podprzestrzeń W, gdzie:
, .
3. Dla jakiej wartości parametru mÎR przekształcenie liniowe określone wzorem
jest izometrią liniową?
4. Narysować zbiór M określony układem nierówności:
a) Wyznaczyć wierzchołki zbioru M.
b) Czy , gdzie ? Odpowiedź uzasadnić.
5. Wyznaczyć wszystkie promienie ekstremalne stożka wypukłego określonego układem nierówności:
Kolokwium z algebry ii
Imię i Nazwisko...............................................................................
1. Wyznaczyć odległość wektora x od podprzestrzeni W, gdzie:
2. Wyznaczyć bazę ortogonalną przestrzeni W2 wielomianów stopnia nie większego od 2 z iloczynem skalarnym określonym wzorem
3. Narysować zbiór A2, jeśli Am jest zbiorem określonym układem nierówności
Wyznaczyć w zależności od m Î R liczbę wierzchołków zbioru Am.
4. Niech X będzie stożkiem określonym układem nierówności
a) Wykazać, że X jest stożkiem wypukłym.
b) Wyznaczyć wszystkie promienie ekstremalne stożka X.
5. Niech , gdzie g jest bijekcją, bedą przekształceniami liniowymi. Czy z warunku, że jest izometrią liniową wynika, że f jest izometrią liniową. Odpowiedź uzasadnić.
5. Niech , gdzie f jest bijekcją, bedą przekształceniami liniowymi. Czy z warunku, że jest izometrią liniową wynika, że g jest izometrią liniową. Odpowiedź uzasadnić.
23 listopada 1999
Imię i Nazwisko............................................................................Nr indeksu...............
1. Wykazać, że funkcjonał dwuliniowy
,
jest symetryczny. Wyznaczyć bazę przestrzeni , w której g ma macierz diagonalną.
2. Zbadać, w zależności od wartości parametru mÎR, określoność formy kwadratowej
3. Obliczyć cosinus kąta między wektorami , , jeśli i kąt między wektorami x i y jest równy .
4. Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora x na podprzestrzeń W, jeśli:
5. Niech x i y będą wektorami niezerowymi. Udowodnić, że jeśli
to wektory x i y są liniowo zależne. Czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne?
12.01.1999
Imię i Nazwisko.........................................................................................................
1. Obliczyć odległość między „wektorami” , w przestrzeni wszystkich wielomianów (nad ciałem liczb rzeczywistych) z iloczynem skalarnym określonym wzorem
2. Wyznaczyć bazę ortogonalną przestrzeni .
3. Niech dla k =1,2,3, , . Czy A i B są:
a) zbiorami wypukłymi,
b) stożkami,
c) stożkami wypukłymi?
Odpowiedź uzasadnić.
4. Wyznaczyć wszystkie promienie ekstremalne stożka określonego układem nierówności
5. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru m Î R, dla których spełniony jest warunek
gdzie .
4. Wyznaczyć wszystkie promienie ekstremalne stożka określonego układem...
nakaszatanka