Program “Obrazy matematyczne” służy do prezentacji obrazów matematycznych oraz do wykonywania własnych obrazów w postaci wykresów nierówności z dwiema niewiadomymi.
Po uruchomieniu programu wyświetlana jest plansza tytułowa oraz udostępnionych jest 5 następujących narzędzi:
Narzędzie “Demo-ENTER” służy do prezentacji gotowych obrazów matematycznych. Naciśnięcie klawisza Enter, w dowolnym momencie pracy programu, powoduje przerwanie dotychczasowej pracy i wyświetlenie kolejnego obrazu z kolekcji 20 gotowych obrazów.
Narzędzie “Pisaki-1, 2, 3” służy do zmiany grubości pisaka, którym rysowane są wykresy nierówności. Zmiany dokonuje się klawiszami 1, 2, 3. Pisak 1 rysuje grubością 1 piksela, pisak 2 grubością 2 pikseli, a pisak 3 grubością 3 pikseli.
Narzędzie “Paleta-P” zmienia paletę kolorów. Naciśnięcie klawisza “p” powoduje zamianę aktualnych kolorów na kolory z nowej palety. Ilość kolorów jest ogromna (kilka milionów), ale na ekranie widocznych jest jednocześnie 256 kolorów.
Narzędzie “Funkcja-F” służy do wprowadzania wzorów funkcji o dwóch zmiennych x, y. Wzory piszemy zgodnie z konwencją Turbo Pascala, z jednym wyjątkiem: funkcję pierwiastek piszemy “sqr” zamiast “sqrt”. Na końcu wzoru nie trzeba pisać zwrotu nierówności, ponieważ program sam dopisuje ten zwrot. Po wprowadzeniu wzoru program losuje nową paletę kolorów i zaznacza punkty, których współrzędne spełniają daną nierówność. Kolory punktów uzależnione są od wartości funkcji w danym punkcie. W czasie rysowania wykresu aktywne są opcje “Pisaki-1, 2, 3” i “Paleta-P”.
Narzędzie “ESC - wyjście” służy do zakończenia pracy programu i wyjścia do systemu operacyjnego.
W grze "PRÓŻNIAK" należy zamienić zielone kółka na czerwone. Aby tego dokonać należy naciskać myszką odpowiednie kółka i odkryć logiczną zasadę ich zamiany. Wersja komputerowa tej gry różni się od oryginału, którym jest francuski przyrząd stosowany w XVI wieku do zamykania skrzyń. Oto pierwszych 21 ruchów prawidłowej gry:
Aby zamienić wszystkie kółka należy wykonać jeszcze 64 ruchy. Z analizy powyższej gry wynika następująca zasada zamiany kółek: można zmienić kolor kółka tylko wtedy, gdy kółko stojące z lewej strony jest zielone a wszystkie poprzednie są czerwone. Tak więc, kolor 1-go kółka można zawsze zmienić, ponieważ nie ma kółek stojącego na lewo od niego. Kolor 2-go kółka można zmienić tylko wtedy, gdy 1-sze kółko jest zielone. Kolor 3-go kółka można zmienić tylko wtedy, gdy 2-gie kółko jest zielone a 1-sze czerwone. Kolor 4-go kółka można zmienić tylko wtedy, gdy 3-cie kółko jest zielone, a wszystkie wcześniejsze, czyli 2-gie i 1-sze są czerwone. Idąc tak dalej otrzymujemy wniosek, że ostatnie, 7-me kółko można zamienić na czerwone tylko wtedy, gdy 6-te kółko jest zielone a wszystkie poprzednie są czerwone. Taka właśnie sytuacja jest po 21-szym ruchu przedstawionym na rysunku. Zatem 22-gi ruch jest łatwy do wykonania, należy nacisnąć 7 kółko. Dalsze ruchy należy już wymyśleć i wykonać samodzielnie.
Gra w PIRATÓW
Grę rozpoczynamy od podania liczby piratów N. Najmniej może być 2 piratów najwięcej 200. Następnie podajemy ile sztuk złota przydzielamy każdemu piratowi o numerach 2, 3, ..., N. Po podaniu tych liczb komputer oblicza ile sztuk złota zostanie piratowi nr 1 (hersztowi), czyli grającemu, i przeprowadza głosowanie. Wynik głosowania podawany jest w postaci jednego z trzech następujących komunikatów:
1. "Podział przyjęty, ale nie zadbałeś o swój interes!". Oznacza to, że piraci zgodzili się z propozycją podziału złota ale grający mógł inaczej podzielić złoto i więcej uzyskać dla siebie. Grający może teraz nacisnąć ENTER i spróbować uzyskać lepszy wynik.2. "Niestety, podział odrzucony! Zostajesz wyrzucony za burtę!". Oznacza to, że piraci nie zgodzili się z taką propozycją podziału złota i herszt ląduje za burtą. Grający jednak nie traci życia i może nacisnąć ENTER i spróbować inaczej podzielić złoto.3. "Brawo! Podział przyjęty! Uzyskałeś dla siebie maksymalną ilość złota!". Komunikat ten oznacza, że grający uzyskał rekordowy wynik dla przyjętej liczby piratów. Można teraz rozpocząć nową grę z tą samą lub inną liczbą piratów.
Gra jest bardzo ciekawa a wyniki w niej są zaskakujące. Wydaje się, że przy tak demokratycznym podziale (poprzez głosowanie), podział będzie dość sprawiedliwy. Okazało się jednak, zupełnie coś innego. Jeśli piratów jest tylko dwóch to herszt nic nie daje drugiemu piratowi i bierze wszystko dla siebie. Chociaż drugi pirat głosuje przeciwko takiemu podziałowi to, zgodnie z zasadami gry, przy równej ilości głosów, podział jest przyjęty. Jeśli piratów jest trzech to herszt daje 1 sztukę ostatniemu, trzeciemu piratowi i całą resztę 99 sztuk bierze dla siebie. Trzeci pirat, ten który dostał 1 sztukę, głosuje za, ponieważ wie, że jeżeli herszta wyrzuci się za burtę, to złoto będzie dzielił drugi pirat i wszystko weźmie dla siebie. Jeśli piratów jest czterech to herszt daje 1 sztukę trzeciemu piratowi i całą resztę 99 sztuk bierze dla siebie. Trzeci pirat, ten który dostał 1 sztukę, głosuje za, ponieważ wie, że jeżeli herszta wyrzuci się za burtę, to złoto będzie dzielił drugi pirat i da jedną sztukę nie jemu a ostatniemu piratowi.
Zrozumienie takiego podziału wymaga od grajcego stosowania logiki i konsekwentnego trzymania się zasad gry.
Gra dla większej liczby piratów wymaga głębszej analizy i pozostawiamy ją do samodzielnego rozwiązania przez Czytelników. Okaże się, że istnieje pewna reguła podziału złota aż do 200 piratów. Dla większej ilości piratów sprawa jeszcze bardziej się komplikuje, ale są już opracowane teoretyczne podstawy podziału dla dowolnej liczby piratów.
Program “Wielościany foremne” służy do prezentacji wszystkich wielościanów foremnych oraz do pokazania zależności między tymi wielościanami.
Po uruchomieniu programu zgłasza się plansza tytułowa - rys.1.
Rys.1. Plansza tytułowa programu.
Po naciśnięciu klawisza Enter program automatycznie prezentuje kolejne etapy budowania wielościanów foremnych. Jest to animacja komputerowa, którą można zatrzymać w dowolnym momencie klawiszem “Pause”. Wznowienie pokazu uzyskujemy klawiszem Enter.
Kolejność prezentowanych wielościanów jest tak dobrana, aby można było z jednego wielościanu otrzymać następny wielościan poprzez obcinanie lub dobudowywanie odpowiednich figur.
Z sześcianu otrzymujemy czworościan foremny przez obcięcie niektórych naroży.
Z czworościanu otrzymujemy ośmiościan foremny również przez obcięcie niektorych naroży.
Z ośmiościanu otrzymujemy dwudziestościan foremny poprzez dobudowanie odpowiednich figur między wierzchołkami ośmiościanu.
Z dwudziestościanu otrzymujemy dwunastościan foremny poprzez dobudowanie odpowiednich ostrosłupów na niektórych ścianach dwudziestościanu.
Po prezentacji dwunastościanu program przedstawia ciekawy i mało znany sposób przekształcenia ośmiościanu w figurę płaską. Polega to na rozcięciu niektórych krawędzi ośmiościanu, tak, że ośmiościan stanowi w dalszym ciągu jedną figurę, ale po odpowiednim skręceniu tej figury otrzymujemy figurę płaską. Można tym sposobem zbudować model ośmiościanu i przechowywać go na płasko w zeszycie
Program “NIM” jest to gra umysłowa kształcąca logiczne rozumowanie i wyrabiająca umiejętności wykonywania działań na liczbach binarnych w zakresaie 9.
Po uruchomieniu programu zgłasza się plansza robocza i program oczekuje na wybór rozpoczynajcego grę - rys.1.
Rys.1.Plansza robocza programu.
Jeśli gracz chce aby komputer rozpoczął grę należy nacisnąć klawisz “K”. Każdy ruch komputera uzyskujemy naciskając klawisz ENTER.
Jeśli sami chcemy rozpocząć grę należy wybrać klawisz “G”. Wówczas program poprosi o wybranie wiersza z którego będziemy zabierać jabłuszka oraz o podanie ilości jabłuszek zabieranych z tego wiersza.
W każdym wierszu, obok narysowanych jabłuszek, podane są, w postaci dziesiętnej oraz w postaci binarnej, ilości tych jabłuszek. Postać binarna ma istotne znaczenie w strategii zwycięskiej tej gry. Aby odkryć tę strategię należy obserwować układ zer i jedynek w poszczególnych kolumnach i wywnioskować przy jakim ich układzie daje się wziąć ostatnie jabłuszko.
Gra toczy się aż do momentu, gdy gracz lub komputer zabierze ostatnie jabłuszko.
Jeśli chcemy zagrać jeszcze raz naciskamy klawisz “T”.
Pracę z programem można przerwać w dowolnym momencie, naciskając klawisz ESC, lub po zakończeniu gry, naciskając klawisz “N”.
Program “Test-XYZ” służy do nauki i sprawdzania umiejętności odczytywania współrzędnych punktów w przestrzennym układzie współrzędnych XYZ.
Po uruchomieniu programu zgłasza się on układem współrzędnych XYZ oraz czterema narzędziami: “Ćwiczenia”, “Test”, “Koniec pracy”, “Kalkulator”.
Narzędzie “Ćwiczenia” służy do nauki rozmieszczania punktów w układzie XYZ. Chcemy, np. umieścić punkt (-3, 4, 5) w układzie XYZ. Należy podać, przy pomocy myszki, na kalkulatorku, wartość liczbową -3 i nacisnąć, również myszką, klawisz “¿” na kalkulatorku. Wartość ta zostanie przepisana po lewej stronie ekranu w postaci x = -3. Analogicznie należy podać współrzędne y i z. Po podaniu ostatniej współrzędnej program zaznacza punkt, o podanych współrzędnych, w postaci kolorowego kółeczka oraz rysuje odpowiedni prostopadłościan w celu przestrzennego zobrazowania położenia punktu w przestrzeni - rys.1.
Rys.1 Punkt (-3, 4, 5) w przestrzennym układzie XYZ.
Aby w pełni wykorzystać narzędzie “Ćwiczenia”, przed ostatnim naciśnięciem klawisza “¿”, można pokazać na ekranie miejsce, gdzie spodziewamy się, że pojawi się podawany punkt i jeśli rzeczywiście punkt tam się pojawi to będzie znaczyć, że już umiemy umieszczać punkty w przestrzennym układzie XYZ.
Narzędzie “Test” służy do sprawdzenia umiejętności przestrzennego widzenia punktów w układzie XYZ. Po wybraniu tego narzędzia program rysuje układ XYZ, zaznacza losowo wybrany punkt na ekranie i podaje jedną z jego współrzędnych x lub y lub z - rys.2.
Rys.2. Znaleźć brakujące współrzędne podanego punktu.
Zadaniem użytkownika jest podać, przy pomocy kalkulatorka, dwie brakujące współrzędne tego punktu. Po podaniu obu współrzędnych, jeśli odpowiedź jest poprawna, program podaje komunikat “Dobrze !” - rys.3 - i dorysowuje odpowiedni prostopadłościan.
Rys.3 Przykład zadania poprawnie wykonanego.
Jeśli zaś odpowiedź jest zła, to program podaje komunikat “Źle !”, podaje prawidłową odpowiedź i dorysowuje odpowiedni prostopadłościan. Analiza położenia tego prostopadłościanu powinna dać wskazówkę, dlaczego powinny być podane, takie a nie inne, współrzędne punktu.
Pracę z programem kończymy wybierając narzędzie “Koniec”.
Program, gra “Wieże Hanoi” jest komputerową adaptacją azjatyckiej legendy:
“W wielkiej świątyni Benares w Hanoi, pod kopułą, która zaznacza środek świata, znajduje się płytka z brązu, na której umocowane są trzy diamentowe igły, wysokie na łokieć i cienkie jak talia osy. Na jednej z tych igieł, w momencie stworzenia świata, Bóg umieścił 64 krążki ze szczerego złota. Największy z nich leży na płytce z brązu, a pozostałe jeden na drugim, idąc malejąco od największego do najmniejszego. Jest to wieża Brahma. Bez przerwy we dnie i w nocy kapłani przekładają krążki z jednej diamentowej igły na drugą, przestrzegając niewzruszonych praw Brahma. Prawa te chcą, aby kapłan na służbie brał tylko jeden krążek na raz i aby umieszczał go na jednej z igieł w ten sposób, by nigdy nie znalazł się pod nim krążek mniejszy. Wówczas, gdy 64 krążki zostaną przełożone z igły, na której umieścił je Bóg w momencie stworzenia świata, na jedną z dwóch pozostałych igieł, wieża, świątynia, bramini rozsypią się w proch i w jednym oka mgnieniu nastąpi koniec świata”.
Oczywiście, nie musimy przejmować się przepowiednią zawartą w tej legendzie, ponieważ, jak wykażemy później, czas potrzebny na przełożenie 64 krążków jest bardzo, bardzo długi.
Program “Wieże Hanoi” po uruchomieniu przedstawia 3 krążki ułożone na 1-szej igle - rys.1. Zadaniem gracza jest przełożyć te krążki na 3-cią igłę.
Rys.1. Plansza początkowa programu “Wieże Hanoi”.
Przekładanie krążków wykonujemy przy pomocy myszki. Bierzemy dany krążek, podnosimy go do góry, umieszczamy nad odpowiednią igłą i puszczamy go. Zwracam uwagę, aby nie przesuwać krążka w dół po igle, tylko puścić go gdy znajduje się nad igłą. Krążek sam opadnie na dół, zatrzymując się na najwyżej leżącym krążku. Należy pamiętać aby zachować zasadę, że można przekładać tylko krążki mniejsze na większe. Komputer zresztą nie pozwala zrobić inaczej.
Program umożliwia zmianę ilości krążków w zakresie 1 - 8. W tym celu należy myszką nacisnąć znak dla zwiększenia ilości krążków, lub nacisnąć znak dla zmniejszenia ilości krążków.
Program ma opcję automatycznego przenoszenia krążków. Aby z niej skorzystać należy najpierw nacisąć przycisk "Od nowa" a następnie nacisnąć przycisk “Automatycznie”. Wówczas komputer bardzo szybko przełoży wszystkie krążki z 1-szej igły na 3-cią.
Przekładanie ręczne nie jest trudne pod warunkiem, że odkryje się rekurencyjną zasadę przekładania. Odkrywanie zasady należy rozpocząć od mniejszej ilości krążków, najlepiej od jednego.
Jeśli mamy jeden krążek to bez problemu przenosimy go na 3-cią igłę wykonując 1 ruch.
Jeśli mamy dwa krążki to przenosimy najpierw 1-szy krążek na 2-gą igłę, traktując ją jako igłę roboczą, następnie 2-gi krążek na 3-cią igłę a na koniec 1-szy krążek z 2-giej igły na 3-cią. Wykonamy przy tym 3 ruchy.
Jeśli mamy do przełożenia trzy krążki to przenosimy najpierw dwa krążki na 2-gą igłę, tak jak to zrobiliśmy wyżej, wykorzystując tym razem jako roboczą 3-cią igłę (wykonamy 3 ruchy), następnie przenosimy 3-ci krążek na 3-cią igłę (1 ruch) a na koniec przenosimy dwa krążki z 2-giej igły na 3-cią, wykorzystując teraz jako roboczą igłę 1-szą (3 ruchy). Razem wykonamy 7 ruchów.
Ogólnie zasada przekładania krążków ma następującą rekurencyjną postać: Jeśli N=1 to przenosimy jeden krążek z 1-szej igły na 3-cią. Jeśli N>1 wtedy przenosimy najpierw N-1 krążków na 2-gą igłę, następnie krążek N-ty na 3-cią igłę i na koniec N-1 krążków z 2-ej igły na 3-cią. Łącznie wykonamy 2n -1 ruchów.
Widać więc, że przepowiednia zawarta w legendzie długo się nie spełni, ponieważ dla 64 krążków ilość ruchów wynosi 264 -1 i jest to olbrzymia, 19-cyfrowa liczba. Jeśli przyjąć, że każdy ruch trwa 1 sekundę to przełożenie 64 krążków będzie trwać setki miliardów lat. Nawiasem mówiąc legenda zacytowana na początku, została wymyślone przez francuskiego profesora matematyki E. Lucasa około 1883r.
Gra w wieże Hanoi ma ważne znaczenie w matematyce, ponieważ pokazuje, jak rekurencja w prosty sposób opisuje skomplikowany proces. (Prostotę opisu proszę jednak nie mylić z szybkością działania. Zazwyczaj procedury rekurencyjne działają dłużej niż procedury iteracyjne). Poniższy program wykonuje przekładanie krążków według opisanej wyżej procedury rekurencyjnej.
program Wieze_Hanoi;uses crt;const ilosc=3;tw: array[1..3] of integer=(ilosc,0,0);var n:integer;t: array[1..3,1..ilosc] of integer;procedure wypisz_stan;beginfor n:=ilosc downTo 1 do writeLn(' ',t[1,n],' ',t[2,n],' ',t[3,n]);writeLn; readLn;end;procedure przeloz_krazek(skad, dokad : integer);begintw[dokad]:=tw[dokad]+1; t[dokad,tw[dokad]]:=t[skad,tw[skad]];t[skad,tw[skad]]:=0; tw[skad]:=tw[skad]-1;wypisz_stan;end;procedure przeloz_krazki(ile,skad,dokad,roboczy:integer);beginif ile=1 then przeloz_krazek(skad,dokad)else beginprzeloz_krazki(ile-1,skad,roboczy,dokad);przeloz_krazek(skad,dokad);przeloz_krazki(ile-1,roboczy,dokad,skad)end;end;beginclrScr;for n:=1 to ilosc do t[1,n]:=ilosc-n+1;wypisz_stan;przeloz_krazki(ilosc,1,3,2);end.
Proszę porównać jak procedura przeloz_krazki zawarta w tym programie idealnie pasuje do sposobu przekładania krążków opisanym wcześniej.
Program “Test z pochodnej funkcji” służy do sprawdzenia zrozumienia pojęcia pochodnej funkcji w punkcie i funkcji pochodnej oraz umiejętności rysowania wykresu funkcji pochodnej na podstawie wykresu funkcji. Zastosowanie programu musi być poprzedzone wprowadzeniem pojęcia pochodnej funkcji w punkcie i pojęcia funkcji pochodnej.
Po uruchomieniu programu otrzymujemy wykres pewnej funkcji, której wzór nie jest podany. Zadaniem ucznia jest narysowanie wykresu funkcji pochodnej.
Rysowanie to można prowadzić dwoma sposobami. Albo zaznaczać pochodne w wybranych punktach, albo, trzymając wciśnięty klawisz myszy, rysować pochodną w kolejnych punktach w postaci "linii ciągłej". Rysowana pochodna ma kolor zielony. Po narysowaniu pochodnej należy nacisnąć ramkę z napisem KONIEC RYSOWANIA, i wtedy program podaje prawidłową odpowiedź w postaci wykresu pochodnej w kolorze czerwonym - rys.1.
Rys.1.Wykres funkcji(niebieski), odpowiedź ucznia (zielony), prawidłowa odpowiedź (czerwony).
Aby dobrze narysować punkty pochodnej należy rozumieć pochodną funkcji w punkcie jako kierunek funkcji w danym punkcie. Wartość liczbowa tego kierunku to właśnie pochodna. Wartość tę powinien uczeń odczytać w przybliżeniu, posługując się “oczkami” siatki jednostkowej a następnie zaznaczyć odczytaną wartość na układzie współrzędnych.
Odpowiedź ucznia zaliczamy, jeżeli jego wykres pochodnej nie odbiega znacznie od prawidłowego przebiegu.
Pracę z programem można kontynuować, naciskając ramkę z napisem NOWY PRZYKŁAD, lub zakończyć, naciskając ramkę z napisem KONIEC PRACY.
Program, gra “Ciągi i szeregi” służy do budowania bram o maksymalnej szerokości.
Z matematycznego punktu widzenia chodzi o stosowanie pojęcia ciągu i szeregu. Gra jest trudna i wymaga dużych umiejętności analizowania złożonych informacji matematycznych i fizycznych.
Gra polega na dobierania odpowiednich wzorów według których układane są stosy klocków tworzące bramy. Podstawowy problem, to znalezienie takiego wzoru ułożenia klocków, przy którym stos zachowuje stabilność i nie przewraca się, a jednocześnie klocek leżący na najwyższym poziomie jest maksymalnie wysunięty poza obręb podstawy. Klocki z których budowane są bramy są "luźne", tzn. nie są ze sobą sklejane ani nie są w żaden inny sposób łączone.
Zachęcam Czytelników do ręcznego układania prawdziwych klocków, jednak aby uzyskać te same rezultaty co przy użyciu programu, należy zachować wielką zręczność układania i dużą dokładność przy mierzeniu odległości. Do takiej zabawy nie mogą być użyte klocki Lego, ponieważ ich układanie polega na łączeniu.
Po uruchomieniu programu otrzymujemy prosty przykład ułożenia klocków tworzący nawis o długości 0.9. Dwa takie symetryczne nawisy tworzą bramę o szerokości 1.8 – rys.1. W programie przyjęto, że długość każdego klocka wynosi 2 a waga każdego wynosi 1. Numerowanie klocków odbywa się od góry do dołu. Ostatnie dwa dolne klocki nie są numerowane i nie są brane do obliczeń, tworzą one podstawy stosów.
Rys.1. Przykład ułożenia klocków w dwa symetryczne nawisy o długości 0.9. Utworzona brama ma szerokości 1.8.
Program wyświetla wszystkie niezbędne informacje dotyczące każdego stosu. I tak:
· kolumna liczb pod nazwą “Wyrazy ciągu”, pisana kolorem jasnoniebieskim, podaje wartość wysunięcia każdego klocka poza krawędź klocka na którym on leży (w przypadku ciągu an=1/10 każdy klocek wysunięty jest o 0.1 jednostki). Wartość ta jest obrazowana graficznie przy pomocy jasnoniebieskiego odcinka narysowanego na wysuniętej części każdego klocka. Dla pewnych ciągów, wartość ta może być bardzo mała i wtedy odcinek ten będzie bardzo krótki i nie będzie widoczny.
· kolumna liczb pod nazwą “Wyrazy szeregu”, pisana w kolorze zielonym, podaje sumę wysunięć wszystkich klocków począwszy od klocka o numerze 1, do klocka o numerze n (jest to ciąg sum częściowych, czyli szereg). Na ekranie komputera jest to odległość pomiędzy pionowymi zielonymi liniami mierzona odpowiednio dla każdego klocka. Np. druga od góry liczba na rys.1, równa 0.2, jest sumą dwóch pierwszych wyrazów ciągu, a ostatnia liczba, równa 0.9, jest sumą wszystkich 9-ciu wyrazów ciągu. Ta ostatnia liczba jest najważniejsza, ponieważ określa, jak daleko wysunięty jest pierwszy klocek poza obręb podstawy, czyli jaka jest wielkość utworzonego nawisu. Podwójna wartość tej wielkości jest szerokością bramy. Cała gra prowadzona jest po to, aby uzyskiwać coraz większe nawisy, a może nawet uzyskać maksymalny nawis, przy którym brama będzie miała największą szerokość.
· kolumna liczb pod nazwą “Środek ciężkości” zawiera współrzędne środków ciężkości (niebieskie kropki) grup klocków na każdym poziomie stosu. Np. dla ciągu an=1/10 pierwszy od góry klocek ma środek ciężkości w punkcie –0.1, dwa pierwsze klocki razem, mają środek ciężkości w punkcie , gdzie –0.2 to współrzędna środka ciężkości samego drugiego klocka. Analogicznie obliczane są środki ciężkości pozostałych grup klocków. Ostatnia liczba –0.5, która oznacza środek ciężkości wszystkich 9-ciu klocków, została obliczona następująco:
. Środki ciężkości, a właściwie ich współrzędne, są bardzo ważnymi liczbami. Informują one o tym, czy dany stos przewróci się, czy zachowa równowagę. Jeżeli środek ciężkości wykroczy poza krawędź podstawy to stos się przewraca.
Program umożliwia zmianę ilości klocków. Aby zwiększyć ilość klocków (max.=50) należy nacisnąć klawisz strzałki w górę, zaś aby zmniejszyć ilość klocków należy używać klawisza strzałki w dół. Po zmianie ilości klocków należy zatwierdzić ją klawiszem “Enter”.
W programie można również zmieniać wzór ciągu. W tym celu należy nacisnąć klawisz “A” i napisać wzór wyrażenia “an = ”. Wprowadzony wzór należy zatwierdzić klawiszem “Enter”. Program przyjmie każdy poprawny wzór napisany w konwencji "pascalowej" . Oto przykładowe ciągi jakie można wprowadzać do programu:
ciąg wpisujemy w postaci 1/(13-n), ciąg wpisujemy w postaci 1/2^(n-1),
ciąg wpisujemy w postaci abs(sin(n))/10, ciąg wpisujemy w postaci 1/(3*sqr(n)).
Program umożliwia również wprowadzanie wartości wyrazów ciągu w postaci liczb dziesiętnych, z tym, że można to zrobić tylko dla pierwszych dziewięciu wyrazów. Należy w tym celu nacisnąć klawisz z odpowiednim numerem 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i wpisać wartość w komórce tabeli w której mruga kursor. Po wpisaniu wartości, należy zatwierdzić ją klawiszem “Enter”.
W przypadku, gdyby stos miał się przewrócić, program przerywa układanie klocków i podaje ostrzeżenie w postaci komunikatu "Katastrofa !" Zaznacza również strzałką miejsce w którym nastąpiłaby katastrofa. Gdy wartość ciągu jest ujemna lub wartość ta nie istnieje program przerywa układanie klocków i podaje odpowiednie komunikaty.
Program umożliwia również obciążanie stosu przez ustawienie na jego szczycie “ludzika”. Jego waga jest równa wadze 10 klocków. Aby uzyskać efekt obciążenia należy nacisnąć klawisz “M”. Ponowne wciśnięcie klawisza "M" likwiduje obciążenie.
Po utworzeniu każdego stosu, aby uzyskać drugi symetryczny stos, czyli utworzyć bramę, należy nacisnąć klawisz “B”.
Eksperymentowanie przy pomocy programu powinno doprowadzić do znalezienia takiego ciągu dla którego nawis jest największy. Zależy to oczywiście od ilości klocków. Np. dla 9 klocków maksymalny nawis wynosi 2.82897, a odpowiednia brama ma szerokość 2*2.82897=5,65794. Wzór ciągu dla tej bramy podany jest na końcu tekstu. Prosimy jednak tam nie zaglądać dopóki nie spróbuje się samodzielnie uzyskać jakiegoś rozwiązania.
Ważny jest również problem maksymalnej ilość klocków, które można ułożyć w nawis według danego wzoru. W programie można użyć maksymalnie 50 klocków ale wystarcza to do zaobserwowania odpowiednich zależności. Dla ciągu an...
iiwoonaa