Algebra.pdf

(61 KB) Pobierz
257029671 UNPDF
1 Powtórzenie z algebry - pojecia
1. Algebra macierzy: dodawanie, mnozenie, transponowanie
2. Własnosci wyznacznika macierzy
3. Formy kwadratowe, definicja dodatniej okreslonosci
4. Definicja sladu - własnosci sladu
5. Definicja macierzy idempotentnej
6. Dowód, ze pierwiastki własne dla dowolnej macierzy idempotentnej M s a równe
0 lub 1 i rz ad tej macierzy tr(M) .
7. (*) Pojecie rzutu prostopadłego wektora w przestrze n, pojecie wektora ortogonal-
nego
8. (*) Interpretacje macierzy P i M jako macierzy rzutów
1.1 Zadania
1. Mamy macierze
2
3
· 121
131
¸
23
11
23
A=
; B=
4
5
Policzyc 2A ; B 0 , A+B 0 ; AB , j AB j . Wyjasnic dlaczego nie mozna policzyc
AB 0 i A+B
2. Mamy dwie macierz kwadratowe
· 12
24
¸
· 12
41
¸
A=
; B=
Pokazac, ze macierz A jest macierz a symetryczna. Pokaz, ze AB 6 =BA . Udowod-
nij, ze macierze A i AB s a osobliwe.
3. Rozwin ac (załózmy, ze A i B s a odwracalne): (A+B)(C+D) 0 ; (AB) ¡ 1 B ¡ 1 ;
(BA) ¡ 1 B ¡ 1 ; A(A+B) ¡ 1 , j AB j
4. Pokazac, ze dla dowolnego odwracalnego A , (A ¡ 1 ) 0 =(A 0 ) ¡ 1
5. Pokazac (z definicji), ze macierz X 0 X jest nieujemnie okreslona
1
6. Pokazac (z definicji liniowej niezaleznosci), ze macierz X 0 X jest nieosobliwa jesli
kolumny macierzy X s a liniowo niezalezne
7. (*) Udowodnic, ze X 0 X jest dodatnio okreslona to (X 0 X) ¡ 1 jest tez dodatnio
okreslona (skorzystaj z dekompozycji spektralnej macierzy symetrycznej)
2
11
1 ¡ 2
11
3
8. (*) Mamy macierz A=
4
5 ; znajdz macierz idempotentn a A ? ortog-
2
3
1
2
3
onaln a do tej macierzy. Dla wektora x=
4
5 ; znalez taki wektor v , ze
x=Av+A ? x . Pokaz, ze kwadrat długosci wektora x jest równy sumie dłu-
gosci wektorów Av i A ? x . Udowodnij, ze nie istnieje taki wektor z dla którego
długosc wektora x ¡ Az byłaby mniejsza niz długosc wektora x ¡ Av
9. Udowodnij, ze dla macierzy A i B o odpowiednich wymiarach (AB) 0 =B 0 A 0
10. Udowodnij, ze dla sladu macierzy prawd a jest, ze tr(A+B)=tr(A)+tr(B) ;
tr(AB)=tr(BA)
11. Pokaz, ze dla idempotentnego P , M=I ¡ P jest takze idempotentne oraz, ze
MA=0
12. Pokaz, ze macierz P dla dowolnego A takiego, ze A 0 A jest nieosobliwe
P=A(A 0 A) ¡ 1 A 0
jest idempotentna.
13. Udowodnij, ze macierz M=I ¡n ¡ 1 ll 0 jest macierz a idempotentn a rzedu n¡ 1
oraz l 0 M=0 . l jest n wymiarowym wektorem jedynek. Policzyc tr(M) .
2 Analiza matematyczna - pojecia
1. Pojecie pochodnej funkcji skalarnej i wektorowej liczonej wzgledem wektora
zmiennych
2. Pokazac, ze dla wektorów kolumnowych a i ¯ mamy @ a 0 ¯
@¯ =a i @ a 0 ¯
@¯ 0 =a 0
3. Pokazac, ze @ A ¯
@¯ =A
4. Pokazac, ze @¯ 0 A ¯
2
@¯ 0 =A i @¯ 0 A
@¯ 0 =2A ¯
5. Jaki wartosc powinien przyjmowac gradient ci agłej i rózniczkowalnej funkcji
f ( ¯ ) w punkcie ¯ ¤ , aby ¯ ¤ mogło byc punktem, w którym funkcja przyjmuje
maksimum
6. Jak a chrakterystyczn a ceche ma macierz drugich pochodnych?
7. Jak mozna rozpoznac na podstawie własnosci macierzy drugich pochodnych, ze
ekstremum funkcji wielu zmiennych jest maksiumum?
2.1 Analiza matematyczna - Zadania
1. Znalezc gradient i Hessian dla funkcji y =2 x 2 1 +3 x 2 2 +5 x 1 x 2 ¡ 4 : Znalezc
ekstremum tej funkcji i okresl jego typ.
2. Znalezc ekstremum funkcji y = x 2 1 +4 x 2 2 + x 1 x 2 ¡ 1 i okreslic jego typ. Znalezc
ekstremum tej samej funkcji przy warunku pobocznym x 2 ¡ 2 x 1 =1 posługu-
j ac sie funkcj a Lagrange i wstawiaj ac ograniczenia bezposrednio do funkcji celu.
Porównac wielkosc funkcji celu w ekstremum w przypadku istnienia warunku
pobocznego i w przypadku braku tego warunku.
3. Znaleziono maksima g ¤ =max
x 1 ;x 2 g ( x 1 ;x 2 ) i g ¤¤ =max
x 1 g ( x 1 ; 0) . Jak sie maj a do
siebie g ¤ i g ¤¤ ?
4. Znaleziono maksima z ograniczeniami (warunkami pobocznymi) g ¤ =max
x 1 ;x 2
g (x)
s.t. H(x)=0 i maksimum bez ogranicze n g ¤¤ =max
x 1 ;x 2
g (x) . Jak sie maj a do
siebie g ¤ i g ¤¤ ?
g (x) s.t. H(x)>0 , przy
czym okazało sie, ze i -ty wiersz macierzy H(x) w punkcie maksimum jest wiek-
szy od zera ( H i (x ¤ ) > 0 ). Jaka jest wartosc mnoznika Lagrangre’a dla i -tego
ograniczenia w tym zadaniu?
3
5. Znaleziono maksimum z ograniczeniami g ¤ =max
x 1 ;x 2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin