równania wymierne.pdf

Równania wymierne

dr Lidia St¦pie«

Akademiaim.JanaDługosza

ul.ArmiiKrajowej13/15,42-200Cz¦stochowa

e-mail:l.stepien@ajd.czest.pl

1 Deﬁnicja i przykłady

W 2 (x) = 0,

gdzieW 1 (x)orazW 2 (x)s¡wielomianami,W 2 (x) 6 0,nazywamyrów-

naniem wymiernymzniewiadom¡x.Dziedzin¡równaniawymiernegojest

zbiórwszystkichliczbrzeczywistychzwył¡czeniemtych,któres¡miejscami

zerowymiwielomianuW 2 (x):D= R fx:W 2 (x) = 0g.

Metody rozwi¡zywania równa« wymiernych:

Aby rozwi¡za¢ równanie wymierne:

• okre±lamy dziedzin¦ równania;

• rozkładamy mianowniki na czynniki;

• mno»ymy obie strony równania przez takie wyra»enie, które pozwoli

pozby¢ si¦ mianowników;

• uwzgl¦dniaj¡c dziedzin¦, wyznaczamy zbiór rozwi¡za« równania.

Przykład 1.1Rozwi¡»myrówania

([3])

x+1 =

x1 ;

x2 = x+3

x3 +

x 2 5x+6 ;

x4 4

x+4 = x 2 +16

x 2 16 .

Deﬁnicja 1.1 ([3])Równanie,któremo»nazapisa¢wpostaci W 1 (x)

I sposób ([3])

a) x

b) x+2

c) 4

ad. a) Wyznaczamy dziedzin¦ równania. W tym celu okre±lamy, dla jakich

x2 R

x+ 1 6= 0

x 1 6= 0

. St¡d

x6= 1

. Zatem dzie-

dzina rozwa»anego równania to:

D= R f1;1g

. Skorzystamy w tym

przypadku z własno±ci proporcji:

b = c d ,ad=bc

b6= 0

d6= 0

otrzymujemy: x

x+ 1

x 1 ^x2 R f1;1g,

x(x 1) = 2x(x+ 1) ^x2 R f1;1g,

= 2x

x(x 1) 2x(x+ 1) = 0 ^x2 R f1;1g,

x[(x 1) 2(x+ 1)] = 0 ^x2 R f1;1g,

x[x 1 2x 2] = 0 ^x2 R f1;1g,

x[x 3] = 0 ^x2 R f1;1g,

x= 0 _x= 3

Odpowied¹:

Rówaniemadwarozwi¡zania,liczby0i3

ad. b) Wyznaczamy dziedzin¦ równania. W tym celu okre±lamy, dla jakich

x2 R

x 2 6= 0

x 3 6= 0

x 2 5x+ 6 6= 0

. St¡d

x6= 2

x6= 3

x 1 = b p

i poniewa»

=b 2 4ac= (5) 2 4 1 6 = 25 24 = 1

x 2 = b+ p

2a =

21 = 2

2a =

5+1

21 = 3

. Ostatecznie

D= R f2;3g

. Otrzymujemy:

x+ 2

x 2

= x+ 3

x 3 +

x 2 5x+ 6 ^x2 R f2;3g,

x+ 2

x 2

= x+ 3

x 3 +

(x 2)(x 3) ^x2 R f2;3g,

x 2 x+ 3

x 3

(x 2)(x 3)

= 0= (x 2)(x 3) ^x2 R f2;3g,

x 2 2 = 0 ^x2 R f2;3g,

x 2 3x+ 2x 6 (x 2 2x+ 3x 6) 2 = 0 ^x2 R f2;3g,

x 2 x 6 x 2 x+ 6 2 = 0 ^x2 R f2;3g,

x 3 x+ 3

2x 2 = 0 ^x2 R f2;3g,

x= 1

Odpowied¹:

Równaniemajednorozwi¡zanie,liczb¦1

x+ 2

ad. c) Wyznaczamy dziedzin¦ równania. W tym celu okre±lamy, dla jakich

x2 R

(x4)(x+ 4) 6= 0

. Zatem

D= R f4;4g

. Otrzymujemy:

x 4

x+ 4

x 2 16 ^x2 R f4;4g,

x 4

x+ 4

= x 2 + 16

(x 4)(x+ 4) ^x2 R f4;4g,

x 4

x+ 4 x 2 + 16

= 0= (x 4)(x+ 4) ^x2 R f4;4g,

(x 4)(x+ 4)

4(x+ 4) 4(x 4) (x 2 + 16) = 0 ^x2 R f4;4g,

4x+ 16 4x+ 16 x 2 16 = 0 ^x2 R f4;4g,

x 2 + 16 = 0 ^x2 R f4;4g,

1(x 4)(x+ 4) = 0 ^x2 R f4;4g,

(x= 4 _x= 4) ^x2 R f4;4g,

x 2; :

Odpowied¹:Równaniesprzeczne(brakrozwi¡za«).

II sposób Aby rozwi¡za¢ równanie wymierne:

• okre±lamy dziedzin¦ równania;

• rozkładamy mianowniki na czynniki;

• przenosimy wszystko na lew¡ stron¦;

• ustalamy wspólny mianownik;

• rozszerzamy wszystko do wspólnego mianownika i zapisujemy na jednej

kresce ułamkowe;j

• przyrównujemy licznik do zera (ułamek = 0 wtedy, gdy licznik = 0 ) i

rozwi¡zujemy otrzymane równanie liniowe, kwadratowe lub wielomia-

nowe

• uwzgl¦dniaj¡c dziedzin¦, wyznaczamy zbiór rozwi¡za« równania.

,x 4 6= 0 ix+ 4 6= 0 i (korzystaj¡c ze wzoru skróconego

mno»enia)

= x 2 + 16

Przykład 1.2Rozwi¡»myrównanie: x

x2 +

x = 1.

Wyznaczamy dziedzin¦:

D= R f0;2g

. Nast¦pnie przenosimy wszystko na

jedn¡ stron¦:

x 2 + 2

x 1 = 0

i rozszerzamy do wspólnego mianownika

x 2 + 2(x 2) x(x 2)

x(x 2)

= 0:

Przyrównujemy licznik do zera:

x 2 + 2(x 2) x(x 2) = 0

i rozwi¡zujemy równanie liniowe:

x 2 + 2x 4 x 2 + 2x= 0:

St¡d

4x 4 = 0

i ostatecznie

x= 1:

Odpowied¹:

Uwzgl¦dniaj¡cdziedzin¦stwierdzamy,»eliczba1jestrozwi¡zaniem

równania.

2 Zadania

I. Rozwi¡» równania wymierne:

x+1 + x4

x1 = 1 [4]

x+2 +

x+3 = 1 [4]

x+3 +

x+2 = x+6

x 2 +5x+6 [4]

x1 x

x+2 =

x 2 +x2 [4]

2x2

x 2 +2x8 + x

x+4 = x+1

[4]

x3 + x2

x+1 = x 2 +x+12

x 2 2x3 [4]

*7.

x 3 +8 1

x 2 4

x 2 2x+4 [4]

*8.

x 2 +x 1 x 2 =

6x [4]

*9.

x 2 3x+2 +

x 2 4

x 2 4x+4 [4]

2x4

3x1

x 2 +8x2

x+1

*10.

x 2 x2

x 2 4x+4 =

x 2 +3x+2 [4]

*11.

x 2 +x2 +

x 2 3x+2

(x2) 2 (x+2) [4]

*12.

x 2 3x+2

x 2 x2 =

x 2 4x5

x 2 7x+10 [4]

*13.

x 2 +x12 x+5

x+9

= x1

x 2 9 [4]

x 2 x6

*14.

x 2 +2x3 +

x+1

x 2 1 =

2x 2 2x [4]

2x+1

*15.

x 2 5x+6 x+2

x+1

= x7

x 2 x6 x+4

x 2 +2x8 [4]

x 2 4

*16.

x 2 +4x+3 9x+2

6x+3

x 2 +5x+6 =

x 2 +5x+4 5x+2

7x+4

x 2 +3x+2 [4]

**17.

3x 2 9x

x 2 3x = 3

[4]

**18.x 2 4x 15

x 2 4x = 2 [4]

**19.

x 2 6x+3

= 2

[4]

**20.

x 2 +x3

2x 2 +2x6 = 1 [4]

21.

3x 6 x 5 +15x 4 5x 3 = 0

3x 2 9x 3

[1]

22.

x+2 = x+4

x3 [2]

23.

x1 x+2

x+5

= 1

[2]

24.

x2 +x=

12x

[2]

25.

x2 +

x+2

= 1

[2]

26.

x6 = 2x[2]

II.

Zadania z tre±ci¡

– przykłady zastosowania równa« wymiernych w »yciu

codziennym:

a) W ksi¡»ce jest 8400 wierszy, przy czym na ka»dej stronie znajduje si¦

jednakowa liczba wierszy. Gdyby t¦ ksi¡»k¦ wydrukowano w tskim for-

macie, »e na ka»dej stronie byłoby o 5 wierszy wi¦cej (rozmiar wiersza

taki sam), to liczba stron zmniejszyłaby si¦ o 30. Ile wierszy jest na

ka»dej stronie i ile stron ma ta ksi¡»ka? [3]

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: