6_rr.pdf

wiczenie6(6godzin)

Numerycznerozwi¡zywaniezagadnie«pocz¡tkowychrówna«iukładówrówna«ró»niczkowychzwyczajnych

Cel¢wiczenia

Praktycznesprawdzeniewiedzyn/tpopularnychmetodrozwi¡zywaniazagadnie«pocz¡tkowych

równa«iukładówrówna«ró»niczkowychzwyczajnych.Porównanieprzydatno±ciposzczególnychmetod

dorozwi¡zywaniaspecyﬁcznychzagadnie«.Zaznajomieniezmetodamiautomatycznejzmianydługo±ci

kroku.Obserwacjawpływuwielko±ciobszarustabilno±ciabsolutnejnaswobod¦wyborudługo±cikroku.

metody ode23 wi¦kszani»3orazdlametody ode45 wi¦kszani»6±wiadczyoodrzucaniukrokówprzez

mechanizmautomatycznegodoborudługo±cikroku;podobniejestdlapozostałychmetodjednaktrudniej

poda¢tak¡warto±¢graniczn¡)

Sprawozdaniepowinnozawiera¢

• obserwacjeiwynikiporówna«poszczególnychmetodorazwpływudługo±cikrokuicharakteru

rozwi¡zaniadokładnegonajako±¢rozwi¡za«numerycznych(obserwacjepowinnyby¢zilustro-

wanenajciekawszymi,odpowiedniodobranymirysunkami-wydrukamirozwi¡za«numerycznych

natledokładnych),

• obszarystabilno±ciabsolutnej badanych metodrz¦du1–4wyznaczoneprzypomocyprogramu

oabstab

• analiz¦wpływudługo±cikrokuiwielko±ciobszarustabilno±ciabsolutnejnajako±¢uzyskiwanego

rozwi¡zanianumerycznegonaprzykładzierównaniatestowegoirównaniaokr¦gu,

• porównanienakładuoblicze«niezb¦dnegodorozwi¡zaniawybranegozagadnieniapocz¡tkowego

przywykorzystaniumetodystałokrokowejimetody„wło»onej”(ang.embeded)zpodobnym

bł¦demglobalnym,

• zestawieniewynikóweksperymentównumerycznychze„sztywnym”zagadnieniempocz¡tkowym

• uwagiiwnioski.

Program¢wiczenia

• Praktyczneprze±ledzeniezwi¡zkumi¦dzydługo±ci¡krokuawielko±ci¡bł¦dulokalnegoiglobal-

negorozwi¡zania,dlaró»nychrówna«ró»niczkowych(oró»nymcharakterzerodzinyrozwi¡za«)

• Obserwacjadziałaniametodzmiennokrokowych

• Praktycznezaznajomieniezpoj¦ciemobszarustabilno±ciabsolutnejmetody

• Praktycznezaznajomieniezpoj¦ciemsztywno±cirównaniaró»niczkowego(układurówna«).

Instrukcjawykonawcza

1.Zapozna¢si¦zrepertuaremdost¦pnychmetod(stałokrokowe: eul , emod , rk4 , runge , trapez ,

ieul , itrap , ieuljac , itrapjac ,orazb¦d¡cecz¦±ci¡ Matlab ’a,wył¡czniezmiennokrokowe:

ode23 , ode45 , ode113 , ode23s i ode15s );przeanalizowa¢plikpomocniczy locerr .

2.Dlapodanychprzezprowadz¡cegozagadnie«pocz¡tkowychprze±ledzi¢wpływdługo±cikrokuna

bł¡dlokalnyiglobalnyrozwi¡zaniaorazró»nicewdziałaniudost¦pnychmetodstałokrokowych

rz¦du1–4;zwróci¢uwag¦nawielko±¢bł¦dulokalnegoiglobalnego,charakterzmienno±cibł¦du

lokalnego,szybko±¢zmniejszaniasi¦bł¦duprzyzmniejszaniu(np.połowieniu)długo±cikroku;

doobserwacjibł¦dulokalnegomo»naposłu»y¢si¦plikiempomocniczym locerr .

3.Dlaporównaniazastosowa¢dotychsamychzagadnie«pocz¡tkowychmetody ode23 , ode45 ,

ode113 , ode23s i ode15s zró»nymiwarto±ciamiparametruokre±laj¡cegodokładno±¢(jako

czwartyparametrwywołaniapodawa¢ optpkt3( tol ) ,gdzie tol przyjmujenaprzykładwarto±ci

10 − 2 , 10 − 4 , 10 − 6 ),zanotowa¢maksymalnybł¡diliczb¦wykonanychkroków.

4.Uruchomi¢program oabsstab iwydrukowa¢obszarystabilno±ciabsolutnejdladost¦pnychmetod

stałokrokowych.Dlatychsamychmetod(toznaczyEulera( eul ),Eulera-Cauchy’ego( emod ),

Heuna( heun ),klasycznaRK4( rk4 ),niejawnaEulera( ieul oraz ieuljac )iniejawnatrapezów

( itrap oraz itrapjac ))wykona¢kilkapróbznalezieniarozwi¡zaniarównaniatestowego ˙ y = y

orazrównaniaokr¦gu( ¨ y = − ! 2 y )zzastosowaniemró»nejdługo±cikroku(takby h b¡d¹

j!h le»ałorazwewn¡trzaraznazewn¡trzobszarustabilno±ciabsolutnej).

5.Dlapodanegoprzezprowadz¡cego¹leuwarunkowanegozagadnieniapocz¡tkowego(„ sti ”),

zró»nymiwarto±ciamiparametru C ,okre±laj¡cego„sztywno±¢”zadania(np.1,100,10000),

obserwowa¢długo±¢krokuiliczb¦wywoła«funkcjiobliczaj¡cejpraw¡stron¦równaniaprzy

u»yciumetod ode23 , ode45 , ode113 (realizuj¡c¡metodyAdamsa), ode15s (realizuj¡c¡metod¦

Geara)orazi ode23s (jakoczwartyparametrwywołaniapodawa¢ optpkt5( tol ) ,podobniejak

wpunkcie3;jakopi¡tyiszóstyparametrpoda¢ A i C );Zmieni¢warunekpocz¡tkowytakby

znikłaszybkozmiennacz¦±¢(składowa)rozwi¡zania(tzn.ustawi¢ A =0 )ipowtórzy¢badania.

Zestawi¢zesob¡rozwi¡zaniadlaró»nych C> 0 i C =0 .

( Uwaga :liczbawywoła«funkcjiobliczaj¡cejpraw¡stron¦równaniaprzypadaj¡canajedenkrokdla

Wymaganawiedzateoretyczna

Podstawowewiadomo±cizzakresunumerycznegorozwi¡zywaniarówna«ró»niczkowychzwyczajnych

wzakresieobj¦tymprogramemwykładuMetodNumerycznych–materiałmo»napowtórzy¢woparciu

opodan¡literatur¦:

• poj¦ciapodstawowe:równaniaró»niczkowezwyczajne,rz¡drównaniaró»niczkowego,zagadnienie

pocz¡tkoweibrzegowe,ogólnesposobyrozwi¡zywanianumerycznegorówna«ró»niczkowych

wy»szychrz¦dów[1,str.321–324],[2,str.295–297],

• deﬁnicjejedno–iwielokrokowychmetodrozwi¡zywaniazagadnie«pocz¡tkowych,metodjawnych

iniejawnych[1,str.332i337],

• poj¦ciabł¦dulokalnegoiglobalnegoorazrz¦dumetody[1,str.324–327],[2,str.297],

• poj¦cieobszarustabilno±ciabsolutnejiznaczeniewielko±citegoobszarudlaprzydatno±cimetody

[1,str.361–363],

• metodyRungego-Kutty–ogólnaposta¢jawnychmetodRKiwzorydlanajprostszychmetod

(jawnaEulera,jawnatrapezów,klasycznaRK4)[1,str.335–337],[2,str.297-299i318–323],

• ¹leuwarunkowane(„sztywne”,ang.„ sti ”)równania(układyrówna«ró»niczkowych)iwymaga-

niastawianemetodomdorozwi¡zywania¹leuwarunkowanychzagadnie«pocz¡tkowych[1,str.

338–340],

• metodyautomatycznejzmianydługo±cikrokudlametodjednokrokowych(metodaekstrapolacji

Richardsona;istotasposobukorzystaj¡cegozmetodywło»onejlubtowarzysz¡cej)[1,340–342],

[2,str.323–324].

Potrzebnawiedzan/tprogramu Matlab

• tworzeniefunkcjiu»ytkownika

• podstawoweoperacjenawektorachimacierzach

• składniawywołaniaprocedur ode23 , ode45 , ode113 , ode15s ,i ode23s

Literatura

[1]GermundDahlquist, ˚ AkeBj¨orck. Metodynumeryczne ,strony321–364.PWNWarszawa,1983.

[2]ZenonFortuna,BohdanMacukow,JanuszW¡sowski. Metodynumeryczne ,strony295–335.WNTWar-

szawa,1995.

[3]DavidKincaid,WardCheney. Analizanumeryczna ,strony493–528,557–564.WNTWarszawa,2006.

[4]AnthonyRalston. Wst¦pdoanalizynumerycznej ,strony154–194.PWNWarszawa,1983.

[5]JosefStoer,RolandBulirsch. Wst¦pdometodnumerycznych ,wolumen2,strony90–139.PWNWarszawa,

1980.

[6]JerzyKrupka,RomanZ.Morawski,LeszekJ.Opalski. Metodynumerycznedlastudentówelektroniki

itechnikinformacyjnych ,strony125–147.OﬁcynaWydawniczaPolitechnikiWarszawskiej,Warszawa,

1997.

[7]AndrzejKrupowicz. Metodynumerycznezagadnie«pocz¡tkowychrówna«ró»niczkowychzwyczajnych .

PWNWarszawa,1986.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: