metoda_wyznacznikowa.pdf

Rozwiązywanie układów równań stopnia pierwszego

metodą wyznacznikową

Przedmowa

To opracowanie jest napisane z myślą o gimnazjalistach, ale mogą z niego korzystać wszyscy którzy chcą się do-

wiedzieć lub przypomnieć sobie jak rozwiązuje się układy równań liniowych (stopnia pierwszego) metodą wy-

znacznikową. Wszystko co tu znajdziesz jest wyjaśnione od podstaw. Nie musisz być orłem z matematyki by zro-

zumieć o co tu chodzi. Zamieściłem tu bardzo dużo rozwiązanych zadań wraz z opisem wszystkich wykonywa-

nych czynności.

Spis tematów

1. Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań? .................................................................. 2

2. Rozwiązywanie układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi metodą wyznacznikową. ....... 4

3. Rozwiązywanie układów trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi metodą wyznacznikową. ......... 8

4. Przydatne linki. ............................................................................................................................................... 11

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 1

Opracowanie to omawia rozwi ą zywanie układów równa ń metod ą wyznacznikow ą (wyznaczników). To jest darmowy e-book pdf do gimnazjum. Nauczysz si ę z nim jak rozwi ą zywa ć układ równa ń liniowych (stopnia pierwszego). Download go.

Temat: Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań?

Układ równań to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamerką np.

=10

−

Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną zmienną (niewiadomą) np.

lub

. Zmienne mogą być podnie-

sione do jakiejś potęgi, ale różnej od 0. Przykłady układów równań:

−7

=10

−5

−2

−5

−4

−3

=−10

Równania tworzące układ równań powinno się podpisywać tak, by znaki równości były idealnie jeden nad drugim.

W matematyce układy równań stosuje się w celu szybszego otrzymania wyniku z zadania tekstowego. Zasada jest

taka, że na podstawie treści zadania układasz przynajmniej dwa równania z dwiema niewiadomymi, spinasz je

z lewej strony klamerką i przystępujesz do znalezienia rozwiązania. Co jest rozwiązaniem układu równań napiszę

później.

Ponieważ w gimnazjum omawiane są tylko układy złożone z dwóch równań o dwóch zmiennych podniesionych do

potęgi pierwszej (wówczas potęgi się nie pisze), więc od tej pory wszystko co będę pisać, będzie się tyczyć wyłącznie

tego typu układów równań.

Znalezienie rozwiązania danego układu równań polega na tym, by znaleźć takie liczby które wstawione za-

miast zmiennych sprawią, że w obu równaniach strona lewa będzie równa stronie prawej. Zobacz to na

przykładzie już wcześniej napisanego układu równań:

=10

−

Jeśli w równaniu pierwszym zamiast

np. liczbę 2, to strona lewa będzie

równa stronie prawej. Wstawiając jednak te same liczby do równania drugiego, sprawisz, że jego strona lewa nie

będzie równa stronie prawej. Wnioskujesz więc, że liczby te nie spełniają tego układu równań (nie są jego rozwiąza-

niem), bo w równaniu drugim lewa strona nie wyszła równa stronie prawej.

napiszesz liczbę przypuśćmy 8 i zamiast

Skoro powyższe liczby tj.

=2 nie były rozwiązaniem powyższego układu równań, więc szukasz innych liczb

i robisz to tak długo, aż znajdziesz dwie takie liczby, które spełniają oba równania jednocześnie. Wybierasz więc

przykładowo

=8 i

= 5 i

= 1 i sprawdzasz czy spełniają one dany układ równań. Jeśli zamiast

w obu równaniach na-

piszesz liczbę 5 i w obu równaniach zamiast

napiszesz liczbę 1 , to w drugim równaniu strona lewa będzie w praw-

dzie równa stronie prawej, ale w pierwszym równaniu nie. Zatem

=1 nie spełniają tego układu równań,

bo tylko w jednym równaniu strona lewa wyszła równa stronie prawej. Szukasz więc innych liczb. Niech tym razem

będą nimi:

=5 i

=−10 i

=15. Jeśli zamiast

w obu równaniach napiszesz liczbę −10 i w obu równaniach zamiast

napiszesz liczbę 15, to ani w pierwszym ani w drugim równaniu strona lewa nie będzie równa stronie prawej. Za-

tem te liczby również nie spełniają tego układu równań. Wybierasz więc jeszcze inne liczby — takie które wydają Ci

się że mogą spełniać ten układ równań, choć nie masz pewności czy tak w rzeczywistości będzie. Sprawdzasz więc

liczby

napiszesz

liczbę 3, to w pierwszym równaniu strona lewa będzie równa stronie prawej i w równaniu drugim również strona

lewa będzie równa stronie prawej. Nareszcie metodą prób i błędów udało się znaleźć takie dwie liczby które spełnia-

ją oba te równania jednocześnie. Zatem rozwiązaniem rozpatrywanego układu równań jest

=7 i

=3. Jeśli zamiast

w obu równaniach napiszesz liczbę 7 i w obu równaniach zamiast

lub krócej

— jest nim para liczb ( 7 ; 3 ) — zauważ, że liczby są ujęte w nawias zwykły i rozdzielone średnikiem (tak jakby to były

współrzędne punktu w układzie współrzędnych).

W rozwiązywaniu układów równań chodzi o to, by nie znajdować rozwiązania (wspólnej pary dla podanych równań)

w taki sposób jak to robiliśmy powyżej (chybił-trafił), lecz dokładnie je wyliczyć w oparciu o jakąś metodę.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 2

No dobra. Masz już rozwiązanie powyższego układu równań i mogłoby się wydawać, że to już koniec. Tymczasem

tak nie jest.

Sformułowanie rozwiązać układ równań oznacza, że trzeba znaleźć wszystkie wspólne pary (

;

) dla poda-

nych równań, a nie tylko jedną z nich. Zobacz:

równanie pierwsze tj.

=10 jest spełnione m.in. przez pary (

;

(0; 10), (1; 9), (2; 8), (3; 7), (7; 3) , (8; 2), (9; 1), (11; –1), (12; –2)

a równanie drugie:

−

=4 m.in. przez pary (

;

(0; –4), (1; –3), (2; –2), (5; 1), (7; 3) , (8; 4), (9; 5), (10; 6), (13; 9).

Ponieważ oba równania są spełnione przez nieskończenie wiele różnych par, więc może się zdarzyć, że oprócz znale-

zionej wspólnej pary (7; 3) istnieją jeszcze inne wspólne pary które spełniają ten układ równań. Tych wspólnych par

może być nawet nieskończenie wiele, a szukać ich należy także pośród ułamków, pierwiastków, liczb mieszanych

oraz liczb ujemnych. Nie można więc poszukiwać rozwiązania układu równań metodą na chybił-trafił jak to było ro-

bione powyżej. Co by było gdybym zamiast

nie wstawił liczby 7 i zamiast

liczby 3? Powstałoby wrażenie, że po-

wyższy układ równań nie ma rozwiązania — a tak nie jest.

By znaleźć wszystkie rozwiązania danego układu równań, należy posłużyć się jakąś metodą która pozwoli w sposób

rachunkowy (bez zgadywania), wyznaczyć wszystkie wspólne pary. W przypadku układu równań składającego się

z dwóch równań stopnia pierwszego (zmienne są podniesione do potęgi pierwszej), metody pozwalające wyznaczyć

wszystkie rozwiązania nazywają się tak:

— podstawiania (algebraiczna)

— przeciwnych współczynników (algebraiczna)

— graficzna

— wyznacznikowa (algebraiczna)

— eliminacji Gaussa

— Kroneckera-Cappellego

i zostaną one pojedynczo omówione w następnych tematach (oprócz dwóch ostatnich — zakres studiów).

Zauważ, że sposób zapisywania par spełniających dane równanie jest dokładnie taki sam jak sposób zapisywania

współrzędnych punktów w układzie współrzędnych. Nie jest to zbieg okoliczności. Każdą parę spełniającą dane rów-

nanie możesz zaznaczyć w układzie współrzędnych jako punkt. Jeśli w jednym układzie współrzędnych zaznaczysz

wszystkie pary spełniające równanie pierwsze (na ogół będzie ich nieskończenie wiele), to otrzymasz jakąś linię (wy-

kres funkcji) — w zadaniach z zakresu gimnazjum na ogół będzie to prosta. Gdy zrobisz to samo z drugim równa-

niem, to otrzymasz drugą linię (następny wykres funkcji). Rozwiązaniem danego układu równań będą współrzędne

tych punktów które należą jednocześnie do obu narysowanych wykresów.

−2

=29

Ćwiczenie:

Sprawdź czy para (5;3) spełnia układ równań:

. [Podpowiedź. W obu równaniach zamiast napisz liczbę

5 (pierwsza podana współrzędna) a zamiast liczbę 3. Sprawdź, czy w każdym równaniu strona lewa jest równa stronie prawej. Odp. Tak, spełnia.]

=23

Ćwiczenie:

Wypisz 8 par (

;

) spełniających równanie pierwsze, a następnie 8 par (

;

) spełniających równanie

−

=12

drugie układu równań:

. Jaka para liczb (

;

) jest wspólna dla obu tych równań?

[Odp. ( ; )=(6; 0).]

−3

=12

Ćwiczenie:

Wypisz po 10 par (

;

) spełniających równania układu równań:

. Jaka para liczb (

;

)

jest wspólna dla obu tych równań? [Odp. ( ; )=(3;−2).]

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 3

Temat: Rozwiązywanie układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiado-

mymi.

Sformułowanie rozwiązać układ równań o zmiennych

oznacza, że trzeba znaleźć takie liczby, które po

napisaniu zamiast

sprawią, że we wszystkich równaniach strona lewa będzie równa jej stronie

prawej. Przypuśćmy, że dany jest układ równań:

i zamiast

+3=7

−4

=−

Jego rozwiązaniem są liczby

, bo wstawiając je do obu równań dostaniesz w obu równaniach

równość strony lewej i prawej. Znalezienie ich metodą prób i błędów nie jest łatwe. By je wyliczyć musiałem zasto-

sować jakąś metodę która to umożliwia. Nazwy tych metod oraz na czym one polegają omówię za chwilę. Szukanie

rozwiązania na chybił trafił jest dozwolone, ale w praktyce się go nie stosuje.

Do rozwiązywania układów dwóch równań liniowych (stopnia pierwszego) o dwóch niewiadomych, wystarczy zasto-

sować np. metodę:

— podstawiania (algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Z jednego równania wyliczasz np.

i to co otrzymasz wstawiasz do innego równania z którego wyliczasz drugą

zmienną.

— przeciwnych współczynników (algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Przekształcasz równania układu równań w taki sposób, by po dodaniu równań stronami otrzymać 0

Wyliczasz tę zmienną która się nie wyzerowała i stosując metodę podstawiania obliczasz drugą zmienną z do-

wolnego równania.

lub 0

— graficzną (rysunkowa)

Z obu równań wyliczasz zmienną

i oba równania które otrzymasz traktujesz jako wzory funkcji liniowych. Ry-

sujesz wykresy tychże funkcji liniowych w jednym układzie współrzędnych i z rysunku (na oko) odczytujesz

współrzędne punktu przecięcia tych wykresów. Jeśli takiego punktu nie ma, to układ równań jest sprzeczny,

a jeśli punktów tych jest nieskończenie wiele (proste pokrywają się), to układ równań jest nieoznaczony.

— wyznacznikową (algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Wyliczasz 3 tzw. wyznaczniki i na ich podstawie prawie od razu dostajesz poszukiwane rozwiązania. Szczegóły są

opisane w osobnym temacie.

— eliminacji Gaussa (algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Zapisujesz liczby występujące w obu równaniach w postaci tzw. macierzy i ją przekształcasz do tzw. macierzy schodkowej. Jest to zakres studiów, więc tekst ten napisa-

łem małym drukiem i nie będę go omawiać.

— Kroneckera-Capellego (algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Wypisujesz liczby ze wszystkich równań i układasz je tak by utworzyły tzw. macierz. Następnie wykreślasz jedną kolumnę i jeden wiersz napisanej macierzy koniecznie z

pierwszego wiersza lub pierwszej kolumny, dzięki czemu z niewykreślonych liczb powstanie Ci mniejsza macierz. Obliczasz wyznacznik tej mniejszej macierzy i mnożysz

go przez liczbę która była na przecięciu wykreślonej kolumny i wiersza oraz dodatkowo otrzymany wynik mnożysz przez liczbę −1 lub 1 w zależności którym miejscu

macierzy znajdowało się przecięcie wykreślonego wiersza i kolumny. Czynności te powtarzasz tyle razy ile masz kolumn lub wierszy w danej macierzy. Dla układów

dwóch równań metoda ta jest równoważna metodzie wyznacznikowej. Tą metodą można rozwiązywać nawet układy mające 100 równań o 100 niewiadomych. Metody

tej nie poznają gimnazjaliści ani licealiści ze względu na dość skomplikowane obliczenia.

Aby pokazać, że każda z powyższych metod daje ten sam wynik, rozwiążmy ponownie układ równań:

=10

−

ale tym razem nie na chybił trafił, lecz powyżej wspomnianymi metodami.

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 4

Metoda wyznacznikowa

Aby stosować tę metodę do równań o dwóch zmiennych

, trzeba będzie najpierw każde równanie przekształcić

do postaci znanej z metody przeciwnych współczynników (najpierw wyrażenie z

potem wyrażenie z

a po prawej

stronie znaku równości tylko liczba nie mająca przy sobie ani

ani

), a następnie policzyć 3 tzw. wyznaczniki.

Wyznacznik to liczba otrzymana w specyficzny sposób. Aby ją wyliczyć musisz mieć najpierw tabelę składa-

jącą się z dwóch wierszy i dwóch kolumn (gdy równania mają tylko dwie zmienne np.

) albo z trzech

wierszy i trzech kolumn (gdy równania mają dokładnie trzy zmienne np.

Zazwyczaj gdy mówimy o tabelach, rysujemy kratkę o odpowiedniej ilości wierszy i kolumn, i wpisujemy w nią naj-

częściej liczby. W przypadku wyznaczników jest nieco inaczej. Tabelę uzupełniasz tylko liczbami, ale bez rysowania

kratek. Aby zaznaczyć, że jest to tabela (tzw. macierz), ujmuje się ją w rozciągnięte nawiasy kwadratowe. Przykła-

dowa tabela (macierz) 3 × 3 (czyli 3 wiersze i 3 kolumny) wygląda następująco:

−385

24−1

506

Licząc wyznacznik z tabeli 2 × 2 ( 2 wiersze i 2 kolumny) lub 3 × 3 należy z przodu dopisać „det” (skrót od angielskiego

słowa determinant):

−385

24−1

506

det

= …

a następnie daną tabelę ująć w dwie pionowe kreski i pominąć rozciągnięte nawiasy kwadratowe oraz słowo „det”:

−385

24−1

506

−385

24−1

506

det

Obliczenia można też od razu zaczynać od zapisu z pionowymi kreskami, bo one zastępują słowo „det” i wiadomo

o co chodzi. Tak też będziemy robić w tym opracowaniu. Słowa „det” nie będziemy używać.

Rozpatrzmy przykładowy układ dwóch równań liniowych z 2-ma niewiadomymi:

−2

−4

i zapiszmy każde jego równanie w postaci

czyli tak jak przy metodzie przeciwnych współczynników.

W metodzie wyznacznikowej jest to konieczne. Masz zatem postać równoważną powyższego układu równań:

−5

= −2

−6

−4

= 9

Najpierw trzeba policzyć wyznacznik który oznaczmy literą

, później

, a na końcu

Wyznacznik

wyliczasz z tabeli utworzonej z liczb stojących przed zmiennymi

3 −5

−6 −4

Wersja z dnia: 26.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Układy równań — strona 5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: