matematyka-rozd2.pdf

(423 KB) Pobierz
QPrint
2. CIġGI LICZB RZECZYWISTYCH
Podstawowe okreĻlenia
nazywamy dowolne przyporzĢdkowanie kaŇdej
liczbie naturalnej pewnej liczby rzeczywistej, tzn. dowolnĢ funkcjħ
R
:
N
1
Dla przykþadu,
a
( = , N
)
:
.
a .
CiĢg zapisujemy w postaci ...)
a zamiast )
(
a lub N
1 a
,
,
( , lub =1
a )
a .
)
Dopuszczamy rwnieŇ ciĢgi =
( (ktre moŇna zawsze przenumerowaę pi-
a )
szĢc (
a +
− 1 ) =1
). Innymi sþowy, ciĢg =
( zawsze moŇemy zastĢpię ciĢgiem
a )
rwnowaŇnym =1
(
, gdzie
)
+
= 1 .
−
CiĢg moŇe byę zadany:
h wzorem oglnym, np.
a
: = ,
1
2
h wzorem rekurencyjnym, np.
a
1
:
=
0
a
2
=
1
a
=
a
− +
1
a
−
2
dla 3
(jest to
tzw. ciĢg Fibonacciego),
h poprzez opis, np. = :
a tej liczbie pierwszej, (2, 3, 5, 7, 11, ...).
Ze wzglħdu na monotonicznoĻę wyrŇniamy ciĢgi:
h a, tzn.
,
h aa, tzn. 1
a = dla dowolnego N
a dla dowolnego N
a
+
,
h , tzn. +
a dla dowolnego N
a
<
,
h aaa, tzn.
a dla dowolnego N
a
+
,
.
Oglnie ciĢgi staþe, rosnĢce i malejĢce nazywamy ciĢgami monotonicznymi.
a dla dowolnego N
a
>
+
Ęwiczenie. OkreĻlię typ monotonicznoĻci ciĢgu:
h
a
= , gdzie R
a
+
(
1
a, sĢ ustalone,
a, sĢ ustalone.
Ze wzglħdu na ograniczonoĻę wyrŇniamy ciĢgi:
h a , tzn. istnieje R
a , gdzie R
: −
takie, Ňe
a dla dowolnego
, h a , tzn. istnieje R
takie, Ňe
a dla dowolnego
,
22
a ,
ktrej dziedzinĢ jest zbir liczb naturalnych.
Zwykle piszemy
( 2
(
a
:
h a, tzn. 1
: −
=
h 1
a
N
N
39031116.019.png 39031116.020.png
h a, tzn. ograniczone z gry i z doþu (co jest rwnowaŇne istnieniu
takiego, Ňe
).
a =1
| dla dowolnego N
a |
a nazywamy liczbħ R
)
takĢ, Ňe dla dowol-
nego 0
.
Odnotujmy, Ňe wybr 0 oglnie zaleŇy od wybranej liczby .
Zapisujemy to symbolicznie:
istnieje N
>
0 takie, Ňe
|
a dla dowolnego 0
−|
lim
a
=
:
>
0
0
N
0
:
|
a
−
|
.
+
Zamiast
=
lim bħdziemy czħsto pisaę:
+
a
a gdy +
lub
a
+
lub teŇ po prostu
a , jeŇeli nie prowadzi to do wieloznacznoĻci. Np. 0
1
.
WþasnoĻci granic skoıczonych
1. aaaaa PrzypuĻęmy, Ňe 1
a , 2
a i
. Zastosujmy okreĻlenie granicy do
1
i niech
=
1
|
−
1
|
| 1
a dla
− |
2
3
2
,
1
| 2
a dla 2
− |
. Wtedy dla
mamy
max{ 2
1
,
}
3
=
|
1
−
2
|
|
a
−
1
|
+
|
a
−
2
|
2
; sprzecznoĻę.
2. aa
3. aaaa
4.
a |
a JeŇeli
|
|
|
a , to
−|
||
a
|
− |
|
||
|
a
−
.
5. a =1
(
a a R
)
aStosujemy
definicjħ z 1
. Istnieje zatem N
=
0 takie, Ňe
a dla 0
−
|
1
. StĢd
a dla 0
|
|
|
1
. Niech
= −
max{|
a
1
|,
...,
|
a
0 +
1
|,
|
|
1
. Ostatecznie
| dla dowolnego N
.
6.
a
1
2
a
+
+ a
1
2
lim
(
a
+ lim
)
=
lim
a
+
. Niech
|
a
−
1
|
2
dla
i
1
|
−
2
|
2
dla
+
+
+
. Wtedy dla
2
mamy
max{
1
,
2
}
|
(
a
+ |
)
−
(
1
+
2
)
|
a
−
1
|
+
|
−
2
|
.
7.
a
1
2
a
a
1
2
lim
+
(
a
)
=
lim
+
a
lim
+
a a
R
a
Wiemy, Ňe ciĢg =1
a
(
musi byę ograniczony. Niech
)
23
(
| +
a |
39031116.021.png 39031116.022.png 39031116.001.png
|| dla dowolnego N
. WeŅmy 0
> i niech
1 +
:
=
|
|
+
1
. Dobierzmy
1
1 , tak, by
2
N
1 |
a dla 1
−
1
i
2 |
dla 2
−
2
. Wtedy dla
mamy
max{ 2
1
,
}
|
a
− |
1
2
|
a
−
1
|
+
|
1
−
1
2
|
|
a
−
1
||
|
+
+
|
.
8. I Twierdzenie o zachowaniu nierwnoĻci.
1
||
−
2
|
1
+
|
1
|
1
a
1
2
< N
1
2
0 a
a < a
0
Dowd. Niech
= i niech
:
1
(
−
2
)
1 |
a dla 1
−
i
2 |
a
−
3
1
1
2
dla 2
. Wtedy dla
mamy
max{ 2
1
,
}
a
=
−
1
+
1
+
1
<
2
−
+ 2
=
2
.
9. II Twierdzenie o zachowaniu nierwnoĻci.
−
a
1
2
a a 0
Dowd. Gdyby 2
2
1
> , wtedy na podstawie wþasnoĻci 8 mielibyĻmy
1
a <
dla duŇych ; sprzecznoĻę.
1 aaa 0
1
10.
a 0
a a
a
aaa
a
1
0
2
2
a
a
lim
a
a
1
+ = lim
+
Wiemy, Ňe |
||
a . Ponie-
|
2
+
waŇ
||
> , zatem istnieje 1 takie, Ňe
1
|
|
a dla 1
1
|
|
. Niech
2
2
: i niech
= 2
1 |
2
|
|
a dla 2
−
1
. Wtedy dla
mamy
max{ 2
1
,
}
1
−
1
=
−
a
1
.
a
a
1
2
|
|
2
11. =1
(
a aa =1
(
a
0
a
Np. 0
si 1
. Niech 0
> bħdzie takie, Ňe
a || dla
dowolnego WeŅmy 0
> i niech
|| dla 0
. Wtedy
|
a dla 0
|
.
12. Twierdzenie o trzech ciĢgach.
a
a a
Dowd. WeŅmy 0
0
> i niech
a
−
;[
+
]
dla 1
i
−
;[
+
]
dla 2
. Wtedy dla
mamy
max{ 2
1
,
}
−
;[
+
]
.
24
lim
0
39031116.002.png 39031116.003.png 39031116.004.png 39031116.005.png 39031116.006.png
Twierdzenie o policjantach i pijaku. aaa
aaaaaaa
13. aaaaa
Niech
:
sup{
a
1 a
,
2
,
...}
. Z definicji supremum
>
wynika, Ňe istnieje 0 takie, Ňe
a 0
>
−
. Wobec monotonicznoĻci dla 0
ma-
my
− 0
a
a
.
WaŇne granice
14. 1
a ( 0
a ). Wobec wþ. 10 wystarczy rozwaŇyę przypadek 1
>
a . Niech
>
a
=1 . NaleŇy pokazaę, Ňe 0
+
. Wobec nierwnoĻci Bernoulliego mamy
a
= 1
(
+
)
+
, a stĢd
0
. Teraz pozostaje skorzystaę z twierdze-
a
−
1
nia o trzech ciĢgach.
15. 1
. Niech
=1 . Ze wzoru dwumianowego Newtona dostajemy
+
(dla 2
)
=
(
+
)
1
+
2
=
1
+
(
−
1
2
, a stĢd
i znw
2
2
2
korzystamy z twierdzenia o trzech ciĢgach.
Ęwiczenia:
hhhh Wykazaę, Ňe
a
+ ( 0
+
max{
a
,
,
}
a ). aaJeŇeli
,
a
, to
a
+
+
3
i korzystamy z wþ. 14 i twierdzenia o trzech
ciĢgach.
h Dany jest ciĢg =1
(
a :
)
a
:
=
a
>
0
a
:
=
1
+
a
9
. Wykazaę, Ňe jest to
1
+
1
2
a
ciĢg ograniczony z doþu i nierosnĢcy, a nastħpnie wyznaczyę jego granicħ.
Liczba e
16.
: =1
+
1
(
a aa
)
:
=
lim
+
1
1
. Wobec wzoru dwumianowego Newtona dostajemy
+
25
= . PoniewaŇ ciĢg niema-
lejĢcy jest ograniczony z gry, jest skoıczone. WeŅmy 0
0
= 1
39031116.007.png 39031116.008.png 39031116.009.png 39031116.010.png 39031116.011.png 39031116.012.png
:
=
=
+
1
1
=
1
=
0
=
1
+
1
+
(
−
1
1
+
...
+
(
−
1
)...(
−
+
1
1
+
...
+
(
−
1
)...
2
1
1
=
2
2
!
!
=
1
+
1
+
1
−
1
1
+
...
+
1
−
1
1
−
1
2
...
−
1
−
1
+
...
+
2
!
+
1
−
1
1
−
1
2
...
−
1
−
1
.
!
Wynika stĢd, Ňe jest to ciĢg silnie rosnĢcy. Ponadto,
2
1
+
1
+
1
+
...
+
1
1
+
1
+
1
+
...
+
1
<
1
+
1
=
3
.
2
!
2
2
−
1
1
1
−
2
W takim razie na podstawie wþ. 13 ciĢg =1
(
jest zbieŇny.
)
17.
=
:
=
1
+
= lim Na podstawie wþ. 16 mamy
0 !
dla dowolnych , oraz dla dowolnych
dostajemy
1
+
1
+
1
−
1
1
+
...
+
1
−
1
1
−
1
2
...
−
1
−
1
,
2
!
co przy
daje
+
. Mamy wwczas
. Ostatecznie z twierdzenia
o trzech ciĢgach (wþ. 12) mamy
+
= lim .
18. a 2
a 1
(
0
aa
= Istotnie,
+
!
Mamy
−
=
1
+
...
+
1
=
1
1
+
1
+
...
+
1
+
(
+
1
)!
(
+
)!
(
+
1
)!
+
2
(
+
2
)...(
+
)
1
1
+
1
+
...
+
1
<
1
1
=
1
+
2
,
(
+
1
)!
+
2
(
+
2
−
1
(
+
1
)!
1
(
+
1
)!
+
1
1
−
+
2
co przy
na podstawie wþ. 17 daje
+
−
1
+
2
=
1
(
+
2
.
(
+
1
)!
+
1
!
(
+
1
2
Pozostaje zauwaŇyę, Ňe
(
+
2
2 <
1
.
(
+
1
19. aa18a 6
aa
=
0,001
26
39031116.013.png 39031116.014.png 39031116.015.png 39031116.016.png 39031116.017.png 39031116.018.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin