msw.pdf

(103 KB) Pobierz
msw.dvi
Oscylacje neutrin w materii
Tomasz Golan
June 5, 2007
1 Wstep
Zjawisko oscylacji neutrin zaproponowano, aby wyjasnic tzw. “problem neutrin
slonecznych”, czyli rozbieznosc miedzy oczekiwana a zmierzona liczba neutrin
docierajacych do Ziemi ze Slonca. Polega ono na tym, ze kaz dy typ neut
rina moze przechodzic cyklicznie w inne typy. Detektor Homestake rejestruje
tylko neutrina elektronowe, zatem te neutrina, ktore po drodze zmienily swoja
tozsamosc, sa “niewidoczne” i obserwowana liczba neutrin jest mniejsza.
Aby oscylacje byly mozliwe, neutrina musza posiadac mase. Poniewaz ist
nieja 3 typy neutrin, istnieja rowniez 3 stany masowe. Kazdy stan zapachowy
(czyli ten, ktory oddzialuje) jest superpozycja stanow masowych (czyli stanow
wlasnych hamiltonianiu). Oscylacje sa efektem zmiany roznicy faz miedzy
stanami masowymi, ktora z kolei wynika z tego, ze lzejsze stany masowe poruszaja
sie szybciej i wyprzedzaja ciezsze. Dlatego kluczowa role w teorii oscylacji
odgrywa roznica mas (a scislej mowiac roznica kwadratow mas).
Gdy neutrina poruszaja sie w materii, sa rozpraszane na elektronach i nuk
leonach, czyli oddzialuje na nie pewien efektywny potencjal, co moze miec wplyw
na oscylacje neutrin. Jako pierwszy zwrocil na to uwage Wolfenstein, a Mikheyev
i Smirnov pokazali, ze ten efekt moze byc bardzo duzy (nawet rezonansowy).
Dlatego wplyw oddzialywania neutrin z materia na oscylacje nazywamy efektem
MSW.
W naszych rozwazaniach ograniczymy sie do przypadku dwoch neutrin.
Takie uproszczenie doskonale pokazuje mechanizm oscylacji, a pozwala w duzym
stopniu uproscic rachunki. Poza tym jest to przyblizenie, do ktorego sprowadza
sie analiza wielu eksperymentow.
2 Oscylacje w prozni
W prozni stany masowe, ktore bedziemy oznaczac 1
i 2 , sa stanami wlasnymi
H
1
2
=
E 1 0
0 E 2
1
2
≈
p +
m 1
2E
0
1
2
(1)
m 2
2E
0
p +
gdzie skorzystano z ultrarelatywistycznego przyblizenia E i =
p 2 + m i
≈p +
m i
2p
m i
2E .
Mozemy przeksztalcic Hamiltonian, rozbijajac go na czesc proporcjonalna
do macierzy jednostkowej i na czesc proporcjonalna do 3 :
≈p +
1
Hamiltonianu:
1865703.032.png 1865703.033.png 1865703.034.png
H = pI +
1
2E
m 1 0
0 m 2
= pI +
1
2E
m 1 + m 2
2
I +
m 1
−m 2
2
1 0
0−1
=
p +
m 1 + m 2
4E
I
− m 2
4E
1 0
0−1
= H diag + H 0p
(2)
Wszystkie czlony, ktore sa wielokrotnoscia macierzy jednostkowej, nie sa is
totne w naszych rozwazaniach, poniewaz nie zmieniaja roznicy miedzy wartosciami
wlasnymi Hamiltonianu (nie produkuja roznicy faz). Zawsze moga zostac do
dane do czynnikow normujacych funkcje falowe neutrin, dlatego w dalszych
rozwazaniach mozemy je pominac.
Stany zapachowe, ktore bedziemy oznaczac e i a (gdzie a = µ lub ), sa
zwiazane ze stanami masowymi relacja:
e
a
1
2
= U
(3)
gdzie U =
cos sin
−sin cos
jest macierza mieszania.
Korzystajac z (2) i (3), mozemy wyprowadzic efektywny Hamiltonian w bazie
zapachowej:
H 0p U
−
1
e
a
=− m 2
4E
1 0
0−1
U
−
1
e
a
(4)
po przemnozeniu z prawej strony przez U :
U H 0p U
−
1 =− m 2
4E
U
1 0
0−1
U
−
1
=− m 2
4E
cos sin
−sin cos
1 0
0−1
cos −sin
sin cos
=− m 2
4E
cos2 −sin2
−sin2 −cos2
(5)
Ostatecznie Hamiltonian w prozni w bazie zapachowej ma postac:
H 0
=
m 2
4E
−cos2 sin2
sin2 cos2
(6)
Jawna postac H 0 bedzie potrzebna przy wprowadzaniu efektow materialnych,
poniewaz to stany zapachowe oddzialuja.
Ewolucja stanow masowych jest opisana przez:
| i (t)= e
− m i
2E t | i (0)
(7)
Wykorzystujac (3) i (7), mozemy wyliczyc prawdopodobienstwo znalezienia neu
trina w stanie zapachowym a po przebyciu drogi L, jesli poczatkowo mielismy
e :
1.27m 2 L
E
P ( e → a , L) = sin 2 (2 ) sin 2
(8)
gdzie L jest wyrazona w km, E w GeV , a m 2 w eV 2 .
2
1865703.035.png 1865703.001.png 1865703.002.png 1865703.003.png 1865703.004.png 1865703.005.png 1865703.006.png
3 Oddzialywanie neutrin z materia
(tylko neutrina
elektronowe) lub przez prad neutralny (NC), czyli przez wymiane bozonu Z 0
(wszystkie neutrina).
±
Figure 1: Diagramy oddzialywania neutrin
Oddzialywanie przez prad neutralny mozemy pominac, poniewaz jest ono
takie samo dla wszystkich zapachow i nie wplywa na roznice mas. Oddzialywanie
neutrin elektronowych z elektronami przez prad naladowany jest dobrze opisy
wane przez teorie Fermiego, w ktorej wymiane bozonu W ± zastepuje sie przez
wprowadzenie efektywnego Hamiltonianu:
H CC =
2 J letp +
µ
J lept
=
G F √
2
[e(k
) µ (1− 5 ) e (k)] [ e (p
′
) µ (1− 5 )e(p)] (9)
gdzie G F stala Fermiego, a e, bispinory Diraca.
Figure 2: Oddzialywanie w teorii Fermiego
Korzystajac z transformacji Fierza (patrz dodatek), mozna pokazac, ze za
chodzi:
[ µ (1− 5 )] [ µ (1− 5 )]
=−[ µ (1− 5 )] [ µ (1− 5 )]
(10)
Uwzgledniajac dodatkowo fakt, ze w teorii kwantowej bispinory antykomutuja
ze soba, mozemy H CC zapisac w postaci:
H CC =
G F √
2
[e(k ′ ) µ (1− 5 )e(p)] [ e (p ′ ) µ (1− 5 ) e (k)]
(11)
3
Zgodnie z modelem standardowym neutrina moga oddzialywac z elektronami
przez prad naladowany (CC), czyli przez wymiane bozonu W
G F √
′
1865703.007.png 1865703.008.png 1865703.009.png 1865703.010.png
Obliczamy efektywny potencjal dla neutrin poruszajacych sie z niezmienionym
pedem i spinem w osrodku materialnym. Taki potencjal zmienia mase czastki
m→m ef f i jest oczywiste, ze moze miec wplyw na oscylacje.
W zjawisku oscylacji znaczenie ma roznica mas. Istotne jest zatem odd
zialywanie z materia, ktore jest rozne dla roznych typow neutrin. Takim odd
zialywaniem jest reakcja CC z elektronami.
Mozemy przyjac, ze elektrony spoczywaja i sa niespolaryzowane. Elektron
opisujemy przez spinor Diraca:
e =
s
0
gdzie 1 =
1
0
2
=
0
1
(12)
Najpierw wyliczymy pierwszy czlon H CC dla µ = j:
e j (1− 5 )e = e j e−e j 5 e
= e
†
0 j e−e
†
0 j 5 e
(13)
Musimy teraz dokonac usrednienia po spinie elektronu. Dostajemy
1
2
2
I 0
0−
0 − j
j
s
0
e j (1− 5 )e =
(
†
s
0)
I
0
s=1
− 1
2
2
I 0
0−
0 − j
j
0
I
s
0
(
†
s 0)
I
0
I
0
s=1
1
2
2
0
− j s
− 1
2
2
− j s
0
=
( †
s
0)
( †
s
0)
s=1
s=1
1
2
2
=
s j s
(14)
s=1
dla j = 1:
1
2
(1 0)
0 1
1 0
1
0
+ (0 1)
0 1
1 0
0
1
= 0
(15)
dla j = 2:
1
2
(1 0)
0−i
i 0
1
0
+ (0 1)
0−i
i 0
0
1
= 0
(16)
dla j = 3:
1
2
1 0
0−1
1
0
+ (0 1)
1 0
0−1
0
1
=
1
2 (1−1) = 0
(17)
Jedyny nieznikajacy czlon H CC mamy, gdy µ = 0:
H CC =
G F √
2
[e 0 (1− 5 )e] [ e 0 (1− 5 ) e ]
=
G F √
2
e
†
0 0 (1− 5 )e
e 0 0 (1− 5 ) e
=
G F √
2
e
†
e−e
†
5 e
2
†
e e
= 2 G F √
2
1−(
s 0)
0
I
s
0
I
0
√
=
2G F
(18)
4
†
(1 0)
†
†
1865703.011.png 1865703.012.png 1865703.013.png 1865703.014.png 1865703.015.png 1865703.016.png 1865703.017.png
2 jest operatorem rzutowania na stany o
okreslonej skretnosci (a neutrina sa tylko lewoskretne) oraz z tozsamosci ( 0 ) 2
1− 5
=
I.
Powyzsze rachunki byly robione dla jednego elektronu. Jezeli w materii
mamy N e elektronow na jednostke objetosci, to na neutrina elektronowe odd
zialuje potencjal:
√
V =
2G F N e
(19)
Alternatywne, bardziej zyczne, wyprowadzenie wzoru na efekt MSW opiera
sie na analizie koherentnego rozpraszania do przodu. Podrecznikowa analiza
prowadzi do wyrazenia na wspolczynnik zalamania, ktorego wielkosc zalezy od
energii poruszajacych sie czastek (patrz J. D. Jackson “Elektrodynamika klasy
czna”).
4 Oscylacje w materii
Poniewaz stany zapachowe sa tymi, ktore oddzialuja z materia, potencjal (19)
musimy wprowadzic w bazie zapachowej, zatem efektywny Hamiltonian (czesc
odpowiadajaca za oscylacje) w materii ma postac:
H M = H 0 + V
1 0
0 0
= H 0 +
V
2
1 0
0−1
+
V
2 I
=
m 2
4E
−cos2 sin2
sin2 cos2
+
V
2
1 0
0−1
+
V
2 I
−(cos2 − V /2
=
m 2
4E
m 2 /4E )
sin2
+
V
2 I
(20)
sin2
(cos2 − V /2
m 2 /4E )
Tak jak poprzednio czlon proporcjonalny do jedynki mozemy pominac. Do
datkowo wprowadzimy zmienna x =
V /2
m 2 /4E
= 2
√
2G F N e E
m 2
:
H M =
m 2
4E
−(cos2 −x)
sin2
(21)
sin2
cos2 −x
Jezeli teraz wprowadzimy nowe parametry: efektywna roznice kwadratow mas
w materii
m 2 M
≡m 2
sin 2 2 + (cos2 −x) 2
(22)
oraz kat mieszania w materii
sin2 M ≡ sin 2
sin 2 2 + (cos2 −x) 2
(23)
wtedy
cos2 −x
cos2 M =
1−sin 2 2 M =
sin 2 2 + (cos2 −x) 2
(24)
5
gdzie skorzystalismy z faktu, ze
1865703.018.png 1865703.019.png 1865703.020.png 1865703.021.png 1865703.022.png 1865703.023.png 1865703.024.png 1865703.025.png 1865703.026.png 1865703.027.png 1865703.028.png 1865703.029.png 1865703.030.png 1865703.031.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin