Paluszyński Maciej - Analiza matematyczna dla informatykow.pdf

(1113 KB) Pobierz
213736955 UNPDF
Analiza matematyczna dla informatyk ó w
Notatki z wyk“adu
Maciej Paluszy«ski
3 stycznia 2010
Spis tre–ci
1 Analiza matematyczna FAQ
3
2 Liczby rzeczywiste i zespolone
6
3 Funkcje
22
4 Ci¡gi
29
5 Szeregi
49
6 Granica funkcji
63
7 Funkcje ci¡g“e
74
8 Pochodna
82
9 Ca“ki
112
10 Ca“ka oznaczona
123
11 Zastosowania ca“ek
142
12 Ca“ki niew“a–ciwe
152
13 Wzory Wallisa i Stirlinga
160
14 Ca“kowanie numeryczne
166
15 Ci¡gi i szeregi funkcyjne
172
2
Rozdzia“ 1
Analiza matematyczna FAQ
Analiza matematyczna nie jest zapewne najpopularniejszym przedmiotem
na informatyce. W ko«cu, je»eli kto– mia“by wielk¡ ochotƒ na analizƒ ma-
tematyczn¡, to przypuszczalnie studiowa“by matematykƒ, a nie informatykƒ.
Tymczasem –wie»o upieczeni studenci informatycy, nie mog¡cy doczeka¢ siƒ
chwili, w kt ó rej napisz¡ pierwsze linijki profesjonalnego kodu, musz¡ pochyli¢
siƒ nad pytaniami typu: czy dana suma niesko«czona jest zbie»na czy nie.
Okazuje siƒ, »e w–r ó d przedmiot ó w obowi¡zkowych na pierwszym roku jest
w“a–nie analiza matematyczna!
Chcia“bym odpowiedzie¢ na kilka czƒsto pojawiaj¡cych siƒ pyta«, i prze-
kona¢ pa«stwa, »e ten wyk“ad nie znalaz“ siƒ w programie przez pomy“kƒ. › e
wrƒcz przeciwnie, jest to jeden z najwa»niejszych wyk“ad ó w pierwszych lat,
i »e warto siƒ do niego przy“o»y¢.
Czƒsto pojawia siƒ nastƒpuj¡ca w¡tpliwo–¢: po co informatykowi mate-
matyka. Przecie» nawet je»eli kiedy– pojawi siƒ potrzeba zastosowania ja-
kiego– wyniku matematycznego, to doczytamy sobie potrzebne rzeczy, albo
skonsultujemy siƒ ze specjalist¡. Taki argument to wynik nieporozumienia.
Podstawowy kurs analizy matematycznej to nie jest »adna specjalistyczna
wiedza. Nie nale»y oczekiwa¢, »e pojƒcia i twierdzenia, kt ó rymi bƒdziemy
siƒ zajmowali na tym wyk“adzie rozwi¡»¡ nam jakie– konkretne problemy.
Ca“a ta analiza matematyczna to jest po prostu jƒzyk kt ó rym siƒ pos“ugu-
jemy, kiedy chcemy sformu“owa¢ czy zrozumie¢ jaki– problem. Jest to jƒzyk
uniwersalny w naukach technicznych, r ó wnie» w informatyce. W dzisiejszych
czasach, je»eli chce siƒ by¢ prawdziwym, tw ó rczym profesjonalist¡, praktycz-
nie w ka»dej dziedzinie, trzeba zna¢ angielski. Fachowa literatura jest po
angielsku, Internet jest (upraszczaj¡c trochƒ) po angielsku, a »aden sta» za-
graniczny nie oka»e siƒ sukcesem bez znajomo–ci angielskiego. Podobnie jest
z analiz¡. Trzeba oswoi¢ siƒ z pojƒciami takimi jak zbie»no–¢, ci¡g“o–¢, przy-
bli»enie, ca“ka, szereg potƒgowy i temu podobne. Tego typu pojƒcia prze-
3
wijaj¡ siƒ wszƒdzie i bƒd¡ pa«stwu towarzyszy¢ w przysz“ej karierze. Wielu
z was pojedzie na sta»e do o–rodk ó w za granic¡, na przyk“ad do siedziby
rmy Microsoft w Redmond nad brzegiem jeziora Washington. Pamiƒtajmy,
»e ka»dy absolwent studi ó w in»ynieryjnych, na przyk“ad w Stanach Zjedno-
czonych (obejmuje to tak»e informatyk ó w), ma za sob¡ co najmniej 3 seme-
stry analizy matematycznej. Tacy ludzie bƒd¡ tworzyli wasze –rodowisko, to
z nimi bƒdziecie robi¢ wsp ó lne projekty. Nie znaj¡c podstawowego jƒzyka
nauk technicznych, czyli analizy, byli by–cie, je–li mo»na tak powiedzie¢,
profesjonalnymi analfabetami. Podkre–lmy wiƒc: podstawowy kurs analizy
matematycznej to nie jest »adna specjalistyczna wiedza, kt ó ra mo»e siƒ przy-
da¢, ale nie musi. To podstawowe pojƒcia i zwi¡zki pomiƒdzy nimi, kt ó re
stale bƒd¡ siƒ przewija¢, w trakcie studi ó w, i potem, w zawodowym »yciu co-
dziennym. W trakcie dalszych studi ó w bƒd¡ pa«stwu oferowane r ó »ne inne
wyk“ady matematyczne lub z pogranicza matematyki i informatyki. Wiele
z nich bƒdziecie mogli wybra¢ b¡d„ opu–ci¢. Ale analiza, podobnie jak na
przyk“ad logika, pe“ni inn¡ rolƒ jest podstawowa i obowi¡zkowa.
Czƒsto pojawia siƒ nastƒpuj¡cy problem. Studenci m ó wi¡: No dobrze,
skoro siƒ pan upiera, to bƒdziemy siƒ uczy¢ analizy. Ale dlaczego tak szcze-
g ó “owo pan wszystko uzasadnia i dowodzi. Niekt ó re z pana dowod ó w s¡ na
ca“¡ stronƒ! My wierzymy panu, »e te twierdzenia s¡ prawdziwe. Zamiast
dowod ó w niech pan wy“o»y wiƒcej materia“u. Ot ó » jest to w dalszym ci¡gu
to samo nieporozumienie. Na tym wyk“adzie chodzi nam o to, »eby zapo-
zna¢ siƒ z pojƒciami, zale»no–ciami pomiƒdzy nimi, sposobem w jaki na siebie
wzajemnie wp“ywaj¡. Spos ó b argumentacji jest tak samo wa»ny, jak same
fakty. Na tym wyk“adzie pytanie co? jest r ó wnie wa»ne jak dlaczego? .
Zauwa»my te», »e wiƒkszo–¢ dowod ó w jest bardzo kr ó tka i jasna. Je»eli do-
w ó d nie jest natychmiastowy, to zawsze staram siƒ podkre–li¢ jego pomys“.
Najpierw intuicyjnie staramy siƒ doj–¢ dlaczego dane twierdzenie mia“oby
by¢ prawdziwe, a kiedy ju» mamy og ó lne pojƒcie, staramy siƒ doprecyzowa¢
rozumowanie, i ca“o–¢ ubra¢ w s“ ó wka . Je»eli wiemy od pocz¡tku o co w
dowodzie chodzi, to ca“o–¢ nie jest ani trudna, ani zawi“a.
Wielu student ó w zg“asza nastƒpuj¡c¡ uwagƒ: Ten wyk“ad to zaledwie po-
wt ó rka tego, co mieli–my w szkole –redniej. Wiƒkszo–¢ zada« na kolokwiach
i egzaminie jest tak “atwa, »e a» wstyd. Chcemy i mo»emy wiƒcej, du»o
wiƒcej! To prawda, du»a czƒ–¢ materia“u zawiera siƒ w programie szko“y
–redniej. Ale proszƒ pamiƒta¢, to nie jest wyk“ad nastawiony na wyczyn na-
ukowy. Chcemy uporz¡dkowa¢ i utrwali¢ t¡ podstawow¡ wiedzƒ, jak¡ jest
analiza. Nie ma wiele nowego materia“u, ale to co jest jest wy“o»one szczeg ó -
“owo, bez omijania spraw k“opotliwych. Na ¢wiczeniach jest te» do zrobienia
du»o zada«. Jak m ó wi¡ Amerykanie: Co jest podstaw¡ rzetelnej wiedzy?
Repetition, repetition, repetition! Bez obawy, je»eli szukacie pa«stwo g“ƒ-
4
bokiej, rzetelnej wiedzy, to znale„li–cie siƒ we w“a–ciwym miejscu. Opr ó cz
analizy czeka was wiele innych wyk“ad ó w, i nie bƒdziecie siƒ nudzi¢. Je»eli
interesuje was analiza, albo inne przedmioty matematyczne, to w s¡siednim
budynku znajdziecie wyk“ady z ka»dej dziedziny matematyki, i na ka»dym
poziomie. Wielu student ó w informatyki uczƒszcza na wyk“ady w Instytucie
Matematycznym, i wielu student ó w matematyki przychodzi na zajƒcia do In-
stytutu Informatyki. To nie przypadek, »e budynki s¡siaduj¡ ze sob¡, i mo»na
przechodzi¢ pomiƒdzy nimi such¡ stop¡ . Nawet biblioteka jest wsp ó lna. Za-
wsze te» jeste–cie mile widziani na konsultacjach, gdzie mo»ecie porozmawia¢
z wyk“adowc¡, kt ó ry z niejednego ju» pieca chleb matematyczny jad“.
Pojawia siƒ te» nastƒpuj¡ce pytanie: Notatki z wyk“adu maj¡ 15 roz-
dzia“ ó w, mniej wiƒcej tyle, ile tygodni bƒdzie trwa“ wyk“ad. Mamy wiƒc plan
pracy, i dodatkowo gotowe notatki. Czy mo»emy w takim razie nie chodzi¢
na wyk“ad? Po co mamy zrywa¢ siƒ z “ ó »ka na 12, »eby ogl¡da¢, jak przepi-
suje pan notatki na tablicƒ? Po co chodzi¢ na ¢wiczenia i ogl¡da¢, jak kto–
rozwi¡zuje proste zadania? Ot ó » nie, zdecydowanie powinni–cie pa«stwo
chodzi¢ na wyk“ad i na ¢wiczenia. S“uchanie wyk“adu to zupe“nie co innego
ni» czytanie notatek. Nawet nie chodzi o to, »e s¡ pytania, »e pojawiaj¡
siƒ nowe pomys“y. Z do–wiadczenia wiadomo, »e ka»dy wyk“ad jest inny.
Czasem ten sam temat przerabia siƒ w 15 minut, czasem w godzinƒ. Z ca“¡
pewno–ci¡ wyk“ad nie polega tylko na przepisywaniu notatek na tablicƒ. Po-
dobnie z ¢wiczeniami. Nie da siƒ opanowa¢ tego materia“u nie robi¡c zada«
samodzielnie. Wydaje mi siƒ, »e mo»na tu zastosowa¢ analogiƒ do nauki jƒ-
zyka obcego. Trzeba ¢wiczy¢, trzeba pr ó bowa¢, i oczywi–cie trzeba samemu
chodzi¢ do tablicy i rozwi¡zywa¢ zadanie publicznie. Trzeba te» stara¢ siƒ
by¢ na bie»¡co . W takim wyk“adzie jak analiza “atwo jest zgubi¢ siƒ w
jakim– momencie i straci¢ w¡tek. Kolejno wprowadzane pojƒcia bƒd¡ ju»
do ko«ca stale u»ywane. Obecno–¢ formalnie nie jest sprawdzana, ale proszƒ
pamiƒta¢, »e nie chodz¡c na wyk“ad czy ¢wiczenia mo»ecie wpƒdzi¢ siƒ w k“o-
poty. Nie jest “atwo opanowa¢ ten materia“ tylko czytaj¡c gotowe notatki.
Opr ó cz egzaminu ko«cowego w trakcie semestru bƒd¡ 3 kolokwia, mniej wiƒ-
cej co miesi¡c. Kolokwia powinny da¢ pa«stwu w czasie rzeczywistym jasny
obraz tego, jak wam idzie.
Je»eli macie pa«stwo inne pytania pytajcie. M ó j adres to
mpal@math.uni.wroc.pl
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin