Wykład 3. Rozpraszanie promieniowania.
Rozpraszanie promieniowania jest procesem związanym ze zmianą kierunku propagacji fali elektromagnetycznej. W atmosferze najważniejsza rolę odgrywa rozpraszanie elastyczne (bez zmiany długości fali). Rozpraszanie nieelastyczne (np. rozpraszanie Ramana) jest drugorzędne. Pomimo tego jest często zaniedbywanie małe to jednak wykorzystuje się je w technikach teledetekcyjnych. Rozpraszanie ogrywa kluczowa rolę dla promieniowania słonecznego, podczas gdy w dalekiej podczerwieni ma mniejsze znaczenie i w wielu rozważaniach może być zaniedbywane.
W paragrafie tym będziemy rozpatrywać rozpraszanie na pojedynczej cząstce. Pojedyncze rozpraszanie, bo o nim mowa zakłada, że natężenie pola elektrycznego po rozproszeniu na pojedynczej cząstce zależy od zewnętrznego pola. Tak, więc jeśli odległość pomiędzy cząstkami jest dostatecznie duża (całkowite promieniowanie rozproszone pochodzące od sąsiednich cząstek jest małe w porównaniu z polem zewnętrznym), to przybliżenie pojedynczego rozpraszania jest w pełni uzasadnionym. Dodatkowo będziemy zakładać, że cząstki są rozłożone w przestrzeni losowo, czyli opisywane przez rozkład Poissona. Oznacza to, że rozpraszanie jest niespójne (incoherent) gdyż nie ma związku pomiędzy fazami fal rozproszonych.
W atmosferze najczęściej wyróżnia się rozpraszanie typu Rayleigh’a Mie oraz geometryczne. Pierwsze z nich opisuje rozpraszanie na cząstkach małych (w porównaniu z długością fali), drugie na cząstkach dużych (o wymiarach porównywalnych lub większych od długości fali). Rozpraszanie geometryczne występuje gdy rozmiary cząstki są dużo większe od długości fali. Jednak rozpraszanie typu Mie opisuje oddziaływanie promieniowania elektromagnetycznego z cząstkami o dowolnym rozmiarze w porównaniu z długością fali padającej. Mimo to wyróżnia się rozpraszanie typu Rayleigh’a ze względu na jego stosunkowo proste analityczne rozwiązanie.
Rozważmy jednorodne promieniowanie padające na cząstkę. Pobudzone do drgania w cząstce dipole elektryczne emitują spójne promieniowanie o tej samej długości fali. Pole elektryczne w punkcie P jest sumą pola padającego oraz rozproszonego na cząstce. W ogólności faza poszczególnych fal w punkcie P zależy od kąta rozproszenia, dlatego oczekujemy zależności promieniowania rozproszonego od kierunku. Jeśli jednak cząstka jest mała w porównaniu z długością fali, to promieniowanie emitowane przez dipole jest w fazie. Dlatego w tym przypadku spodziewamy się niewielkich zmian wraz z kątem rozpraszania. Gdy rozmiary cząstki stają się większe, rośnie również wzajemne wzmacnianie i osłabianie pola elektrycznego od poszczególnych dipoli. W związku z tym promieniowanie rozproszone na dużych cząstkach posiada wiele maksimów i minimów interferencyjnych. Relacje pomiędzy fazami fal elektromagnetycznych zależą w ogólności od czynników geometrycznych: kąt rozproszenia, rozmiar cząstki, jej kształt. Amplituda oraz faza indukowanych dipoli w cząstce zależy natomiast od własności substancji, z jakiej jest ona zbudowana.
Jak stwierdzono powyżej promieniowanie elektromagnetyczne padając na ośrodek materialny polaryzuje go (nie mylić z polaryzacją promieniowania) prowadząc do powstania dipoli elektrycznych. Polaryzacja ośrodka na jednostkę objętości związania jest z względnym współczynnikiem przenikalności elektrycznej er oraz padającym polem elektrycznym wzorem .
Rys. 3.1 Rozpraszanie promieniowania elektromagnetycznego
Rozpatrzymy polaryzację pojedynczego dipola w ośrodku materialnym, na który pada zewnętrze pole elektryczne . Polaryzacja pojedynczego dipola elektrycznego wyraża się wzorem , gdzie a jest polaryzowalnością ośrodka zaś jest wewnętrznym polem elektrycznym. Zauważmy, że w ogólności współczynnik polaryzowalności jest tensorem.
Jeśli przez N oznaczymy liczbę dipoli w jednostce objętości to polaryzacja ośrodka wynosi .
Kluczowym problemem w procesach rozpraszania staje się wyznaczenie wewnętrznego pola elektrycznego , które w ośrodkach o dużej gęstości może być zasadniczo różne od zewnętrznego pola elektrycznego. W przypadku, gdy odległość pomiędzy molekułami ośrodka jest znacznie większa niż długość fali wówczas wewnętrzne pole elektryczne rośnie na skutek oddziaływania sąsiednich dipoli zgodnie ze wzorem: .
Łatwo można pokazać, że zachodzi związek
zwany równaniem Clausius’a-Mosotti’ego. Wiąże ono mikroskopową polaryzowalność ośrodka z makroskopową względną przenikalnością elektryczną materii.
Rozpraszanie Rayleigh’a
Rozpatrzmy małą, jednorodną i sferyczna cząstkę o promieniu znacznie mniejszym od długości padającej fali l. Korzystając z klasycznego rozwiązania równania Maxwella w przypadku daleko-polowym (wzór Hertza):
gdzie g jest kątem pomiędzy wektorem momentu dipolowego a kierunkiem obserwacji.
Uwzględniając, że moment dipolowy można przedstawić w postaci harmonicznej
gdzie częstością kołową
Pole elektryczne promieniowania rozproszonego wyraża się wzorem
Zdefiniujmy pewną płaszczyznę przez kierunek padającego i rozproszonego promieniowania a następnie dokonajmy dekompozycji składowych pola elektrycznego na: składową prostopadłą Eor i równoległą Eol do tej płaszczyzny. Wówczas składowe promieniowania rozproszonego mają postać
gdzie i zaś Q jest kątem rozpraszania.
Korzystając z relacji pomiędzy natężeniem pola elektrycznego a radiancją promieniowania (I=const|E|2) możemy zapisać wzór na radiancję promieniowania rozproszonego w postaci:
gdzie Ir, Il są polaryzacyjnymi składowymi promieniowania. Całkowita intensywność promieniowania rozproszonego wyraża się wzorem
Rys. 3.2 Płaszczyzna rozpraszania oraz kąt rozproszenia.
Jeśli padające na cząstkę promieniowanie jest niespolaryzowne (np. promieniowanie słoneczne) wówczas obie składowe intensywności są równe i wynoszą Io/2. W tym przypadku całkowita intensywność promieniowania rozproszonego wynosi
.
Wnioski:
· Natężanie promieniowania rozproszonego jest odwrotnie proporcjonalne do czwartej potęgi długości fali. Tak więc rozpraszanie promieniowania bardzo szybko zmniejsza się z długością fali i dlatego rozpraszanie Rayleigh’a ma istotne znaczenie w obszarze widzialnym oraz w ultrafiolecie. Ponieważ promieniowanie nieba (poza tarczą słoneczną) składa się tylko z promieniowania rozproszonego tak, więc rozpraszanie Rayleigh’a jest odpowiedzialne za błękitny kolor nieba.
· Rozpraszanie Rayleigh’a jest anizotropowe, jednak odstępstwo od izotropowości nie jest duże.
· Rozpraszanie Raylegh’a jest symetryczne tzn. natężanie promieniowania rozproszonego do przodu i do tyłu jest takie samo.
Rozkład kątowy promieniowania rozproszonego jest opisywany przy pomocy funkcji fazowej P(Q). W przypadku rozpraszania Rayleigh’a ma ona postać: .
Własności funkcji fazowej:
· Normalizacja
· P(cosQ) ze względu na normalizację ma interpretację gęstości prawdopodobieństwa. Określa więc prawdopodobieństwo, że padający na cząstkę foton zostanie rozproszony pod kątem Q.
Rys. 3.3 Funkcja fazowa dla rozpraszania Rayleigha
Intensywność promieniowania rozproszonego, można zapisać w postaci
Strumień promieniowania rozproszonego w odległość r od cząstki rozpraszającej jest równy całce po gęstości strumienia promieniowania (IDW) i może być obliczony ze wzoru
gdzie jest powierzchnią (definicja kąta bryłowego). Ostatecznie strumień promieniowania wynosi
gdzie Fo oznacza strumień promieniowania padającego ().
Definiujemy przekrój czynny na rozpraszanie jako
Określa on jaka część pierwotnej energii jest usuwana z fali padającej w skutek rozpraszania. Intensywność promieniowania rozproszonego w funkcji przekroju czynnego wyraża się wzorem
Powyższy wzór jest uniwersalny i prawdziwy dla rozpraszania na cząstkach, których rozmiary są porównywalne i większej od długości fali.
Można pokazać, że polaryzowalność a jest związana z współczynnikiem refrakcji m oraz liczbą cząstek Ns w jednostce objętości wzorem Lorentza-Lorenza
Dla widzialnej części promieniowania słonecznego urojona część współczynnika refrakcji molekuł powietrza jest zaniedbywanie mała. Część rzeczywista, pomimo, że jest bliska jedności wykazuje zależność od długości fali. Można ją przybliżać korzystając z następującego wzoru empirycznego gdzie l jest w mikrometrach. Biorąc pod uwagę, że rzeczywista część współczynnika refrakcji jest bliska jedności wzór na polaryzowalność powietrza przyjmuje postać
Podobnie wzór na przekrój czynny przyjmuje postać
gdzie dodany czynnik f(d) uwzględnia anizotropowe właściwości molekuł powietrza (odstępstwo od sferyczności cząsteczek) i zdefiniowany jest on w następujący sposób
Czynnik d wynosi dla powietrza około 0.035.
Rozpraszanie Lorenza-Mie
Rozpraszanie typu Rayleigh’a występuje dla cząsteczek, których promień jest znacznie mniejszy od długości fali. Dla większych cząsteczek proces rozpraszania opisywany jest przez teorie Lorenz-Mie, którzy w latach 1890 oraz 1908 rozwiązali niezależnie od siebie problem rozpraszania promieniowania na jednorodnych sferach. Zdefiniujmy użyteczną wielkość zwaną parametrem wielkości x taki, że x=2pa/l, gdzie a jest promieniem cząsteczki. Teoria Lorenz-Mie () opisuje metodę rozwiązania równań Maxwella. Sprowadza się ona do rozwiązania równania dla pola elektrycznego oraz identycznego dla pola magnetycznego z warunkami brzegowymi na sferze. W metodzie tej obliczane jest wewnętrzne pole elektryczne jako suma zewnętrznego oraz pola pochodzącego od wewnętrznych cząstkach. Można pokazać, że składowe pola rozproszonego na dużych cząstkach w przybliżeniu daleko-polowym ma postać
gdzie amplitudy S1 i S2 wynoszą
zaś funkcje kątowe pn oraz tn określone są wzorami
jest stowarzyszonym wielomianem Legendre’a. Ponadto przekroje czynne na rozpraszanie i ekstynkcję (rozpraszanie plus absorpcja) wyrażają się wzorami
Współczynniki an i bn mogą być obliczone ze wzorów
gdzie funkcje oraz są funkcjami Ricatti-Bessela odpowiadającymi sferycznym funkcjom Bessela. Parametr wielkości we wzorach na an i bn zdefiniowany jest dla długości fali wewnątrz ośrodka i wynosi zaś współczynnik refrakcji m=mp/ma, gdzie mp określa współczynnik refrakcji dla cząsteczki zaś ma dla powietrza.
Teoria Mie opisuje bardzo ważną klasę procesów rozpraszania w atmosferze, która obejmuje rozpraszanie na aerozolach, kropelkach wody, czy kryształkach lodu. Do opisu rozpraszania Mie często stosuje się efektywny przekrój czynny na rozpraszanie Qs
Podobnie wprowadza się efektywny przekrój czynny na absorpcję Qa oraz ekstynkcję Qe
oraz gdzie .
Przekrój czynny na absorpcję jest zdefiniowany analogicznie, jak dla rozpraszania zaś przekrój czynny na ekstynkcję jest sumą przekrojów na absorpcję oraz rozpraszanie.
Efektywny przekrój czynny na rozpraszanie, jako funkcja parametru wielkości wykazuje wiele charakterystycznych długo okresowych sinusoidalnych oscylacji (Rys. 3.4a), na które nałożone są oscylacje o większej częstotliwości. Oscylacje te zawiązane są z interferencją fali przechodzącej przez cząstkę z falą, która ulega dyfrakcji. Te ostatnie zależą od części urojonej współczynnika refrakcji (odpowiedzialnego za absorpcję promieniowania). Dla silnie absorbujących cząstek oscylacje te są zupełnie niewidoczne. Rzeczywista część współczynnika refrakcji odpowiada za przesunięcia głównych oscylacji efektywnego współczynnika przekroju czynnego na rozpraszanie. Pierwsze maksimum przypada dla parametru wielkości około 6 czyli dla promienia cząsteczki równego długości fali padającej. Przekrój czynny dla tego maksimum ...
Magnifita