Gradient.docx

Gradient

Nazwa tego hasla odnosi sie do wiecej niz jednego pojecia:

·         gradient

·         gradient

·         gradient

Zasadniczo jest jedno pojęcie gradient opisane poniżej
Gradient – to operator różniczkowy, który działając na pole skalarne, tworzy pole wektorowe. Utworzone pole wektorowe ma kierunek i zwrot największego wzrostu funkcji w danym punkcie, a wartość jest proporcjonalna od szybkości wzrostu (wzrost na jednostkę długości) funkcji. Gradient określony na polu wektorowym daje pole tensorowe.
Gradient oznaczany jest ‘grad’ lub odwróconym trójkątem (operator nabla): nabla zwanym nabla.
Przykład: Rozpatrzmy funkcję „stopień zaciemnienia” określającą jasność punktu w zadanym obszarze (każdemu punktowi przyporządkowano liczbę więc funkcja jest skalarna). Operator gradient przypisuje każdemu punktowi tego obszaru wektor wskazujący kierunek najszybszego wzrostu zaciemnienia obszaru. Wektory przedstawione na grafikach są ilustracją tego pola wektorowego.
Określenie gradient jest często upraszczane i oznacza:

·         kierunek wektora gradientu,

·         istnienie niezerowego gradientu czyli płynnej zmiany wielkości fizycznej (stężenia, pH, temperatury, gęstości ładunku elektrycznego) w określonej przestrzeni (powierzchni/objętości), jasności, koloru w grafice.

·         meterologii , fragment opisu stanu atmosfery "W niezbyt grubej warstwie - 81 m, różnica temperatury wynosiła aż 8,5 stopnia, tj. średnio ponad jeden stopień na 10 m wysokości. Tak duże ujemne, pionowe gradienty temperatury są rzadkością"

Definicja matematyczna

Pole skalarne to funkcja, która o przestrzeni, która w każdym swym punkcie ma przypisaną wartość (liczbę) pewnej wielkości skalarnej f.
W układzie współrzędnych kartezjańskich wektor gradientu jest określony jako:

mathrm{grad}, f = nabla f = left f}{partial x},frac{partial f}{partial y},frac{partial f}{partial z} right

lub inaczej

mathrm{grad}, f = nabla f = frac{partial f}{partial x} cdot vec i + frac{partial f}{partial y} cdot vec j + frac{partial f}{partial z} cdot vec k

gdzie vec i, vec j, vec k są wersorami osi kartezjańskiego układu współrzędnych.

Przykład

Gradient funkci phi=2x+3y^2-sin(z) jest:

nabla phi = begin{pmatrix}

{frac{partial phi}{partial x}},{frac{partial phi}{partial y}},{frac{partial phi}{partial z}}end{pmatrix} =begin{pmatrix}{2},{6y},{-cos(z)}end{pmatrix}.

Własności

Własności wektora Gradientu pola skalarnego :

·         kierunek i zwrot wektora gradientu wskazuje kierunek, w którym dana wielkość f pola skalarnego rośnie najszybciej,

·         długość wektora (wartość/moduł wektora) gradientu określa szybkość wzrostu (przyrost na jednostkę długości) badanej wielkości w kierunku określonym przez gradient,

·         wartość gradientu jest równa pochodnej kierunkowej dla kierunku największego wzrostu,

·         czyli określa największy wzrost wielkości skalarnej.

Przykłady użycia

Przykłady:

W niektórych wolno przebiegających reakcjach chemicznych zachodzących na granicy faz zachodzi zjawisko gradientowego stężenia substratów w objętości. Stwierdzenie to oznacza, że blisko granicy faz, gdzie przebiega właściwa reakcja stężenie produktów jest najwyższe, zaś czym dalej od tej granicy stężenie to spada. Zjawisko takie zachodzi np. przy elektrolizie

W przypadku polimerów możliwe jest otrzymywanie tzw. kopolimerów gradientowych, w których, na jednym końcu polimeru występuje więcej jednego meru a na przeciwległym drugiego.

W meterologii, fragment opisu stanu atmosfery "W niezbyt grubej warstwie - 81 m, różnica temperatury wynosiła aż 8,5 stopnia, tj. średnio ponad jeden stopień na 10 m wysokości. Tak duże ujemne, pionowe gradienty temperatury są rzadkością"

Inne operatory