1

Wykład 6 12.11.2009

Twierdzenie o wzajemności  (oczkowe) :

Jeżeli w liniowym, jednoźródłowym obwodzie elektrycznym włączone do gałęzi  m, źródło napięcia  Em  wywołuje w gałęzi  n  prąd  In , to źródło to umieszczone w gałęzi  n,   wywoła w gałęzi m  przepływ prądu   Im  =  In

Przykład

Wyznaczyć natężenie prądu w gałęzi  „5”   jeśli podano: E  =  15 V,  R1 = 2Ω,  R2 = 2Ω, R3 = 3Ω, R4 = 6Ω,

R5 = 2Ω.

Rysując inaczej mamy

R34  =  =  18/9  =  2Ω

R12  = =  1Ω

R51234  =  2 + 2 + 1  =  5Ω

I5  =     =  15/5  =  3A

I4   =   I5    =  3    =  1A

I2  =   I5    =  3    =  1.5  A

--------------------------------------------

I    =  I4  -  I2  =   - 0, 5   =   I5 z rysunku   1

Twierdzenie o wzajemności ( węzłowe )

Jeżeli w liniowym, jednoźródłowym obwodzie elektrycznym,  włączone między węzłami a - b źródło prądu Jab  wywołuje między węzłami   c - d   napięcie   Ubc , to źródło to umieszczone między węzłami   c - d   wywoła między węzłami  a – b  napięcie  Uab  ( = Ucd ).

Przykład

W podanym obwodzie wykorzystać twierdzenie o wzajmności

do obliczenia napięcia  U5. Podano: J  =  3 A, R0  =  10Ω,

R1 = 2Ω, R2 = 2Ω, R3 = 3Ω, R4 = 6Ω,  R5 = 2Ω.

W myśl twierdzenia o wzajemności rysujemy obwód:

Oporność zastępcza z zacisków źródła

  =    =

Napięcie źródła prądu

UJ  =   RZ  J   =  V

I1  =    =    =   4/3 A  ;         U1  =  R1 I1   = 

I2  =      =   =     ;     U2  =   R2  I2  = 

-----------------------------------------------

Dla rysunku   1

U5  =  U1  -  U2   =   1  V   ;   I5   =   

Przekształcenie trójkąt – gwiazda

Przekształcenie gwiazda – trójkąt  polega na zastąpieniu trójnika oporowego o zaciskach       1,  2,  3 ,  o strukturze trójkąta, równoważnym trójnikiem o strukturze gwiazdy  ( bądź na odwrót ).  Trójniki są równoważne  gdy  dowolnemu zbiorowi dwóch napięć i związanemu z nim zbiorowi dwóch prądów jednego trójnika ,  odpowiada identyczny zbiór napięć i prądów drugiego trójnika.

Zgodnie z NPK;

U12  +  U23  +  U31  =  0

z równania wynika że

niezależne są dwa

napięcia trójnika

PPK daje związek

I1  +   I2 +   I3  =  0

Widać że tylko dwa prądy

są niezależne

Wybiera się przypadek gdy  I3  =  0,  trójniki stają się dwójnikami .

Stosunek dowolnie wybranego napięcia  U12  do odpowiadającego mu prądu I1 , w obu dwójnikach musi być taki sam:

  =    R1  +  R2    =                              1          

dla  I2  =  0

                R1  +  R3   =                               2    

dla  I1  =  0

              R2  +  R3   =                                3    

Dodając pierwsze równanie do drugiego, odejmując trzecie , dzieląc przez   2   mamy:

R1   =       :    R2   =       :    R3   =      

dla symetrycznego trójkąta:  tj. gdy   R12  =  R23  =  R31  =  R∆  , elementy gwiazdy mają taką samą oporność

R1  =  R2  =  R3   =          RY   =   

Elementy trójnika o strukturze trójkątowej wynoszą:

R12  =  ; R23  =  ;  R31  =

Przykład

Wyznaczyć natężenie prądu w gałęzi  „5”   jeśli podano: E  =  15 V,  R1 = 2Ω,  R2 = 2Ω, R3 = 3Ω, R4 = 6Ω,

R5 = 2Ω. Zastosować metodę transfiguracji .

Dla węzła    PPK daje równanie

I5   =    I4  -   I3   

Ze schematu i danych wynika , że elementy  R1 , R2 , R5  tworzą

gwiazdę symetryczną. Zostanie zastąpiona połączeniem trójkątowym

R∆   =  3 RY   =    6 Ω

RΔ13  =    =  = 2Ω

RΔ24  =    =    =  3Ω

RΔ1234  =  RΔ13   +  RΔ24  =  5Ω

I  =     =     =  3A

Z dzielnika prądu

I3  =    I  =    3  =  2A

I4  =    I  =   3   =  1,5A

I5  =   I4  -   I3  =   - 0,5 A

Twierdzenie o kompensacji

W obwodzie elektrycznym, w którym na wyróżnionym dwójniku „d”  występuje napięcie Ud oraz płynie prąd  Id ,  pozostałe w obwodzie napięcia i prądy nie ulegną zmianie, jeśli dwójnik zastąpimy źródłem napięcia o napięciu  E  =  Ud  lub źródłem prądu o wydajności prądowej

J  =  Id .

...