Statystyka - zaliczenie.pdf - Statystyka - alina_kujawa

1.Estymacjapunktowaiprzedzia“owa

1.1.Estymacjapunktowaparametrum warto–cioczekiwanejwpo-

pulacji

Estymatorpunktowytoinaczejliczba(wyznaczonanapodstawiepr ó by),kt ó razpew-

nymprzybli»eniemokre–lawarto–¢odpowiedniegoparametruwca“ejpopulacji.Pun kt owym

estymatoremwarto–cioczekiwanejzpopulacjimjestpoprostu–redniazpr ó by x. ‘ red-

ni¡wyznaczamyfunkcj¡ ‘ REDNIA,ajakoargumentypodajemyzakreskom ó rek,wkt ó rych

znajduj¡siƒdane.

1.2.Estymacjapunktowaparametru odchyleniastandardowego

wpopulacji

Punktowymestymatoremodchyleniastandardowegojestodchyleniestandardowezpr ó by

oznaczanejakoˆsiwyznaczanefunkcj¡ODCH.STANDARDOWE.

1.3.Estymacjaprzedzia“owaparametrum

Estymatorprzedzia“owy,tzw. przedzia“ufno–ci ,tozakres,wkt ó rymprawdopodobnie

znajdujesiƒnieznanyparametrpopulacji.Prawdopodobie«stwo,zjakimnieznanyparametr

wpadadoprzedzia“uufno–cinazywanejest poziomemufno–ci .Graniceprzedzia“uufno–ci

dlawarto–cioczekiwanejwpopulacjiprzyma“ejliczbiepr ó b(n30)wyznaczasiƒzewzoru

x−t ˆs p n <m<x+t ˆs p n

=1−, (1)

gdzie:

x –redniazpr ó by(czyliestymatorpunktowywarto–cioczekiwanejzpopulacji),

ˆs odchyleniestandardowezpr ó by(nieobci¡»onyestymatorpunktowyodchyleniastandar-

dowegozpopulacji),

1− poziomufno–ci(tzn.nailejeste–mypewni,»e–redniazpopulacjiznajdujesiƒwwy-

znaczonymprzedziale).Zatemoznaczaprawdopodobie«stwopope“nieniab“ƒdu,

t warto–¢wyznaczananapodstawierozk“adut-Studenta.Parametrtenwyznaczamyza

pomoc¡funkcjiROZK Š AD.T.ODW.Wpoluprawdopodobie«stwopodajemywarto–¢,ajako

liczbƒstopniswobodypodajemyliczbƒpr ó bpomniejszon¡o1,czylin−1,

p n pierwiastekkwadratowyzliczbypr ó bwyznaczanyfunkcj¡PIERWIASTEK.

W ó wczasprzedzia“ufno–ciwygl¡danastƒpuj¡co:

Dolnagranica:x−t ˆ s p n , G ó rnagranica:x+t ˆ s p n .

Gdymamydoczynieniazdu»¡liczb¡pr ó b(n>30),toprzedzia“ufno–ciwyznaczasiƒze

wzoru

x−u ˆs p n <m<x+u ˆs p n

=1−,

gdzie:

u warto–¢wyznaczananapodstawierozk“adunormalnegostandaryzowanego.Parametr

tenwyznaczamyzapomoc¡funkcjiROZK Š AD.NORMALNY.S.ODW.Wpoluprawdopodo-

bie«stwopodajemywarto–¢1− 2 .

W ó wczasprzedzia“ufno–ciwygl¡danastƒpuj¡co:

Dolnagranica:x−u ˆ s p n , G ó rnagranica:x+u ˆ s p n .

Wartododa¢,»eistniejer ó wnie»funkcjaUFNO ‘‚ ,wkt ó rejjakoparametrypodajemy

kolejnowarto–ci,ˆsorazliczno–¢pr ó byn.Funkcjataupraszczaobliczanieprzedzia“ ó wufno–ci

dladu»ejpr ó by.W ó wczasprzedzia“takiwygl¡danastƒpuj¡co:

Dolnagranica:x−UFNO ‘‚ (,ˆs,n), G ó rnagranica:x+UFNO ‘‚ (,ˆs,n).

1.4.Przedzia“ufno–cidlawariancjiiodchyleniastandardowego

Przyma“ejliczbiepr ó b(n30)wyznaczamynajpierwprzedzia“ufno–cidlawariancji.

Graniceprzedzia“uufno–cidlaodchyleniastandardowegowyznaczamyjakopierwiastkigranic

przedzia“uufno–cidlawariancji.St¡dwykorzystujemyodpowiednioponi»szewzory.

Dlawariancji 2 :

(n−1)ˆs 2

2 2 < 2 < (n−1)ˆs 2

=1−

2 1

orazdlaodchyleniastandardowego:

( s

)

(n−1)ˆs 2

2 2 <<

(n−1)ˆs 2

2 1

=1−,

gdzie:

2 2 warto–¢wyznaczanazrozk“adu 2 (czytamychi-kwadrat).Parametrtenwyznaczamy

zapomoc¡funkcjiROZK Š AD.CHI.ODW.Wpoluprawdopodobie«stwopodajemywarto–¢

1− 2 ,ajakoliczbƒstopniswobodypodajemyliczbƒpr ó bpomniejszon¡o1,czylin−1,

2 1 warto–¢wyznaczanazrozk“adu 2 .Parametrtenwyznaczamyzapomoc¡funkcjiROZ-

K Š AD.CHI.ODW.Wpoluprawdopodobie«stwopodajemywarto–¢ 2 ,ajakoliczbƒstopni

swobodypodajemyliczbƒpr ó bpomniejszon¡o1,czylin−1.

Dladu»ejliczbypr ó b(n>30)graniceprzedzia“uufno–cidlaodchyleniastandardowego

wyznaczamyzewzoru

( ˆs

1+ u

)

<< ˆs

p 2 n

1− u

p 2 n

=1−,

gdzie:

u warto–¢wyznaczanazrozk“adunormalnegostandaryzowanego.Parametrtenwyzna-

czamyzapomoc¡funkcjiROZK Š AD.NORMALNY.S.ODW.Wpoluprawdopodobie«stwo

podajemywarto–¢1− 2 .

1.5.Niezbƒdnaliczbapomiar ó wdopr ó bydlawarto–cioczekiwanej

Obliczaj¡cd“ugo–¢przedzia“uufno–cipodanegowzorem(1)ioznaczaj¡cprzezdpo“owƒ

jegod“ugo–ci,mo»emywyprowadzi¢wz ó r

·ˆs 2 0 ,

gdzie:

n niezbƒdnaliczbapr ó b,

d po“owaszeroko–ciprzedzia“yufno–ci,

ˆs 2 0 wariancjaztzw.pr ó bywstƒpnejoliczbiepomiar ó wr ó wnejn 0 ,

t warto–¢wyznaczananapodstawierozk“adut-Studenta.Parametrtenwyznaczamyza

pomoc¡funkcjiROZK Š AD.T.ODW.Wpoluprawdopodobie«stwopodajemywarto–¢,ajako

liczbƒstopniswobodypodajemyliczbƒpr ó bpomniejszon¡o1,czylin 0 −1.

2.Wery kacjahipotezstatystycznych

Wery kacjar ó »nisiƒodestymacjijedynietym,»ewiemyjakipowinienby¢parametrpopu-

lacji.Napodstawiepr ó bymamyokre–li¢estymatorpunktowyparametru,anastƒpniepraw-

dopodobie«stwo,zjakimestymatorr ó »nisiƒodparametru.Je»eliprawdopodobie«stwotojest

mniejszeni»poziomb“ƒdu,tom ó wimy,»eestymatorzpr ó byr ó »nisiƒistotnieodza“o»onej

warto–ciparametru.Dlategookre–lamymianempoziomuistotno–ciijesttoprawdopodo-

bie«stwopope“nieniab“ƒdupierwszegorodzaju,czyliodrzuceniahipotezy,kt ó rawrzeczy-

wisto–cijesthipotez¡prawdziw¡.Napocz¡tkuka»degotestustawiamydwiehipotezy:H 0 ,

wkt ó rejzak“adamy,»eestymatorzpr ó bynier ó »nisiƒistotnieodza“o»onejwarto–cipara-

metru(czyliH 0 :m=m 0 )orazhipotezƒalternatywn¡H 1 ,wkt ó rejzak“adamy,»eestymator

r ó »nisiƒ(czyliH 1 :m6=m 0 ),jestwiƒkszy(czyliH 1 :m>m 0 )albojestmniejszy(czyli

H 1 :m<m 0 )odza“o»onejwarto–cim 0 .Wzale»no–ciodpostacihipotezyH 1 ,wyr ó »niamy

trzytzw.obszarykrytycznetestu.Je»elihipotezƒalternatywn¡przedstawimywpostaciH 1 :

m6=m 0 ,tomamydoczynieniazdwustronnymobszaremkrytycznym,natomiastgdyhi-

potezƒalternatywn¡przedstawimywpostaciH 1 :m>m 0 albowpostaciH 1 :m>m 0 ,to

wpierwszymprzypadkumamydoczynieniazprawostronnymobszaremkrytycznym,adrugim

przypadkuzlewostronnymobszaremkrytycznym.

2.1.Testdlawarto–cioczekiwanej

Dlama“ejliczbypr ó bkorzystamyzrozk“adut-Studenta.Najpierwwyznaczamyliczbƒ

tdan¡wzorem

t= x−m 0

ˆs

p n,

gdziem 0 toza“o»onawarto–¢parametru.Nastƒpnieobliczamyprawdopodobie«stwop,zjakim

obliczonawarto–¢tmo»ewyst¡pi¢.WstawiamyfunkcjƒROZK Š AD.T.WpoluXpodajemy

warto–¢liczbyt,aleponiewa»niemo»emywpisa¢warto–ciujemnej,wiƒcwstawiamy|t|(naj-

pro–ciejwstawi¢wtopoleliczbƒ−t,je»elit<0).Jakoliczbƒstopniswobodypodajemyilo–¢

pr ó bpomniejszon¡ojeden,awpolu ‘ LADYwpisujemyliczbƒ2(wprzypadku,gdymamydo

czynieniazdwustronnymobszaremkrytycznym)albo1(wprzypadku,gdymamydoczynie-

niazprawostronnymlublewostronnymobszaremkrytycznym).Wtenspos ó bwyznaczyli–my

prawdopodobie«stwop.Je»elip,toodrzucamyhipotezƒzerow¡H 0 nakorzy–¢hipotezy

alternatywnejH 1 ,aje»elip>,toniemamypodstawdoodrzuceniahipotezyzerowejH 0 .

Dladu»ejliczbypr ó bkorzystamyzrozk“adunormalnego.Wyznaczamywarto–¢liczbyuze

wzoru

u= x−m 0

ˆs

p n.

Nastƒpniewyznaczamyprawdopodobie«stwopkorzystaj¡czrozk“adunormalnegostanda-

ryzowanego,wstawiaj¡cfunkcjƒROZK Š AD.NORMALNY.S,gdziejakoargumentpodajemy

warto–¢liczbyu,przyczymuwzglƒdniamypewnesubtelno–ci,wzale»no–ciodtego,jakwy-

gl¡daobszarkrytyczny(czyliznakwhipotezieH 1 ):

(a)gdyobszarjestlewostronny,top=ROZK Š AD.NORMALNY.S(u),

(b)gdyobszarjestprawostronny,top=1−ROZK Š AD.NORMALNY.S(u),

(c)gdyobszarjestdwustronny,top=2· 1−ROZK Š AD.NORMALNY.S(|u|) ,

gdzieROZK Š AD.NORMALNY.S(u)oznaczaliczbƒwyznaczon¡tymrozk“ademdlaargumen-

tur ó wnegou.

2.2.Testdlaparobserwacji

Dysponujemyterazwynikamidw ó chpr ó bbƒd¡cychrealizacjamipomiar ó wwykonanych

dwukrotnienaobiektachjednejpopulacji,alewpewnymodstƒpieczasu.Je»eliwynikipierw-

szegopomiaruoznaczymyprzezx i ,apomiarudrugiegoprzezy i ,toichr ó »nicaz i =y i −x i ,

gdziei=1,2,...,n,bƒdziedodatnia,gdyzaobserwujemywzrostbadanejcechy,aujem-

na,gdyodnotujemyjejspadek.Wte–cietymhipotezazerowazak“ada,»e–redniar ó »nica

zwynosizero(H 0 :z=0),coodpowiadaza“o»eniu,»ewp“ywzastosowanejoperacjiniema

»adnegoznaczeniadlawarto–cibada ne jcechywynikowej.Posta¢hi po tezyalternatywnejmo»e

wskaz y wa¢naistotn¡zmianƒ(H 1 :z6=0),istotnywzrost(H 1 :z>0)lubistotnyspadek

(H 1 :z<0)warto–cianalizowanejcechy.Pierwszaztychpostaciprowadzidownioskowania

zdwustronnym,drugazprawostronnym,atrzeciazlewostronnymobszaremkrytycznym.

Napodstawienr ó »nicwynik ó wpomiar ó wobliczamy–redni¡r ó »nicƒzorazestymator

odchyleniastandardowegor ó »nicˆs z ,anastƒpnieliczbƒtdan¡wzorem

t= z

ˆs z

p n.

Dalejwnioskowanieprzebiegaidentyczniejakwprzypadkutestudlawarto–cioczekiwanej

wpopulacji(pkt2.1).

Statystyka - zaliczenie.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: