Otremba Z - Podstawy matematyczne.pdf

(151 KB) Pobierz
5
PODSTAWY MATEMATYCZNE
Algebra wektorw
Wektor Î obiekt posiadający trzy cechy: wartość, kierunek i zwrot.
Chociaż wektorowi można przypisać punkt przyłożenia, to punkt przyłożenia nie stanowi jego cechy. W
opisie wektora istnieje umowa, że jego początek znajduje się w początku układu wspłrzędnych. Dlatego
jednoznaczny opis wektora ogranicza się do podania wspłrzędnych końca wektora.
W niniejszym podręczniku procesy opisywane są w przestrzeni trjwymiarowej, w układzie kartezjańskim,
czyli w układzie trzech wzajemnie prostopadłych osi. Istnieją rżne konwencje zapisu takich wektorw.
Najbardziej lapidarny opis, to trzy zapisane w odpowiedniej kolejności liczby stanowiące rzuty końca
wektora na poszczeglne osie. Na przykład: [1,2,3] to wektor, ktrego koniec posiada następujące
wspłrzędne: x=1, y=2, z=3. Jeżeli wektor ewoluuje, wwczas jego składowe są funkcjami czasu:
[x(t),y(t),z(t)]. Można rwnież stosować zapis naturalny, co oznacza, że określony wektor
r
( t
)
może być
przedstawiony jako suma swoich składowych:
r
W opisie tym litery i-j-k oznaczają wersory, czyli wektory jednostkowe. Wektor jednostkowy to iloraz
wektora przez jego wartość.
r
(
t
)
x
(
t
)
i
ó
y
(
t
)
ó
j
z
(
t
)
k
ó
Iloczyn wektorowy
Wynikiem mnożenia wektorowego jest wektor o kierunku prostopadłym do płaszczyzny wyznaczanej
przez wymnażane wektory, natomiast zwrot określa się z reguły śruby prawoskrętnej.
Moduł wyniku mnożenia wektorowego to iloczyn wartości wektorw i sinusa kąta pomiędzy nimi. Należy
Regule prawoskrętnej ulegają też iloczyny wersorw, np.:
i
ó
ó
k
ó
ó
k
zauważyć, że
i
ó
ó
0
ó
j
ó
0
k
ó
k
ó
0
Przykład mnożenia wektorowego:
r
a
(
t
)
a
(
t
)
i
ó
a
(
t
)
ó
j
a
(
t
)
k
ó
i
j
k
r
b
(
t
)
b
(
t
)
i
ó
b
(
t
)
ó
j
b
(
t
)
k
ó
i
j
k
r
r
a
(
t
)
b
(
t
)
(
a
(
t
)
i
ó
a
(
t
)
ó
a
(
t
)
k
)
(
b
(
t
)
ó
b
(
t
)
ó
b
(
t
)
k
)
i
j
k
i
j
k
(
a
i
(
t
)
b
i
(
t
)
i
ó
i
ó
a
i
(
t
)
b
j
(
t
)
i
ó
ó
a
i
(
t
)
b
k
(
t
)
i
ó
k
ó
a
j
(
t
)
b
j
(
t
)
ó
ó
a
j
(
t
)
a
k
(
t
)
ó
k
ó
a
k
(
t
)
b
k
(
t
)
k
ó
k
a
j
(
t
)
a
k
(
t
)
ó
a
i
(
t
)
b
k
(
t
)
ó
j
a
i
(
t
)
b
j
(
t
)
k
ó
Określanie zwrotu iloczynu wektorowego
dwch wektorw.
r
j
ó
j
i
ó
i
j
j
ó
i
j
ó
j
j
j
j
ó
i
231923058.005.png
Iloczyn skalarny
Wynikiem mnożenia skalarnego jest wielkość skalarna stanowiąca iloczyn wartości wektorw i cosinusa
kąta pomiędzy nimi.
Należy zauważyć, że
ó
ó
1
ó
ó
1
k
k
1
, natomiast iloczyny mieszane wersorw
wynoszą zero.
Funkcje zespolone
Zespolone liczby, uporządkowane pary liczb rzeczywistych (a, b), w zapisie
ib
z
a
i mnożenie. Element urojony i ma tę własność, że ii=-1, albo
i
1
z
a
1
ib
1
z
2
a
2
ib
2
z
z
1
z
2
(
a
1
a
2
)
i
(
b
1
b
2
)
Podczas dzielenia należy dzielną i dzielnik pomnożyć przez sprzężony dzielnik. Liczba sprzężona z
z
z
1
z
2
(
a
1
a
2
b
1
b
2
)
i
(
a
1
b
2
b
1
a
2
)
ó Ó
liczby zespolonej
z
a
ib
to
z
a
ib
z
z
ó
/
z
z
1
z
'
2
...
1
2
z
z
'
2
W geometrii na płaszczyźnie liczba zespolona (jako para liczb) jest interpretowana jako wskaz należący do
tzw. płaszczyzny zespolonej. Długość tego wskazu, zwana jest modułem liczby zespolonej.
Liczby zespolone zapisywane są w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej. Składniki
liczby zespolonej mogą być funkcjami, np. czasu.
2
Iloraz rżnicowy
Iloraz rżnicowy wyrażony zależnością 11.3 geometrycznie stanowi wspłczynnik kierunkowy siecznej
dwch punktw na wykresie funkcji f(t), punktw o wspłrzędnych: [t, f(t)] oraz [t+
t, f(t+
t)]
Graficzna interpretacja ilorazu rżnicowego a.
i
i
j
j
ó
ó
ó
dla ktrych zdefiniowana jest relacja rwności oraz określone są przemienne i łączne działania dodawania
ó
ó
ó
ó
ó
ó
ó
ó
ó
ó
ó
ó
ó
231923058.006.png
 
a=
f
f
(
t
t
)
f
(
t
)
t
t
0 i jest wyrażona zależnością 11.4. Jej
geometryczny wyraz to wspłczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f(t.
t
Rys. 11.3. Graficzna interpretacja pochodnej yÓ.
lim
f
lim
f
(
t
t
)
f
(
t
)
W kinematyce ilorazem rżnicowym jest np. szybkość średnia, a pochodną Î szybkość.
Przykłady pochodnych funkcji elementarnych :
( a t n )Ó = a n t n-1
(sin t )Ó = cos t
(cos t )Ó = -sin t
yÓ=
t
0
t
t
0
t
(ln
t
)'
1
(e t )Ó = e t
Należy pamiętać o następujących zasadach (obowiązujących gdy funkcje f i g są rżniczkowalne,
a prawe strony wymienionych niżej relacji posiadają sens matematyczny) :
Pochodna sumy (rżnicy) dwch funkcji to suma (rżnica) pochodnych.
Pochodna iloczynu funkcji f oraz funkcji g: (f
g)Ó=fÓ
g+f
gÓ
Pochodna ilorazu funkcji f oraz funkcji g: (f/g)Ó=(fÓ
g - f
gÓ) /g 2
Pochodna funkcji złożonej [F(f(t)]Ó = FÓ
fÓ
Całka nieoznaczona
Obliczanie całki nieoznaczonej to znajdowanie funkcji pierwotnej względem rżniczkowania (znajdowania
pochodnej). Do wyniku całkowania należy dodać dowolna stałą. Jedną z istotnych w fizyce (szczeglnie w
dynamice) umiejętności jest identyfikacja fizykalnego znaczenia stałej całkowania. Przykładem całki
nieoznaczonej jest szybkość liczona jako całka z wartości wektora przyspieszenia stycznego albo droga
jako całka z szybkości.
Przykłady całek funkcji elementarnych :
C
a
t
n
dt
a
t
n
+ 1
n
∫
t
dt
ln
t
C
Pochodna
Pochodna stanowi granicę ilorazu rżnicowego przy
t
1
∫
1
231923058.007.png 231923058.001.png 231923058.002.png 231923058.003.png
 
∫
sin(
t
)
dt
cos
t
C
∫
cos(
t
)
dt
sin
t
C
∫
e
t
dt
e
t
C
∫
sin
2
t
dt
∫
1
(
cos
2
t
)
dt
...
2
∫
cos
2
t
dt
∫
1
(
cos
2
t
)
dt
...
Należy pamiętać o zasadzie, iż całka sumy (rżnicy) dwch funkcji to suma (rżnica) całek tych funkcji,
oraz o tym, iż całka z iloczynu dwch funkcji może być policzona metodą tzw. áprzez częściÑ.
2
Całka oznaczona
Całka oznaczona z funkcji f(t), czyli liczona w określonych granicach od t 1 do t 2 , interpretowana jest jako
powierzchnia na wykresie tej funkcji ograniczona od gry przebiegiem funkcji, od dołu osią odciętych, a
bokw - prostymi t = t 1 od lewej oraz t = t 2 od prawej.
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej.
Przykładem całki oznaczonej jest praca siły F(s) na drodze od s 1 do s 2 .
Zbigniew OTREMBA 2004
231923058.004.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin