W07-Fizyka-Haran.pdf

Fizyka dla elektroników 1

Dr Grzegorz Harań

Wykład 07

Mechanika

Energia potencjalna i zasada zachowania energii

 F =−∇ u =− grad u - energia potencjalna – siła potencjalna

 F d  r =− du  x , y , z =−  u

 x dx −  u

 y dy −  u

 z dz

 r B

∫  r A

u   r A − u   r B  - praca nie zależy od drogi

∮  F d  r =0

Zasada zachowania energii mechanicznej

Energia mechaniczna = energia kinematyczna + energia potencjalna

E = K  U

Policzmy pracę jaką wykona siła potencjalna  F przy przesunięciu cząstki o masie m z

położenia  r A do położenia  r B . Cząstki w tych położeniach mają prędkości  V A i  V B .

 r B

W = ∫  r A

 F d  r = U   r A − U   r B 

Z twierdzenia o pracy i energii mamy:

W = mV 2

2 = K B − K A

U   r A − U   r B = K B − K A tzn.

K B  U   r A = K B  U   r A ⇒ K  U = const

Pokazaliśmy zasadę zachowania energii mechanicznej : siły potencjalne nie zmieniają

energii mechanicznej cząstki.

2 − mV 2

E = K  U = const

Układy jednowymiarowe

 F =−∇ U =−

  U  x ,  U  y ,  U  z  , ∇=    x ,   y ,   z 

 F = F ,0,0 w jednym wymiarze i  F ,0,0=−

  U  x ,  U

 y ,  U

 z  czyli

F =−  U

 x ,  U

 y =  U

 z =0 tzn. F =− dU

Widzimy, że warunkiem istnienia energii potencjalnej (potencjalności siły F ) jest jej

całkowalność tzn. ∫ F dx istnieje i dodatkowo F musi być jednoznacznie określoną funkcję

położenia.

Przykład siły niepotencjalnej:

siła tarcia

− mg =− dU

dx ∣ x

 mg =− dU

dx ∣ x

niejednoznacznie określona przez położenie

czyli T ≠− dU

mimo że jest całkowalna.

Żadna siła, która zależy od prędkości nie jest siłą potencjalną.

Jednowymiarową siłą potencjalną jest siła sprężystości

F =− kx

Policzmy energię potencjalną U  x − U  x 0 =− ∫ x 0

− kx  dx = 1

2 kx 2 − 1

2 kx 2

Fizyczne znaczenie ma tylko różnica energii potencjalnej tzn. praca wykonana przez siłę

potencjalną. Aby określić funkcję energii potencjalnej U  x = ∫ x 0

2 kx 2 ∣ x 0

Fdx  U  x 0  musimy przyjąć

wartość U  x 0  i wartość x 0 tzn. określić punkt od którego liczymy wartości U , czyli znaleźć

„poziom zero” energii potencjalnej. Energia potencjalna jest określona z dokładnością do stałej

U  x 0  i dlatego najlepiej wybrać U  x 0 =0 .

Dla siły sprężystości fizycznie naturalnym wyborem jest x 0 =0 i U  x 0 =0=0 , tzn. U =0

gdy układ jest w położeniu równowagi (nie działa siła sprężystości). Wtedy

U  x =− ∫ x 0

− kx  dx = 1

2 kx 2

Zasada zachowania energii mechanicznej dla siły sprężystości:

Układy trójwymiarowe

   x ,   y ,   z 

Definiujemy rotację pola  A (siły  A ) (iloczyn wektorowy gradientu i  A )

(∣  i ∣=∣  j ∣=∣  k ∣=1 )

rot  A =∇×  A =

∣



 x

A x A y A z



 y

∣ =  i   A z

 y −  A y

 z    j   A x

 z −  A z

 x    k   A y

 x −  A x

 y  =

  A z

 y 

 y −  A y

 z

 z −  A z

 x

 x −  A x

Rotacja robi z wektora wektor (mówi czy pole ma wiry).

= 1

2 mV 2  1

2 kx 2 = const

 A  x , y , z = A x  x , y , z  , A y  x , y , z  , A z  x , y ,z ∇=

 i  j  k



 x

,  A x

,  A y

Twierdzenie Stokesa:

Jeśli  F = F x , F y , F z  jest ciągła wraz z pochodnymi  F x

 y

,  F x

 z

,  F y

 x

,  F y

 z

,  F z

 x

,  F z

 y

∬ S c  rot  F ⋅ d  S = ∮ c  F d  l gdzie S c jest powierzchnią, a c jej brzegiem d  S jest

zorientowanym różniczkowym elementem powierzchni, tzn d  S jest

normalny do powierzchni (prostopadły),

∣ d  S ∣= dS = pole powierzchni elementu dS

d  l to zorientowany różniczkowy element długości

∣ d  l ∣= dl =długość elementu dl .

Kierunki d  l i d  S są określone regułą prawej ręki.

 rot  F ⋅ d  S - iloczyn skalarny dwóch wektorów.

Jeśli siła  F jest określona w obszarze powierzchniowo jednospójnym (na dowolnej krzywej c

można rozpiąć powierzchnię S c , która całkowicie zawiera się w tym obszarze), to  F jest

potencjalna wtedy i tylko wtedy, gdy rot  F =0 .

 F Jest potencjalna wtedy i tylko wtedy, gdy ∮ c  F dl =0 dla każdej krzywej c

⇔

Ważne pola potencjalne:

1. Pole jednorodne  F = F x , F y , F z = const

rot  F =0 czyli pole jest potencjalne

 r

U   r − U   r 0 = ∫  r 0

 F d  r =

 x , y , z 

=− ∫

 x 0 , y 0 , z 0 

 F x , F y , F z ⋅ dx ,dy ,dz =− ∫

 x 0 , y 0 , z 0 

 F x dx  F y dy  F z dz =

=− F x ∫ x 0

dx − F y ∫ y 0

dy − F z ∫ z 0

dz =− F x  x − x 0 − F y  y − y 0 − F z  z − z 0 

otrzymaliśmy U   r − U   r 0 =−  F   r −  r 0 

Przykładem takiego pola jest jednorodne pole grawitacyjne (w pobliżu Ziemi)

 F =0,0 , − mg 

U   r − U   r 0 =−0,0 , − mg ⋅  r −  r 0 = mg  z − z 0 

U   r = mgz  U   r 0 − mgz 0  const = c skalujemy energię potencjalną tak, że

z 0 =0, U  z 0 =0 U   r 0 = x 0 , y 0 ,z 0  i otrzymujemy U   r = U  z = mgz - energia

potencjalna cząstki o masie m na wysokości z .

Zasada zachowania energii mechanicznej: mgz  mV 2

2 = const

∬ S c  rot  F ⋅ d  S =0 dla powierzchni S c której brzegiem jest c czyli dla dowolnej

powierzchni S c ⇔ rot  F =0 .

Tw.Stokesa

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: